Modus ponens -Modus ponens

W rachunku zdań , ponens modus ( / m d ə s s n ɛ n oo / , MP ), znany również jako modus ponendo ponens ( łacińskiego do „metody włożenia przez wprowadzenie”) lub eliminacji implikacji lub potwierdzając poprzednik , jest dedukcyjną formą argumentu i regułą wnioskowania . Można to podsumować w następujący sposób: „ P oznacza, że Q. P jest prawdziwe. Dlatego też Q musi być prawdziwe”.

Modus ponens jest blisko spokrewniony z inną słuszną formą argumentacji, modus tollens . Oba mają pozornie podobne, ale nieważne formy, takie jak afirmacja następnika , zaprzeczanie poprzednikowi i dowód nieobecności . Konstruktywny dylemat to rozłączna wersja modus ponens . Hipotetyczny sylogizm jest ściśle związany z modus ponens i czasami uważany jest za „podwójny modus ponens ”.

Historia modus ponens sięga starożytności . Pierwszym, który wyraźnie opisał argument z modus ponens, był Teofrast . To, wraz z modus tollens , jest jednym ze standardowych wzorców wnioskowania, które można zastosować do wyprowadzenia łańcuchów wniosków prowadzących do pożądanego celu.

Wyjaśnienie

Forma argumentacji modus ponens przypomina sylogizm , z dwiema przesłankami i wnioskiem:

Jeśli P , to Q .
P .
Dlatego Q .

Pierwszą przesłanką jest twierdzenie warunkowe („jeśli – to”), a mianowicie, że P implikuje Q . Drugą przesłanką jest twierdzenie, że P , poprzednik roszczenia warunkowego, jest prawdą. Z tych dwóch przesłanek można logicznie wywnioskować, że Q , następstwo roszczenia warunkowego, musi mieć również miejsce.

Przykład argumentu pasującego do formy modus ponens :

Jeśli dzisiaj jest wtorek, to Jan pójdzie do pracy.
Dzisiaj jest Wtorek.
Dlatego John pójdzie do pracy.

Ten argument jest słuszny , ale nie ma to wpływu na to, czy którekolwiek ze stwierdzeń w argumencie jest rzeczywiście prawdziwe ; aby modus ponens był solidnym argumentem, przesłanki muszą być prawdziwe dla każdego prawdziwego przypadku wniosku. Argumentem może być ważne, ale mimo to niezdrowe, jeśli jeden lub więcej lokali są fałszywe; jeśli argument jest słuszny i wszystkie przesłanki są prawdziwe, to argument jest słuszny . Na przykład John może iść do pracy w środę. W tym przypadku rozumowanie Jana do pracy (ponieważ jest środa) jest nieuzasadnione. Argument jest słuszny tylko we wtorki (kiedy Jan idzie do pracy), ale ważny w każdy dzień tygodnia. Propositional argumentem za pomocą modus ponens mówi się dedukcyjne .

W rachunku sekwencyjnym z jednym wnioskiem , modus ponens jest regułą cięcia. Twierdzenie cięcia-eliminacji na rachunku mówi, że każdy dowód udziałem Cięcie można przekształcić (na ogół przez zwyczajowo metody) w dowodzie bez skrawania, a tym samym, że cięcie jest dopuszczalne .

Korespondencji Curry-Howard pomiędzy dowodów i programów dotyczy ponens modus do stosowania funkcji : jeśli M jest funkcją typu PQ i x jest typu P , a następnie FX jest typu Q .

W sztucznej inteligencji , ponens modus jest często nazywany wnioskowanie w przód .

Notacja formalna

Ponens modus reguła może być napisany w Sequent notacji jako

gdzie P , Q i PQ są oświadczenia (lub propozycje) w języku formalnym i jest metalogiki symbol oznacza, że Q jest składniowym konsekwencją od P i PQ w jakimś systemie logicznym .

Uzasadnienie za pomocą tabeli prawdy

Ważność modus ponens w klasycznej logice dwuwartościowej można jasno wykazać za pomocą tabeli prawdy .

P Q pq
T T T
T F F
F T T
F F T

W przypadkach modus ponens przyjmujemy jako przesłankę, że pq jest prawdziwe i p jest prawdziwe. Tylko jeden wiersz tabeli prawdy — pierwszy — spełnia te dwa warunki ( p i pq ). W tym wierszu q również jest prawdziwe. Dlatego zawsze, gdy pq jest prawdziwe i p jest prawdziwe, q również musi być prawdziwe.

Status

Chociaż modus ponens jest jedną z najczęściej używanych form argumentacji w logice, nie wolno jej mylić z prawem logicznym; jest to raczej jeden z akceptowanych mechanizmów konstruowania dowodów dedukcyjnych, obejmujący „zasadę definicji” i „zasadę substytucji”. Modus ponens pozwala na wyeliminowanie zdania warunkowego z logicznego dowodu lub argumentu (poprzedników) i tym samym nie przenoszenie tych poprzedników do przodu w stale wydłużającym się łańcuchu symboli; z tego powodu modus ponens jest czasami nazywany regułą oderwania lub prawem oderwania . Enderton na przykład zauważa, że ​​„modus ponens może wytworzyć krótsze formuły z dłuższych”, a Russell zauważa, że ​​„procesu wnioskowania nie można sprowadzić do symboli. Jedynym zapisem jest występowanie ⊦q [następnik] .. … wnioskowanie jest porzuceniem prawdziwej przesłanki, jest rozwiązaniem implikacji”.

Uzasadnieniem „zaufania we wnioskowaniu jest przekonanie, że jeśli dwa poprzednie twierdzenia [poprzedniki] nie są błędne, to twierdzenie końcowe [następnik] nie jest błędne”. Innymi słowy: jeśli jedno zdanie lub zdanie implikuje drugie, a pierwsze zdanie lub zdanie jest prawdziwe, to drugie również jest prawdziwe. Jeśli P implikuje Q i P jest prawdziwe, to Q jest prawdziwe.

Korespondencja z innymi schematami matematycznymi

Rachunek prawdopodobieństwa

Modus ponens reprezentuje przykład prawa całkowitego prawdopodobieństwa, które dla zmiennej binarnej wyraża się jako:

,

gdzie np oznacza prawdopodobieństwo, a prawdopodobieństwo warunkowe uogólnia logiczną implikację . Załóżmy, że jest to równoważne byciu PRAWDA, a to jest równoważne byciu FAŁSZ. Łatwo wtedy zauważyć, kiedy i . Zatem prawo prawdopodobieństwa całkowitego reprezentuje uogólnienie modus ponens .

Logika subiektywna

Modus ponens reprezentuje przypadek dwumianowego operatora dedukcji w logice subiektywnej wyrażonej jako:

,

gdzie oznacza opinię subiektywną o wyrażoną przez źródło , a opinia warunkowa uogólnia implikację logiczną . Wyprowadzona marginalna opinia o jest oznaczona przez . Przypadek, w którym jest bezwzględnie PRAWDZIWA opinia na temat, jest równoważny ze źródłem mówiącym, że jest PRAWDA, a przypadek, w którym jest bezwzględnie FAŁSZYWA opinia na temat, jest równoważny ze źródłem mówiącym, że jest to NIEPRAWDA. Operator odliczenie od subiektywnej logiki daje absolutną TRUE opinię przewidywaną gdy opinia uwarunkowane jest absolutna TRUE i poprzednik opinia jest absolutna PRAWDA. Stąd subiektywna dedukcja logiki reprezentuje uogólnienie zarówno modus ponens, jak i prawa prawdopodobieństwa całkowitego .

Domniemane przypadki awarii

Filozofowie i lingwiści zidentyfikowali różne przypadki, w których modus ponens wydaje się zawodzić. Jeden słynny domniemany kontrprzykład został zidentyfikowany przez Vanna McGee , który twierdził, że modus ponens może zawieść dla warunków warunkowych, których następniki same są warunkami warunkowymi.

  1. Albo Szekspir, albo Hobbes napisał Hamleta .
  2. Jeśli Szekspir lub Hobbes napisał Hamleta , to jeśli Szekspir tego nie zrobił, zrobił to Hobbes.
  3. Dlatego jeśli Szekspir nie napisał Hamleta , zrobił to Hobbes.

Odkąd Szekspir napisał Hamleta , pierwsza przesłanka jest prawdziwa. Drugie założenie jest również prawdziwe, ponieważ rozpoczęcie od zestawu możliwych autorów ograniczonych tylko do Szekspira i Hobbesa i wyeliminowanie jednego z nich pozostawia tylko drugiego. Jednak wniosek może wydawać się fałszywy, ponieważ wykluczenie Szekspira jako autora Hamleta pozostawiłoby wielu możliwych kandydatów, wielu z nich bardziej prawdopodobnych alternatyw niż Hobbes.

Ogólna postać McGee typu kontrprzykładów do ponens modus jest tylko , dlatego ; nie jest konieczne, aby była alternatywą, jak w podanym przykładzie. To, że tego rodzaju przypadki stanowią porażkę modus ponens, pozostaje poglądem mniejszości wśród logików, ale opinie różnią się co do tego, w jaki sposób te sprawy powinny być usuwane.

W logice deontycznej niektóre przykłady warunkowego obowiązku również wskazują na możliwość niepowodzenia modus ponens . Są to przypadki, w których przesłanka warunkowa opisuje obowiązek oparty na niemoralnym lub nieroztropnym działaniu, np. „Jeśli Łania zamorduje swoją matkę, powinien to zrobić delikatnie”, dla którego wątpliwym bezwarunkowym wnioskiem byłoby „Knia powinien delikatnie zamordować swoją matkę”. matka." Wygląda na to, że jeśli Łania rzeczywiście delikatnie morduje swoją matkę, to według modus ponens robi dokładnie to, co powinien, bezwarunkowo robić. Tutaj znowu, modus ponens niepowodzenie nie jest powszechną diagnozą, ale czasami się o nią dyskutuje.

Możliwe błędy

Błąd afirmacji następnika jest powszechną błędną interpretacją modus ponens .

Zobacz też

Bibliografia

Źródła

  • Herbert B. Enderton, 2001, Matematyczne wprowadzenie do logiki wydanie drugie , Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN  978-0-12-238452-3 .
  • Audun Jøsang, 2016, Logika subiektywna; Formalizm rozumowania w warunkach niepewności Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1
  • Alfred North Whitehead i Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica do *56 (wydanie drugie) wydanie w miękkiej okładce 1962, Cambridge w University Press, London UK. Brak numeru ISBN, brak LCCCN.
  • Alfred Tarski 1946 Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych, wydanie drugie, przedrukowane przez Dover Publications, Mineola NY. ISBN  0-486-28462-X (pbk).

Linki zewnętrzne