Mikhael Gromov (matematyk) -Mikhael Gromov (mathematician)

Michael Leonidowicz Gromow
Michaił Gromow w 2014 roku
Urodzić się	( 23.12.1943 )23 grudnia 1943 (wiek 78) Boksitogorsk , Rosyjska FSRR , Związek Radziecki
Narodowość	rosyjski i francuski
Alma Mater	Leningradzki Uniwersytet Państwowy (doktorat)
Znany z	Geometryczna teoria grup Geometria symplektyczna Geometria systoliczna Granica Gromova Twierdzenie Gromova o zwartości (geometria) Twierdzenie Gromova o zwartości (topologia) Twierdzenie Gromova o grupach wzrostu wielomianowego Zbieżność Gromova-Hausdorffa Twierdzenie Gromova-Ruha Gromov-Witten niezmiennik Gromov grupa hiperboliczna Gromow przestrzeń δ- hyper Produkt Gromova Topologia Gromova Nierówność Gromova dla złożonej przestrzeni rzutowej Nierówność skurczowa Gromova Nierówność Bishopa-Gromova Wymiar asymptotyczny Rozmaitość zasadnicza Hipoteza pola wypełnienia Promień wypełnienia Wymiar średni Minimalna objętość Twierdzenie o braku ściskania Krzywa pseudoholomorficzna Grupa losowa Grupa soficzna Swoboda skurczowa Twierdzenie 2π
Nagrody	Nagroda Oswalda Veblena w dziedzinie geometrii (1981) Nagroda Wolfa (1993) Nagroda Kioto (2002) Nagroda Nemmersa w dziedzinie matematyki (2004) Nagroda Bolyai (2005) Nagroda Abla (2009)
Kariera naukowa
Pola	Matematyka
Instytucje	Institut des Hautes Études Scientifiques New York University
Doradca doktorski	Władimir Rokhlin
Doktoranci	Denis Auroux François Labourie Pierre Pansu Michaił Katz

Mikhael Leonidovich Gromov (również Mikhail Gromov , Michael Gromov or Misha Gromov ; rosyjski: Михаи́л Леони́дович Гро́мов ; ur. 23 grudnia 1943) jest rosyjsko-francuskim matematykiem znanym ze swoich prac w dziedzinie geometrii , analizy i teorii grup . Jest stałym członkiem IHÉS we Francji oraz profesorem matematyki na Uniwersytecie Nowojorskim .

Gromow zdobył kilka nagród, w tym Nagrodę Abela w 2009 roku „za swój rewolucyjny wkład w geometrię”.

Biografia

Michaił Gromow urodził się 23 grudnia 1943 r. w Boksitogorsku w Związku Radzieckim . Jego rosyjski ojciec Leonid Gromow i żydowska matka Lea Rabinovitz byli patologami . Jego matka była kuzynką mistrza świata w szachach Michaiła Botwinnika , a także matematyka Isaaka Moiseevicha Rabinovicha. Gromow urodził się w czasie II wojny światowej , a jego matka, która pracowała jako lekarz w Armii Radzieckiej, musiała opuścić linię frontu, aby go urodzić. Kiedy Gromov miał dziewięć lat, jego matka podarowała mu książkę Hansa Rademachera i Otto Toeplitza Rozkoszowanie się matematyką , książkę, która wzbudziła jego ciekawość i wywarła na niego wielki wpływ.

Gromov studiował matematykę na Leningradzkim Uniwersytecie Państwowym, gdzie uzyskał tytuł magistra w 1965, doktorat w 1969 i obronił pracę habilitacyjną w 1973. Jego promotorem był Vladimir Rokhlin .

Gromov ożenił się w 1967 roku. W 1970 roku został zaproszony do wygłoszenia prezentacji na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Nicei we Francji. Nie pozwolono mu jednak opuścić ZSRR. Jednak jego wykład został opublikowany w materiałach konferencyjnych.

Nie zgadzając się z systemem sowieckim, myślał o emigracji od 14 roku życia. Na początku lat 70. zaprzestał publikacji, mając nadzieję, że pomoże to w jego podaniu do Izraela . Zmienił swoje nazwisko na nazwisko matki. Otrzymał zaszyfrowany list z informacją, że jeśli uda mu się wydostać ze Związku Radzieckiego, może udać się do Stony Brook , gdzie zaaranżowano dla niego stanowisko. Kiedy prośba została spełniona w 1974 roku, przeniósł się bezpośrednio do Nowego Jorku i pracował w Stony Brook.

W 1981 roku opuścił Stony Brook University , aby dołączyć do wydziału Uniwersytetu Paris VI , aw 1982 roku został profesorem stałym w Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES), gdzie pozostaje do dziś. Jednocześnie w latach 1991-1996 był profesorem na Uniwersytecie Maryland w College Park , a od 1996 w Courant Institute of Mathematical Sciences w Nowym Jorku. W 1992 roku przyjął obywatelstwo francuskie.

Praca

Styl geometrii Gromova często charakteryzuje się „grubym” lub „miękkim” punktem widzenia, analizując właściwości asymptotyczne lub wielkoskalowe. Interesuje się również biologią matematyczną , strukturą mózgu i procesem myślenia oraz ewolucją idei naukowych.

Motywowany twierdzeniami Nasha i Kuipera o zanurzeniu izometrycznym oraz wynikami Morrisa Hirscha i Stephena Smale'a na temat zanurzeń , Gromov wprowadził zasadę h w różnych sformułowaniach. Wzorując się na szczególnym przypadku teorii Hirscha-Smale'a, wprowadził i rozwinął ogólną teorię snopów mikropodatnych , udowadniając, że spełniają one zasadę h na otwartych rozmaitościach . W konsekwencji (między innymi) był w stanie ustalić istnienie dodatnio zakrzywionych i ujemnych metryk riemannowskich na dowolnej otwartej rozmaitości . Jego wynik jest sprzeczny z dobrze znanymi ograniczeniami topologicznymi (takimi jak twierdzenie Cheegera-Gromolla czy twierdzenie Cartana-Hadamarda ) na geodezyjnie zupełnych rozmaitościach riemannowskich o dodatniej lub ujemnej krzywiźnie. Po tych początkowych pracach opracował dalsze zasady h, częściowo we współpracy z Yakovem Eliashbergiem , w tym prace nad twierdzeniem Nasha i Kuipera oraz twierdzeniem Nasha-Mosera o funkcji uwikłanej . Istnieje wiele zastosowań jego wyników, w tym warunki topologiczne dla istnienia dokładnych imersji Lagrange'a i podobnych obiektów w geometrii symplektycznej i kontaktowej . Jego dobrze znana książka Partial Differential Relations zbiera większość jego prac dotyczących tych problemów. Później zastosował swoje metody do geometrii złożonej , udowadniając pewne przykłady zasady Oka dotyczącej deformacji map ciągłych w mapy holomorficzne . Jego praca zapoczątkowała ponowne badanie teorii Oka-Grauerta, wprowadzonej w latach 50. XX wieku.

Gromov i Vitali Milman podali sformułowanie koncentracji zjawisk miarowych. Zdefiniowali oni „rodzinę Lévy'ego” jako sekwencję znormalizowanych przestrzeni miar metrycznych, w których dowolna asymptotycznie nie znikająca sekwencja zbiorów może być metrycznie pogrubiona tak, aby obejmowała prawie każdy punkt. To ściśle naśladuje zjawisko prawa wielkich liczb i faktycznie prawo wielkich liczb można umieścić w ramach rodzin Lévy'ego. Gromov i Milman opracowali podstawową teorię rodzin Lévy'ego i zidentyfikowali szereg przykładów, przede wszystkim pochodzących z sekwencji rozmaitości riemannowskich, w których dolna granica krzywizny Ricciego lub pierwsza wartość własna operatora Laplace'a-Beltrami'ego rozchodzą się do nieskończoności. Zwrócili także uwagę na cechę rodzin Lévy, w której dowolna sekwencja funkcji ciągłych musi być asymptotycznie prawie stała. Rozważania te zostały pogłębione przez innych autorów, takich jak Michel Talagrand .

Od przełomowej publikacji Jamesa Eellsa i Josepha Sampsona z 1964 r. na temat map harmonicznych , różne zjawiska sztywności zostały wydedukowane z połączenia twierdzenia o istnieniu dla mapowań harmonicznych wraz ze znikającym twierdzeniem, że (pewne) mapowania harmoniczne muszą być całkowicie geodezyjne lub holomorficzne. Gromov doszedł do wniosku, że rozszerzenie tego programu o ustawienie odwzorowań w przestrzeniach metrycznych implikuje nowe wyniki na grupach dyskretnych , zgodnie z supersztywnością Margulisa . Richard Schoen przeprowadził prace analityczne w celu rozszerzenia teorii map harmonicznych na ustawienie przestrzeni metrycznej; później zrobili to bardziej systematycznie Nicholas Korevaar i Schoen, ustanawiając rozszerzenia większości standardowej teorii przestrzeni Sobolewa . Przykładowym zastosowaniem metod Gromova i Schoena jest fakt, że kraty w grupie izometrycznej czwartorzędowej przestrzeni hiperbolicznej są arytmetyczne .

Geometria Riemanna

W 1978 Gromov wprowadził pojęcie rozmaitości prawie płaskich . Słynne twierdzenie o ćwiartce o sferze w geometrii riemannowskiej mówi, że jeśli kompletna rozmaitość riemannowska ma krzywizny przekrojowe , które są wystarczająco bliskie danej stałej dodatniej, to M musi być skończenie pokryte sferą. W przeciwieństwie do tego, skalując można zobaczyć, że każda zamknięta rozmaitość riemannowska ma metryki riemannowskie, których krzywizny przekrojowe są arbitralnie bliskie zeru. Gromov wykazał, że jeśli możliwość skalowania jest przełamana przez uwzględnienie tylko rozmaitości riemannowskich o ustalonej średnicy, to zamknięta rozmaitość dopuszczająca taką metrykę riemannowską, z krzywiznami przekroju wystarczająco bliskimi zeru, musi być skończenie pokryta rozmaitością nilmanna . Dowód działa poprzez odtwarzanie dowodów twierdzenia Bieberbacha i lematu Margulisa . Dowód Gromowa został szczegółowo przedstawiony przez Petera Busera i Hermanna Karchera.

W 1979 roku Richard Schoen i Shing-Tung Yau wykazali, że klasa gładkich rozmaitości , które dopuszczają metryki riemannowskie dodatniej krzywizny skalarnej , jest bogata topologicznie. W szczególności wykazali, że ta klasa jest zamknięta pod operacją sumy połączonej i operacji w miare co najmniej trzech. W ich dowodzie wykorzystano elementarne metody równań różniczkowych cząstkowych , w szczególności z funkcją Greena . Gromov i Blaine Lawson przedstawili kolejny dowód wyników Schoena i Yau, wykorzystując elementarne konstrukcje geometryczne. Pokazali także, jak czysto topologiczne wyniki, takie jak twierdzenie Stephena Smale'a o h-cobordism, mogą być następnie zastosowane do wyciągnięcia wniosków, takich jak fakt, że każda zamknięta i prosto połączona rozmaitość gładka wymiaru 5, 6 lub 7 ma metrykę Riemanna dodatnia krzywizna skalarna. Następnie wprowadzili nową klasę powiększalnych rozmaitości , wyróżniającą się warunkiem w teorii homotopii . Wykazali, że riemannowskie metryki dodatniej krzywizny skalarnej nie mogą istnieć na takich rozmaitościach. Szczególną konsekwencją jest to, że torus nie może obsługiwać żadnej metryki Riemanna dodatniej krzywizny skalarnej, co było głównym przypuszczeniem, które wcześniej rozwiązali Schoen i Yau w niskich wymiarach.

W 1981 Gromov zidentyfikował ograniczenia topologiczne, oparte na liczbach Bettiego , na rozmaitościach, które dopuszczają metryki riemannowskie nieujemnej krzywizny przekroju . Główną ideą jego pracy było połączenie teorii Morse'a Karstena Grove'a i Katsuhiro Shiohamy dla funkcji odległości Riemanna, z kontrolą funkcji odległości uzyskanej z twierdzenia porównawczego Toponogova , wraz z nierównością Bishopa-Gromova dotyczącą objętości kul geodezyjnych. Doprowadziło to do uzyskania kontrolowanych topologicznie osłon rozmaitości kulami geodezyjnymi, do których można było zastosować argumenty sekwencji widmowej w celu kontrolowania topologii leżącej poniżej rozmaitości. Topologia dolnych granic krzywizny przekroju nadal nie jest w pełni zrozumiała, a praca Gromova pozostaje głównym rezultatem. Jako zastosowanie teorii Hodge'a , Peter Li i Yau byli w stanie zastosować swoje oszacowania gradientu, aby znaleźć podobne oszacowania liczby Bettiego, które są słabsze niż te Gromova, ale pozwalają rozmaitości mieć wypukłą granicę.

W fundamentalnej teorii zwartości Jeffa Cheegera dla rozmaitości riemannowskich, kluczowym krokiem w konstruowaniu współrzędnych w przestrzeni granicznej jest oszacowanie promienia iniektywizmu dla zamkniętych rozmaitości . Cheeger, Gromov i Michael Taylor zlokalizowali oszacowanie Cheegera, pokazując, jak używać porównania objętości Bishopa-Gromova do kontrolowania promienia wstrzyknięcia w wartościach bezwzględnych przez granice krzywizny i objętości kul geodezyjnych. Ich oszacowanie zostało wykorzystane w wielu miejscach, w których ważnym problemem jest konstrukcja współrzędnych. Szczególnie znanym przykładem tego jest wykazanie, że „twierdzenie o braku zapadania” Grigori Perelmana dla przepływu Ricciego , które kontroluje objętość, jest wystarczające, aby umożliwić zastosowanie teorii zwartości Richarda Hamiltona . Cheeger, Gromov i Taylor zastosowali swoje oszacowanie promienia wstrzyknięcia, aby udowodnić kontrolę Gaussa nad jądrem ciepła , chociaż te oszacowania zostały później ulepszone przez Li i Yau jako zastosowanie ich oszacowań gradientu.

Gromov wniósł fundamentalny wkład w geometrię skurczową . Geometria skurczowa bada związek między niezmiennikami wielkości (takimi jak objętość lub średnica) rozmaitości M a jej topologicznie nietrywialnymi podrozmaitościami (takimi jak niekurczliwe krzywe). W swojej pracy z 1983 roku „Wypełnianie rozmaitości riemannowskich” Gromov dowiódł , że każda zasadnicza rozmaitość z metryką riemannowska zawiera co najwyżej zamkniętą, niekurczliwą geodezję długości . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C (n) \ operatorname {Vol} (M) ^ {1/n}}$

Zbieżność Gromowa-Hausdorffa i geometryczna teoria grup

W 1981 Gromov wprowadził metrykę Gromova-Hausdorffa , która nadaje zestawowi wszystkich przestrzeni metrycznych strukturę przestrzeni metrycznej. Bardziej ogólnie, można zdefiniować odległość Gromova-Hausdorffa między dwiema przestrzeniami metrycznymi, w odniesieniu do wyboru punktu w każdej przestrzeni. Chociaż nie daje to metryki na przestrzeni wszystkich przestrzeni metrycznych, wystarczy, aby zdefiniować „zbieżność Gromova-Hausdorffa” ciągu zaostrzonych przestrzeni metrycznych do granicy. Gromov sformułował ważne twierdzenie o zwartości w tym układzie, podając warunek, w którym ciąg wskazanych i „właściwych” przestrzeni metrycznych musi mieć podciąg, który jest zbieżny. Zostało to później przeformułowane przez Gromova i innych w bardziej elastyczne pojęcie ultralimitu .

Twierdzenie Gromova o zwartości miało głęboki wpływ na dziedzinę geometrycznej teorii grup . Zastosował go, aby zrozumieć asymptotyczną geometrię słowa metryka grupy wzrostu wielomianowego , przyjmując granicę dobrze dobranych przeskalowań metryki. Śledząc granice izometrii słowa metryka, był w stanie wykazać, że graniczna przestrzeń metryki ma nieoczekiwane ciągłości, a w szczególności, że jej grupa izometryczna jest grupą Liego . W konsekwencji był w stanie rozstrzygnąć hipotezę Milnor-Wolf, postawioną w latach sześćdziesiątych, która twierdzi, że każda taka grupa jest praktycznie zerowa . Używając ultralimitów, podobne struktury asymptotyczne można badać dla bardziej ogólnych przestrzeni metrycznych. Ważne informacje na ten temat przedstawili między innymi Bruce Kleiner , Bernhard Leeb i Pierre Pansu .

Inną konsekwencją jest twierdzenie Gromova o zwartości , stwierdzające, że zbiór zwartych rozmaitości riemannowskich o krzywiźnie Ricciego ≥ c i średnicy ≤ D jest stosunkowo zwarty w metryce Gromova-Hausdorffa. Możliwymi punktami granicznymi ciągów takich rozmaitości są przestrzenie Aleksandrowa o krzywiźnie ≥ c , klasa przestrzeni metrycznych szczegółowo badana przez Burago , Gromova i Perelmana w 1992 roku.

Wraz z Eliyahu Ripsem Gromow wprowadził pojęcie grup hiperbolicznych .

Geometria symplektyczna

Teoria krzywych pseudoholomorficznych Gromowa jest jednym z fundamentów współczesnego badania geometrii symplektycznej . Chociaż nie był pierwszym, który rozważał krzywe pseudoholomorficzne, odkrył zjawisko „bulgotania” analogiczne do wcześniejszych prac Karen Uhlenbeck nad połączeniami Yanga-Millsa oraz prac Uhlenbecka i Jonathana Sacka nad mapami harmonicznymi . Od czasów Sacksa, Uhlenbecka i Gromova takie bulgoczące zjawiska znaleziono w wielu innych kontekstach geometrycznych. Odpowiednie twierdzenie o zwartości kodujące bąbelkowanie pozwoliło Gromovowi dojść do szeregu głębokich analitycznie wniosków na temat istnienia krzywych pseudoholomorficznych. Szczególnie znanym wynikiem Gromowa, uzyskanym w wyniku teorii istnienia i wzoru na monotoniczność powierzchni minimalnych , jest „ twierdzenie o nie ściskaniu ”, które dostarczyło uderzającej jakościowej cechy geometrii symplektycznej. Podążając za pomysłami Edwarda Wittena , prace Gromova są również fundamentalne dla teorii Gromova-Wittena , która jest szeroko badanym tematem sięgającym do teorii strun , geometrii algebraicznej i geometrii symplektycznej . Z innej perspektywy praca Gromova była również inspiracją dla większości prac Andreasa Floera .

Jakow Eliashberg i Gromov opracowali niektóre z podstawowych teorii symplektycznych pojęć wypukłości. Wprowadzają różne specyficzne pojęcia wypukłości, z których wszystkie dotyczą istnienia jednoparametrowych rodzin dyfeomorfizmów, które zawężają formę symplektyczną. Pokazują, że wypukłość jest odpowiednim kontekstem dla zasady h dla problemu konstruowania pewnych symplektomorfizmów . Wprowadzili również analogiczne pojęcia w geometrii kontaktowej ; istnienie wypukłych struktur kontaktowych badał później Emmanuel Giroux .

Nagrody i wyróżnienia

Nagrody

• Nagroda Towarzystwa Matematycznego Moskiewskiego (1971)
• Nagroda Oswalda Veblena w dziedzinie geometrii ( AMS ) (1981)
• Prix ​​Elie Cartan de l'Academie des Sciences de Paris (1984)
• Prix ​​de l'Union des Assurances de Paris (1989)
• Nagroda Wolfa w dziedzinie matematyki (1993)
• Nagroda Leroy P. Steele za przełomowy wkład w badania ( AMS ) (1997)
• Medal Łobaczewskiego (1997)
• Nagroda Balzana za matematykę (1999)
• Nagroda Kioto w dziedzinie nauk matematycznych (2002)
• Nagroda Nemmersa w dziedzinie matematyki (2004)
• Nagroda Bolyai w 2005 r .
• Nagroda Abela w 2009 roku „za rewolucyjny wkład w geometrię”

Korona

• Zaproszony prelegent na Międzynarodowy Kongres Matematyków : 1970 (Nicea), 1978 (Helsinki), 1983 (Warszawa), 1986 (Berkeley)
• Członek zagraniczny Narodowej Akademii Nauk (1989), Amerykańskiej Akademii Sztuk i Nauk (1989), Norweskiej Akademii Nauk i Literatury oraz Towarzystwa Królewskiego (2011)
• Członek Francuskiej Akademii Nauk (1997)
• Wygłosił w 2007 r . wykłady pamięci Paula Turána .

Zobacz też

Publikacje

Książki

Główne artykuły

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

Multimedia związane z Michaiłem Leonidowiczem Gromovem w Wikimedia Commons

• Strona osobista w IHÉS
• Strona osobista na NYU
• Michaił Gromow w projekcie Genealogia Matematyki
• Anatolij Wierszyk, „Geometria Gromowa”