Twierdzenie o zakazie klonowania - No-cloning theorem

Część serii artykułów na temat
Mechanika kwantowa
${\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ kapelusz {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Równanie Schrödingera
Wstęp Słowniczek Historia
Tło Mechanika klasyczna Stara teoria kwantowa Notacja biustonosza hamiltonian Ingerencja
Podstawy Komplementarność Dekoherencja Splątanie Poziom energii Pomiar Nielokalizacja Liczba kwantowa Państwo Nałożenie Symetria Tunelowanie Niepewność Funkcja falowa  ( zwiń )
Eksperymenty Nierówność Bella Davisson-Germer Podwójna szczelina Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Nierówność Leggetta-Garga Mach-Zehnder Popper Gumka kwantowa  ( opóźniony wybór ) Kot Schrödingera Stern-Gerlach Opóźniony wybór Wheelera
Preparaty Przegląd Heisenberg Interakcja Matryca Przestrzeń fazowa Schrödinger Suma nad historiami (całka po ścieżce)
Równania Dirac Klein-Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretacje Przegląd Bayesian Spójne historie Kopenhaga de Broglie-Bohm Ensemble Ukryta zmienna Wiele-światów Upadek celu Logika kwantowa Relacyjny Transakcyjny
Zaawansowane tematy Relatywistyczna mechanika kwantowa Kwantowa teoria pola Informatyka kwantowa Obliczenia kwantowe chaos kwantowy Matryca gęstości Teoria rozproszenia Kwantowa mechanika statystyczna Uczenie maszynowe kwantowe
Naukowcy Aharonov dzwon Blacketta Bloch Bohm Bohr Urodzić się Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everetta Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordania Kramer Pauli owieczka Lando Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Ramana Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wiedeń Wigner Zeemana Zeilinger
v T mi

W fizyce twierdzenie o braku klonowania mówi, że niemożliwe jest stworzenie niezależnej i identycznej kopii arbitralnie nieznanego stanu kwantowego , co ma głębokie implikacje między innymi w dziedzinie obliczeń kwantowych . Twierdzenie to jest ewolucją twierdzenia „ no-go” z 1970 roku autorstwa Jamesa Parka, w którym pokazuje on, że nie może istnieć niezakłócający schemat pomiarowy, który jest zarówno prosty, jak i doskonały (ten sam wynik uzyskaliby niezależnie w 1982 r. Wootters i Zurek jak również Dieks w tym samym roku). Powyższe twierdzenia nie wykluczają splątania stanu jednego układu ze stanem drugiego, gdyż klonowanie dotyczy w szczególności tworzenia stanu separowalnego o identycznych czynnikach. Na przykład można użyć kontrolowanej bramki NOT i bramki Walsha-Hadamarda do splątania dwóch kubitów bez naruszania twierdzenia o zakazie klonowania, ponieważ żaden dobrze zdefiniowany stan nie może być zdefiniowany w kategoriach podsystemu stanu splątanego. Twierdzenie o braku klonowania (w ogólnie rozumianym rozumieniu) dotyczy tylko stanów czystych, podczas gdy uogólnione twierdzenie dotyczące stanów mieszanych znane jest jako twierdzenie o braku emisji .

Twierdzenie o zakazie klonowania ma podwójną liczbę odwróconą w czasie , twierdzenie o nieusuwaniu . Razem stanowią one podstawę interpretacji mechaniki kwantowej w kategoriach teorii kategorii , a w szczególności kategorii zwartej sztyletu . To sformułowanie, zwane kategoryczną mechaniką kwantową , pozwala z kolei na połączenie mechaniki kwantowej z logiką liniową jako logiką kwantowej teorii informacji (w tym samym sensie, w jakim logika intuicjonistyczna wyrasta z kartezjańskich kategorii zamkniętych ).

Historia

Według Asher Peres i David Kaiser , publikacji z 1982 dowód zakaz klonowania przez Wootters i Zurek i przez Dieks został poproszony przez wniosek Nick Herbert dla nadświetlną komunikacji urządzenia za pomocą kwantowego splątania , a Giancarlo Ghirardi okazał twierdzenie 18 miesięcy przed opublikowanym dowodem przez Woottersa i Żurka w jego referacie do wspomnianej propozycji (o czym świadczy list od redakcji). Jednak Ortigoso zwrócił uwagę w 2018 roku, że kompletny dowód wraz z interpretacją pod kątem braku prostych, niezakłócających pomiarów w mechanice kwantowej został już dostarczony przez Park w 1970 roku.

Twierdzenie i dowód

Załóżmy, że mamy dwa układy kwantowe A i B ze wspólną przestrzenią Hilberta . Załóżmy, że chcemy mieć procedurę kopiowania stanu układu kwantowego A , zamiast stanu układu kwantowego B, dla dowolnego stanu oryginalnego (patrz notacja klamrowa ). Oznacza to, że zaczynając od państwa , chcemy skończyć z państwem . Aby wykonać „kopię” stanu A , łączymy go z systemem B w jakimś nieznanym stanie początkowym, czyli pustym, niezależnym od , o którym wcześniej nie wiemy. ${\ Displaystyle H = H_ {A} = H_ {B}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle | e \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A} \ otimes | e \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A} \ otimes | \ phi \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | e \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$

Stan początkowego układu złożonego jest wtedy opisany następującym iloczynem tensorowym :

${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A} \ otimes | e \ rangle _ {B}.}$

(w dalszej części pominiemy symbol i zachowamy go w sposób niejawny). ${\ Displaystyle \ czasami}$

Istnieją tylko dwie dopuszczalne operacje kwantowe, za pomocą których możemy manipulować układem złożonym:

• Możemy przeprowadzić obserwację , która nieodwracalnie załamuje system w pewnym eigenstate od An obserwowalne , uszkadzając informacje zawarte w qubitu (S) . Oczywiście nie tego chcemy.
• Alternatywnie, moglibyśmy sterować hamiltonianem układu złożonego , a więc operatorem ewolucji w czasie U ( t ), np. dla hamiltonianu niezależnego od czasu, . Ewoluowanie do pewnego ustalonego czasu daje operator unitarny U on , przestrzeń Hilberta układu złożonego. Jednak żaden taki unitarny operator U nie może sklonować wszystkich stanów.${\ Displaystyle U (t) = e ^ {-iHt / \ hbar }}$${\displaystyle t_{0}}$ ${\ Displaystyle H \ czasami H}$

Twierdzenie o zakazie klonowania odpowiada przecząco na następujące pytanie: Czy można skonstruować operator unitarny U , działający na , w którym stan, w którym znajduje się system B, zawsze ewoluuje w stan, w jakim znajduje się system A, niezależnie od stanu system A jest w? ${\ Displaystyle H_ {A} \ czasami H_ {B} = H \ czasami H}$

Twierdzenie : Nie ma operatora unitarnego U na takim, że dla wszystkich stanów znormalizowanych i in${\ Displaystyle H \ czasami H}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle | e \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle U (| \ phi \ rangle _ {A} | e \ rangle _ {B}) = e ^ {i \ alfa (\ phi, e)} | \ phi \ rangle _ {A} | \ phi \ rangle _{B}}$

dla jakiejś liczby rzeczywistej w zależności od i . ${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle e}$

Dodatkowy czynnik fazowy wyraża fakt, że stan kwantowo-mechaniczny definiuje znormalizowany wektor w przestrzeni Hilberta tylko do współczynnika fazowego, tj. jako element rzutowanej przestrzeni Hilberta .

Aby udowodnić twierdzenie, wybieramy dowolną parę stanów iw przestrzeni Hilberta . Ponieważ U ma być jednością, mielibyśmy ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle \ langle \ phi | \ psi \ rangle \ langle e | e \ rangle \ equiv \ langle \ phi | _ {A} \ langle e | _ {B} | \ psi \ rangle _ {A} | e \ rangle _{B}=\langle \phi |_{A}\langle e|_{B}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=e^ {-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |_{A}\langle \phi |_{B}|\psi \rangle _{A} |\psi \rangle _{B}\equiv e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |\psi \rangle ^{2}. }$

Ponieważ zakłada się, że stan kwantowy jest znormalizowany, otrzymujemy ${\displaystyle |e\rangle}$

${\ Displaystyle | \ langle \ phi | \ psi \ rangle | ^ {2} = | \ langle \ phi | \ psi \ rangle |.}$

Oznacza to, że albo lub . Stąd przez nierówność Cauchy'ego-Schwarza albo albo jest ortogonalna do . Nie może tak być jednak w przypadku dwóch arbitralnych państw. Dlatego pojedyncze uniwersalne U nie może sklonować ogólnego stanu kwantowego. Dowodzi to twierdzenia o zakazie klonowania. ${\ Displaystyle | \ langle \ phi | \ psi \ rangle | = 1}$${\ Displaystyle | \ langle \ phi | \ psi \ rangle | = 0}$${\ Displaystyle \ phi = e ^ {i \ beta} \ psi}$${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle \ psi}$

Weźmy na przykład kubit . Może być reprezentowana przez dwie liczby zespolone , zwane amplitudami prawdopodobieństwa ( znormalizowane do 1 ), czyli trzy liczby rzeczywiste (dwa kąty biegunowe i jeden promień). Skopiowanie trzech liczb na klasycznym komputerze przy użyciu dowolnej operacji kopiowania i wklejania jest trywialne (do skończonej precyzji), ale problem pojawia się, gdy kubit jest transformowany jednostkowo (np. przez bramkę kwantową Hadamarda ) w celu polaryzacji (która transformacja jednostkowa jest surjektywna izometria ). W takim przypadku kubit może być reprezentowany przez tylko dwie liczby rzeczywiste (jeden kąt biegunowy i jeden promień równy 1), podczas gdy wartość trzeciej może być w takiej reprezentacji dowolna. Jednak realizacja kubitu (na przykład fotonu zakodowanego w polaryzacji) jest w stanie przechowywać całą informację o kubitach w swojej „strukturze”. Zatem żadna pojedyncza uniwersalna ewolucja unitarna U nie może sklonować dowolnego stanu kwantowego zgodnie z twierdzeniem o zakazie klonowania. Musiałby zależeć od przekształconego stanu kubitu (początkowego), a zatem nie byłby uniwersalny .

Uogólnienie

W sformułowaniu twierdzenia przyjęto dwa założenia: stan, który ma być skopiowany, jest stanem czystym, a proponowana kopiarka działa poprzez ewolucję unitarną w czasie. Te założenia nie powodują utraty ogólności. Jeżeli kopiowany stan jest stanem mieszanym , można go oczyścić . Alternatywnie można podać inny dowód, który działa bezpośrednio ze stanami mieszanymi; w tym przypadku twierdzenie jest często znane jako twierdzenie o braku emisji . Podobnie, arbitralna operacja kwantowa może być zaimplementowana poprzez wprowadzenie ancilli i wykonanie odpowiedniej ewolucji unitarnej. Tak więc twierdzenie o zakazie klonowania jest w pełni ogólne.

Konsekwencje

• Twierdzenie o braku klonowania uniemożliwia stosowanie pewnych klasycznych technik korekcji błędów w stanach kwantowych. Na przykład kopie zapasowe stanu w trakcie obliczeń kwantowych nie mogą być tworzone i używane do korygowania kolejnych błędów. Korekcja błędów ma kluczowe znaczenie dla praktycznego obliczania kwantowego i przez pewien czas nie było jasne, czy jest to możliwe. W 1995 r. Shor i Steane wykazali, że dzieje się tak poprzez niezależne opracowanie pierwszych kodów korygujących błędy kwantowe , które obchodzą twierdzenie o zakazie klonowania.
• Podobnie klonowanie naruszałoby twierdzenie o braku teleportacji , które mówi, że nie można przekształcić stanu kwantowego w ciąg klasycznych bitów (nawet nieskończony ciąg bitów), skopiować te bity w nowe miejsce i odtworzyć kopię pierwotny stan kwantowy w nowej lokalizacji. Nie należy tego mylić z teleportacją wspomaganą splątaniem , która pozwala na zniszczenie stanu kwantowego w jednym miejscu i odtworzenie dokładnej kopii w innym miejscu.
• Twierdzenie o zakazie klonowania jest implikowane przez twierdzenie o braku komunikacji , które stwierdza, że ​​splątanie kwantowe nie może być używane do przesyłania klasycznych informacji (czy to superluminalnych, czy wolniej). Oznacza to, że klonowanie wraz z uwikłaniem umożliwiłoby taką komunikację. Aby to zobaczyć, rozważ eksperyment myślowy EPR i załóżmy, że stany kwantowe można sklonować. Załóżmy, że części maksymalnie splątanego stanu Bell są dystrybuowane do Alicji i Boba. Alicja może wysłać bity do Boba w następujący sposób: Jeśli Alicja chce przesłać „0”, mierzy spin swojego elektronu w kierunku z , załamując stan Boba na lub . Aby przesłać „1”, Alicja nie robi nic ze swoim kubitem. Bob tworzy wiele kopii stanu swojego elektronu i mierzy spin każdej kopii w kierunku z . Bob będzie wiedział, że Alicja przesłała „0”, jeśli wszystkie jego pomiary dadzą ten sam wynik; w przeciwnym razie jego pomiary będą miały wyniki lub z równym prawdopodobieństwem. Umożliwiłoby to Alice i Bobowi komunikowanie się klasycznych bitów między sobą (być może poprzez separacje przestrzenne , naruszając przyczynowość ).${\ Displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$${\displaystyle |z-\rangle_{B}}$${\ Displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$${\displaystyle |z-\rangle_{B}}$
• Stany kwantowe nie mogą być doskonale dyskryminowane.
• Twierdzenie o braku klonowania uniemożliwia interpretację zasady holograficznej dla czarnych dziur, która oznacza, że ​​istnieją dwie kopie informacji, jedna leżąca na horyzoncie zdarzeń, a druga we wnętrzu czarnej dziury. Prowadzi to do bardziej radykalnych interpretacji, takich jak komplementarność czarnej dziury .
• Twierdzenie o zakazie klonowania odnosi się do wszystkich kategorii sztyletów zwartych : nie ma uniwersalnego morfizmu klonowania dla żadnej nietrywialnej kategorii tego rodzaju. Chociaż twierdzenie jest nieodłącznie związane z definicją tej kategorii, nie jest trywialne, aby zobaczyć, że tak jest; wgląd jest ważny, ponieważ kategoria ta obejmuje rzeczy, które nie są skończenie wymiarowymi przestrzeniami Hilberta, w tym kategorię zbiorów i relacji oraz kategorię kobordyzmów .

Klonowanie niedoskonałe

Mimo że niemożliwe jest wykonanie doskonałych kopii nieznanego stanu kwantowego, możliwe jest wykonanie kopii niedoskonałych. Można to zrobić poprzez sprzężenie większego systemu pomocniczego z systemem, który ma być sklonowany, i zastosowanie transformacji unitarnej do systemu połączonego. Jeśli transformacja jednostkowa zostanie wybrana prawidłowo, kilka składników połączonego systemu przekształci się w przybliżone kopie systemu oryginalnego. W 1996 roku V. Buzek i M. Hillery wykazali, że uniwersalna maszyna do klonowania może wykonać klon o nieznanym stanie z zaskakująco wysoką wiernością 5/6.

Niedoskonały kwantowa klonowanie może być stosowany jako podsłuchiwanie na Kryptografia kwantowa protokołów, między innymi w zastosowaniach informatyki kwantowej.

Zobacz też

Bibliografia

Innych źródeł

• V. Buzek i M. Hillery, Klonowanie kwantowe , Physics World 14 (11) (2001), s. 25–29.