Płaski (geometria) - Flat (geometry)

W geometrii , A płaskie lub euklidesowa podprzestrzeń jest podzbiór przestrzeni euklidesowej , który sam jest euklidesowa przestrzeń (dolnego wymiaru ). Równania w przestrzeni dwuwymiarowej to punkty i linie , a płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej to punkty, linie i płaszczyzny .

W przestrzeni $n-$ wymiarowej znajdują się mieszkania o każdym wymiarze od 0 do $n - 1$ . Mieszkania o wymiarze $n - 1$ nazywane są hiperpłaszczyznami .

Mieszkania są afinicznymi podprzestrzeniami przestrzeni euklidesowych, co oznacza, że są podobne do podprzestrzeni liniowych , z wyjątkiem tego, że nie muszą przechodzić przez początek . Mieszkania występują w algebrze liniowej jako geometryczne realizacje zbiorów rozwiązań układów równań liniowych .

Mieszkanie jest rozmaitością i rozmaitością algebraiczną i czasami nazywane jest rozmaitością liniową lub rozmaitością liniową, aby odróżnić je od innych rozmaitości lub odmian.

Opisy

Za pomocą równań

Mieszkanie można opisać układem równań liniowych . Na przykład linię w przestrzeni dwuwymiarowej można opisać za pomocą pojedynczego równania liniowego obejmującego $x$ i $y$ :

{\ Displaystyle 3x + 5y = 8.}

W przestrzeni trójwymiarowej pojedyncze równanie liniowe obejmujące $x$ , $y$ i $z$ definiuje płaszczyznę, podczas gdy para równań liniowych może być używana do opisu prostej. Ogólnie równanie liniowe w $n$ zmiennych opisuje hiperpłaszczyznę, a układ równań liniowych opisuje przecięcie tych hiperpłaszczyzn. Zakładając, że równania są spójne i liniowo niezależne , układ $k$ równań opisuje mieszkanie o wymiarze $n - k$ .

Parametryczne

Mieszkanie można również opisać układem liniowych równań parametrycznych . Linię można opisać równaniami obejmującymi jeden parametr :

{\ Displaystyle x = 2 + 3 t, \; \; \; \; y = -1 + t \; \; \; \; z = {\ Frac {3} {2}} - 4t}

natomiast opis samolotu wymagałby dwóch parametrów:

{\ Displaystyle x = 5 + 2t_ {1} -3t_ {2}, \; \; \; \; y = -4 + t_ {1} + 2t_ {2} \; \; \; \; z = 5t_ {1} -3t_ {2}. \, \!}

Generalnie parametryzacja płaskownika o wymiarze $k$ wymagałaby parametrów $t 1,\dots, t k$ .

Operacje i relacje na mieszkaniach

Płaskie przecinające się, równoległe i skośne

Przecięcia mieszkań jest albo płaska albo zbiór pusty .

Jeśli każda linia z jednego mieszkania jest równoległa do innej z innego mieszkania, to te dwa mieszkania są równoległe . Dwie równoległe płaszczyzny o tym samym wymiarze pokrywają się lub nie przecinają; można je opisać dwoma układami równań liniowych, które różnią się tylko prawą stroną.

Jeśli mieszkania nie przecinają się, a żadna linia z pierwszego mieszkania nie jest równoległa do linii z drugiego mieszkania, to są to mieszkania skośne . Jest to możliwe tylko wtedy, gdy suma ich wymiarów jest mniejsza niż wymiar otaczającej przestrzeni.

Przystąp

Dla dwóch mieszkań o wymiarach $k 1$ i $k 2$ istnieje minimalne mieszkanie, które je zawiera, o wymiarach najwyżej $k 1 + k 2 + 1$ . Jeżeli przecinają się dwie płaszczyzny, to wymiar mieszkania zawierającego jest równy $k 1 + k 2$ minus wymiar przecięcia.

Właściwości operacji

Te dwie operacje (nazywane spotkaniem i połączeniem ) sprawiają, że zbiór wszystkich płaszczyzn w euklidesowej $n-$ przestrzeni jest siatką i może tworzyć systematyczne współrzędne dla mieszkań w dowolnym wymiarze, prowadząc do współrzędnych Grassmanna lub podwójnych współrzędnych Grassmanna. Na przykład linia w przestrzeni trójwymiarowej jest określana przez dwa różne punkty lub dwie różne płaszczyzny.

Jednak krata wszystkich mieszkań nie jest kratą rozdzielczą . Jeśli dwie proste $ℓ 1$ i $ℓ 2$ przecinają się, to $ℓ 1 \cap ℓ 2$ jest punktem. Jeśli $p$ jest punktem nie leżącym na tej samej płaszczyźnie, to $(ℓ 1 \cap ℓ 2) + p = (ℓ 1 + p) \cap (ℓ 2 + p)$ , oba reprezentują linię. Ale kiedy $ℓ 1$ i $ℓ 2$ są równoległe, ten rozkład zawodzi, dając $p$ po lewej stronie i trzecią równoległą linię po prawej stronie.

Geometria euklidesowa

Powyższe fakty nie zależą od struktury przestrzeni euklidesowej (a mianowicie od odległości euklidesowej ) i są poprawne w każdej przestrzeni afinicznej . W przestrzeni euklidesowej:

Istnieje odległość między płaskim a punktem. (Zobacz na przykład Odległość od punktu do płaszczyzny i Odległość od punktu do linii ).
Między dwoma mieszkaniami jest odległość równa 0, jeśli się przecinają. (Zobacz na przykład Odległość między dwiema liniami (w tej samej płaszczyźnie) i Linie pochylenia § Odległość .)
Istnieje kąt pomiędzy dwoma płaszczyznami, który należy do przedziału $[0, π / 2]$ między 0 a kątem prostym . (Patrz, na przykład kąt dwuścienny (między dwiema płaszczyznami). Patrz także kąty między mieszkaniami ).

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry , strona 7, Krieger, Nowy Jork.
Stolfi, Jorge (1991), Oriented Projective Geometry , Academic Press , ISBN 978-0-12-672025-9
Z oryginalnego doktora Stanforda . rozprawa pt.Primitives for Computational Geometry , dostępna jako raport badawczy DEC SRC 36 .

Zewnętrzne linki

Weisstein, Eric W. „Hyperplane” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Flat” . MathWorld .

Languages

In other projects