Siatka (wielościan) - Net (polyhedron)

Jedenaście siatek sześcianu

W geometrii , A netto z wielościanu jest układ nienakładających krawędziach połączone wielokątów w płaszczyźnie , która może być zagięta (wzdłuż krawędzi), aby stać się powierzchnie wielościanu. Siatki wielościenne są użyteczną pomocą w badaniu wielościanów i ogólnie geometrii brył , ponieważ umożliwiają konstruowanie fizycznych modeli wielościanów z materiału takiego jak cienka tektura.

Wczesny przykład sieci wielościennych pojawia się w pracach Albrechta Dürera , którego książka z 1525 r . Kurs sztuki pomiaru z kompasem i władcą ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) zawiera sieci dla brył platońskich i kilka brył archimedesowych . . Konstrukcje te po raz pierwszy nazwał sieciami w 1543 r. Augustin Hirschvogel .

Istnienie i wyjątkowość

Dla danego wielościanu może istnieć wiele różnych siatek, w zależności od wyboru, które krawędzie mają być połączone, a które rozdzielone. Krawędzie wycięte z wielościanu wypukłego w celu utworzenia siatki muszą tworzyć drzewo spinające wielościanu, ale wycięcie niektórych drzew spinających może spowodować, że wielościan po rozłożeniu będzie się nakładał na siebie, zamiast tworzyć sieć. I odwrotnie, dana siatka może składać się w więcej niż jeden różny wypukły wielościan, w zależności od kątów, pod jakimi jej krawędzie są składane, oraz od wyboru, które krawędzie należy skleić ze sobą. Jeśli siatka zostanie podana wraz ze wzorem sklejenia jej krawędzi, tak że każdy wierzchołek wynikowego kształtu ma dodatni defekt kątowy i suma tych defektów wynosi dokładnie 4 π , to z konieczności istnieje dokładnie jeden wielościan, który może być złożony z niego; jest to twierdzenie o jednoznaczności Aleksandrowa . Jednak uformowany w ten sposób wielościan może mieć inne powierzchnie niż te określone jako część sieci: niektóre wielokąty sieciowe mogą mieć zagięcia w poprzek, a niektóre krawędzie między wielokątami sieciowymi mogą pozostać rozwinięte. Dodatkowo, ta sama siatka może mieć wiele prawidłowych wzorów sklejania, co prowadzi do różnych złożonych wielościanów.

Nierozwiązany problem w matematyce :

Czy każdy wielościan wypukły ma prostą rozwijającą się krawędź?

W 1975 roku GC Shephard zapytał, czy każdy wielościan wypukły ma przynajmniej jedną sieć, czy też proste rozwinięcie krawędzi. To pytanie, znane również jako przypuszczenie Dürera lub rozwijający się problem Dürera, pozostaje bez odpowiedzi. Istnieją wielościany niewypukłe, które nie mają siatek i możliwe jest dalsze podzielenie ścian każdego wielościanu wypukłego (np. wzdłuż miejsca cięcia ) tak, aby zbiór podzielonych ścian miał sieć. W 2014 roku Mohammad Ghomi wykazał, że każdy wielościan wypukły przyjmuje sieć po przekształceniu afinicznym . Ponadto w 2019 roku Barvinok i Ghomi wykazali, że uogólnienie hipotezy Dürera zawodzi dla pseudokrawędzi , czyli sieci geodezyjnej, która łączy wierzchołki wielościanu i tworzy graf o wypukłych ścianach.

Powiązane pytanie otwarte dotyczy tego, czy każda sieć wielościanu wypukłego ma rozkwitanie , ciągły, nieprzecinający się ruch od stanu płaskiego do złożonego, który utrzymuje każdą twarz płasko podczas całego ruchu.

Najkrótsza droga

Najkrótszej ścieżki na powierzchni między dwoma punktami na powierzchni bryły odpowiada linii prostej na odpowiedniej sieci na podzbiorze powierzchniach dotkniętych ścieżki. Sieć musi być taka, aby linia prosta była w niej całkowicie, i być może trzeba będzie rozważyć kilka sieci, aby zobaczyć, która daje najkrótszą drogę. Na przykład w przypadku sześcianu , jeśli punkty znajdują się na sąsiednich ścianach, jednym z kandydatów na najkrótszą ścieżkę jest ścieżka przecinająca wspólną krawędź; najkrótsza ścieżka tego rodzaju znajduje się przy użyciu siatki, w której dwie ściany również sąsiadują. Inni kandydaci na najkrótszą ścieżkę przechodzą przez powierzchnię trzeciej ściany przylegającej do obu (z których są dwie), a odpowiednie sieci mogą być użyte do znalezienia najkrótszej ścieżki w każdej kategorii.

Problem pająka i muchy to rekreacyjna łamigłówka matematyczna polegająca na znalezieniu najkrótszej drogi między dwoma punktami prostopadłościanu.

Większe siatki polytope

Krzyż Dalego , siatka na tesserakt

Sieć 4-wielościanu , czterowymiarowego wielościanu , składa się z komórek wielościennych , które są połączone swoimi ścianami i wszystkie zajmują tę samą trójwymiarową przestrzeń, tak jak ściany wielokąta sieci wielościanu są połączone ich krawędzie i wszystkie zajmują tę samą płaszczyznę. Siatka z tesserakt, w czterowymiarowej hipersześcianu , stosowany jest w widocznym miejscu na obrazie przez Salvador Dalí , Ukrzyżowanie (Corpus Hypercubus) (1954). To samo tesseract netto jest kluczowa dla fabuły opowiadania „-I Zbudował Crooked House-” przez Robert A. Heinlein .

Liczba kombinatorycznie odrębnych sieci o wymiarową hipersześcianach można znaleźć poprzez reprezentowanie tych sieci w formie drzewa na węzłach opisujących schemat, w którym pary twarzach hipersześcianu są sklejone ze sobą tworząc sieć, wraz z doskonałego dopasowania na dopełnienie grafu drzewa opisującego pary twarzy, które są naprzeciw siebie na złożonym hipersześcianie. Korzystając z tej reprezentacji, liczba różnych rozwinięć dla hipersześcianów o wymiarach 2, 3, 4, ... została policzona jako

1, 11, 261, 9694, 502110, 33064966, 2642657228, ...

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne