p -adyczna funkcja wykładnicza - p-adic exponential function

W matematyce , szczególnie w analizie p- adycznej , p- adyczna funkcja wykładnicza jest p- adycznym odpowiednikiem zwykłej funkcji wykładniczej na liczbach zespolonych . Podobnie jak w przypadku złożonym, ma on funkcję odwrotną, nazwaną logarytmem p- adycznym .

Definicja

Zwykła funkcja wykładnicza na C jest zdefiniowana przez szereg nieskończony

${\ Displaystyle \ exp (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Całkowicie analogicznie definiuje się funkcję wykładniczą na C _p , dokończenie algebraicznego domknięcia Q _p , przez

${\ Displaystyle \ exp _ {p} (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Jednak w przeciwieństwie do exp, które jest zbieżne na całym C , exp _p zbiega się tylko na dysku

${\ Displaystyle | z | _ {p} <p ^ {-1/(p-1)}.}$

Dzieje się tak, ponieważ szeregi p -adyczne zbiegają się wtedy i tylko wtedy, gdy sumy dążą do zera, a ponieważ n ! w mianowniku każdej sumy ma tendencję do uczynienia ich bardzo dużymi p -adycznie, raczej mała wartość z jest potrzebna w liczniku.

p - funkcja logarytmu adycznego

Seria mocy

${\ Displaystyle \ ln (1 + x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n + 1} x ^ {n}} {n}}}$

zbieżne dla x w C _p spełniające | x | _p  < 1 i tak definiuje funkcję logarytmu p- adycznego log _p ( z ) dla | z  − 1| _p  < 1 spełniające zwykłą właściwość log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w . Funkcja log _p może być rozszerzona na wszystkie C ×
p (zbiór elementów niezerowych o C _p ) nakładając że nadal spełniają tę ostatnią właściwość i ustawienie log _p ( p ) = 0. W szczególności, każdy element w o C ×
p można zapisać jako w  =  p ^r ·ζ· z gdzie r jest liczbą wymierną, ζ pierwiastkiem jedności, a | z  − 1| _p  < 1, w którym to przypadku log _p ( w ) = log _p ( z ). Ta funkcja na C ×
p jest czasami nazywany logarytmem Iwasawy, aby podkreślić wybór log _p ( p ) = 0. W rzeczywistości istnieje rozszerzenie logarytmu z | z  − 1| _p  < 1 do wszystkich C ×
p dla każdego wyboru log _p ( p ) w C _p .

Nieruchomości

Jeśli z i w leżą w promieniu zbieżności dla exp _p , to ich suma też jest i mamy zwykłą formułę dodawania: exp _p ( z  +  w ) = exp _p ( z )exp _p ( w ).

Podobnie, jeśli oo i W są niezerowe elementy C _s następnie log _p ( Zw ) = log _P Ź  + log _p wagowo .

Dla z w dziedzinie exp _p , mamy exp _p (log _p (1+ z )) = 1+ z i log _p (exp _p ( z )) =  z .

Pierwiastki logarytmu logarytmu Iwasawy _p ( z ) są dokładnie elementami C _p postaci p ^r ·ζ gdzie r jest liczbą wymierną, a ζ jest pierwiastkiem jedności.

Należy zauważyć, że nie ma analogowy C _s o tożsamości Eulera , e ^{2 πi}  = 1. Jest to konsekwencją twierdzenia Strassmann użytkownika .

Inną istotną różnicą w stosunku do sytuacji w C jest to, że dziedzina zbieżności exp _p jest znacznie mniejsza niż log _p . Zamiast tego można zastosować zmodyfikowaną funkcję wykładniczą — wykładniczą Artina-Hasse — która jest zbieżna na | z | _p  < 1.

Uwagi

Bibliografia

• Rozdział 12 Cassels, JWS (1986). Pola lokalne . Teksty studenckie London Mathematical Society . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 0-521-31525-5.
• Cohen, Henri (2007), Teoria liczb, Tom I: Narzędzia i równania diofantyczne , Teksty magisterskie z matematyki , 239 , New York: Springer, doi : 10.1007/978-0-387-49923-9 , ISBN 978-0-387-49922-2, MR  2312337

Zewnętrzne linki

• p-adyczny wykładniczy i p-adyczny logarytm