Połączenie Peaucelliera-Lipkina - Peaucellier–Lipkin linkage

Połączenie Peaucellier-Lipkin:
paski identycznego koloru mają jednakową długość

Peaucellier-Lipkin wiązanie (lub komórka Peaucellier-Lipkin lub Peaucellier-Lipkin inversor ), wynalezione 1864, pierwszy prawdziwy płaska prostowód - pierwsze płaskie połączenie zdolne do przekształcania ruchu obrotowego w idealnej prostej linii ruchu i vice odwrotnie. Jego nazwa pochodzi od Charlesa-Nicolasa Peaucelliera (1832-1913), francuskiego oficera armii, i Jom Tov Lipmana Lipkina (1846-1876), litewskiego Żyda i syna słynnego rabina Israela Salantera .

Do czasu tego wynalazku nie istniała żadna planarna metoda przekształcania dokładnego ruchu prostoliniowego w ruch kołowy, bez prowadnic odniesienia. W 1864 roku cała moc pochodziła z silników parowych , w których tłok poruszał się po linii prostej w górę iw dół cylindra. Ten tłok musiał utrzymywać dobre uszczelnienie z cylindrem, aby utrzymać medium napędowe i nie tracić wydajności energetycznej z powodu przecieków. Tłok robi to, pozostając prostopadle do osi cylindra, zachowując swój ruch prostoliniowy. Kluczowe znaczenie miało przekształcenie ruchu prostoliniowego tłoka w ruch kołowy. Większość, jeśli nie wszystkie, zastosowania tych maszyn parowych były obrotowe.

Matematyka powiązania Peaucelliera-Lipkina jest bezpośrednio związana z odwróceniem koła.

Wcześniejsze połączenie Sarrus

Istnieje wcześniejszy mechanizm prostoliniowy, którego historia nie jest dobrze znana, zwany powiązaniem Sarrusa . To połączenie poprzedza połączenie Peaucelliera-Lipkina o 11 lat i składa się z szeregu zawiasowych prostokątnych płyt, z których dwie pozostają równoległe, ale mogą być normalnie przenoszone do siebie. Połączenie Sarrusa jest klasy trójwymiarowej, czasami znanej jako korba kosmiczna , w przeciwieństwie do połączenia Peaucelliera-Lipkina, które jest mechanizmem planarnym.

Geometria

Schemat geometryczny wiązania Peaucelliera

Na schemacie geometrycznym aparatu widać sześć prętów o stałej długości: OA, OC, AB, BC, CD, DA. Długość OA jest równa długości OC, a długości AB, BC, CD i DA są równe, tworząc romb . Również punkt O jest ustalony. Następnie, jeśli punkt B jest zmuszony do poruszania się po okręgu (na przykład, dołączając go do pręta o długości w połowie odległości między O i B; ścieżka pokazana na czerwono), który przechodzi przez O, to punkt D będzie musiał się przesunąć wzdłuż linii prostej (pokazanej na niebiesko). Z drugiej strony, jeśli punkt B miałby poruszać się wzdłuż prostej (nie przechodzącej przez O), to punkt D musiałby koniecznie poruszać się po okręgu (przechodząc przez O).

Matematyczny dowód koncepcji

Kolinearność

Najpierw należy udowodnić, że punkty O, B, D są współliniowe . Można to łatwo zauważyć, obserwując, że połączenie jest lustrzanie symetryczne względem linii OD, więc punkt B musi paść na tę linię.

Bardziej formalnie, trójkąty BAD i BCD są przystające, ponieważ strona BD jest przystająca do siebie, strona BA jest przystająca do boku BC, a strona AD jest przystająca do boku CD. Dlatego kąty ABD i CBD są równe.

Następnie trójkąty OBA i OBC są przystające, ponieważ boki OA i OC są przystające, bok OB jest przystający do siebie, a boki BA i BC są przystające. Dlatego kąty OBA i OBC są równe.

Wreszcie, ponieważ tworzą one pełne koło, mamy

∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°

ale ze względu na kongruencje kąt OBA = kąt OBC i kąt DBA = kąt DBC, stąd

2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°

∠OBA + ∠DBA = 180°

dlatego punkty O, B i D są współliniowe.

Odwrotne punkty

Niech punkt P będzie przecięciem prostych AC i BD. Następnie, ponieważ ABCD jest rombem , P jest punktem środkowym obu odcinków linii BD i AC. Dlatego długość BP = długość PD.

Trójkąt BPA jest przystający do trójkąta DPA, ponieważ strona BP jest przystająca do boku DP, strona AP jest przystająca do siebie, a strona AB jest przystająca do boku AD. Dlatego kąt BPA = kąt DPA. Ale skoro kąt BPA + kąt DPA = 180°, to 2 × kąt BPA = 180°, kąt BPA = 90°, a kąt DPA = 90°.

Pozwolić:

${\ Displaystyle x = \ ell _ {BP} = \ ell _ {PD}}$

${\displaystyle y=\ell_{OB}}$

${\displaystyle h=\ell_{AP}}$

Następnie:

${\ Displaystyle \ ell _ {OB} \ cdot \ ell _ {OD} = y (y + 2 x) = y ^ {2} + 2 xy}$

${\ Displaystyle {\ ell _ {OA}} ^ {2} = (y + x) ^ {2} + h ^ {2}}$ (z powodu twierdzenia Pitagorasa )

${\ Displaystyle {\ ell _ {OA}} ^ {2} = y ^ {2} + 2 xy + x ^ {2} + h ^ {2}}$(rozwinięte to samo wyrażenie)

${\ Displaystyle {\ ell _ {AD}} ^ {2} = x ^ {2} + h ^ {2}}$ (Twierdzenie Pitagorasa)

${\ Displaystyle {\ ell _ {OA}} ^ {2} - {\ ell _ {AD}} ^ {2} = ^ {2} + 2xy = \ ell _ {OB} \ cdot \ ell _ {OD }}$

Ponieważ OA i AD są długościami stałymi, iloczyn OB i OD jest stałą:

${\ Displaystyle \ ell _ {OB} \ cdot \ ell _ {OD} = k ^ {2}}$

a ponieważ punkty O, B, D są współliniowe, to D jest odwrotnością B względem okręgu (O, k ) o środku O i promieniu k .

Geometria odwrotna

Tak więc, dzięki właściwościom geometrii odwrotnej , ponieważ figura wyznaczona przez punkt D jest odwrotnością figury wyznaczonej przez punkt B, jeśli B prześledzi okrąg przechodzący przez środek odwrócenia O, to D jest ograniczone do narysowania linii prostej. Ale jeśli B kreśli linię prostą nie przechodzącą przez O, to D musi narysować łuk koła przechodzącego przez O. QED

Typowy kierowca

Czterobelkowy suwak-rocker działa jako napęd połączenia Peaucellier-Lipkin

Wiązania Peaucelliera-Lipkina (PLL) mogą mieć kilka inwersji. Typowy przykład pokazano na rysunku obok, na którym jako sterownik wejściowy służy czteroprętowy suwak typu rocker-slider. Aby być precyzyjnym, suwak działa jak wejście, które z kolei napędza właściwe uziemione łącze PLL, napędzając w ten sposób cały PLL.

Notatki historyczne

Sylvester ( Dzieła zebrane , t. 3, artykuł 2) pisze, że kiedy pokazał model Kelvinowi , „opiekował się nim tak, jakby to było jego własne dziecko, a kiedy został złożony wniosek, by go od niego uwolnić, odpowiedział: Nie ! Nie mam już tego dość – to najpiękniejsza rzecz, jaką w życiu widziałem”.

Odniesienia kulturowe

Monumentalna rzeźba przedstawiająca połączenie w oświetlonych rozpórkach jest na stałej wystawie w Eindhoven w Holandii . Dzieło ma wymiary 22 na 15 na 16 metrów (72 ft x 49 ft x 52 ft), waży 6600 kilogramów (14600 funtów) i może być obsługiwane z panelu sterowania dostępnego dla ogółu społeczeństwa.

Zobacz też

• Odwracacz Harta
• Połączenie (mechaniczne)

Bibliografia

Bibliografia

• Ogilvy, CS (1990), Wycieczki w geometrii , Dover, s.  46-48 , ISBN 0-486-26530-7
• Bryant, John; Sangwin, Chris (2008). Jak okrągły jest twój krąg? : gdzie inżynieria i matematyka spotykają się . Princeton: Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. s. 33–38, 60–63. Numer ISBN 978-0-691-13118-4. — dowód i dyskusja na temat powiązania Peaucelliera–Lipkina, matematycznych i rzeczywistych modeli mechanicznych
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Powrót do geometrii . Waszyngton : MAA . s.  108 -111. Numer ISBN 978-0-88385-619-2. (i cytowane tam odniesienia)
• Hartenberg, RS i J. Denavit (1964) Kinematyczna synteza powiązań , s. 181-5, New York: McGraw-Hill, link z Cornell University .
• Johnsona RA (1960). Zaawansowana geometria euklidesowa: elementarny traktat o geometrii trójkąta i koła (przedruk wydania z 1929 r. przez Houghton Miflin ed.). Nowy Jork: Dover Publikacje. s. 46-51. Numer ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells D (1991). Pingwinowy słownik ciekawej i interesującej geometrii . Nowy Jork: Książki o pingwinach. str. 120 . Numer ISBN 0-14-011813-6.

Linki zewnętrzne

• Jak narysować linię prostą, klipy wideo online z powiązaniami z interaktywnymi apletami.
• Jak narysować linię prostą, historyczne omówienie projektu powiązania
• Interaktywny aplet Java z dowodem.
• Java animowane połączenie Peaucelliera-Lipkina
• Artykuł w Jewish Encyclopedia na temat Lippmana Lipkina i jego ojca Israela Salantera
• Peaucellier Apparatus zawiera interaktywny aplet
• Symulacja z wykorzystaniem oprogramowania Molecular Workbench
• Pokrewny związek zwany Inversor Harta.
• Zmodyfikowane połączenie ramienia robota Peaucellier (wideo Vex Team 1508)