Pięciokątny polytope - Pentagonal polytope
W geometrii , A pięciokątny Polytope jest regularny Polytope z n wymiarów wykonana z H n grupy Coxeter . Rodzina została nazwana przez HSM Coxetera , ponieważ dwuwymiarowy pięciokątny polytop to pięciokąt . Można go nazwać symbolem Schläfliego jako {5, 3 n - 2 } (dodekaedryczny) lub {3 n - 2 , 5} (ikozaedryczny).
Członkowie rodziny
Rodzina zaczyna się jako 1-polytope, a kończy się n = 5 jako nieskończone teselacje 4-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej.
Istnieją dwa rodzaje pięciokątnych polytopów; mogą być określane przez dodecahedral i dwudziestościennego kapsydu zbudowanego typy, ich trójwymiarowych członków. Te dwa typy są dwojakie.
Dodekaedryczny
Pełna rodzina dwunastościennych pięciokątnych polytopów to:
- Segment linii , {}
- Pentagon , {5}
- Dwunastościan , {5, 3} (12 pięciokątnych ścian)
- 120 komórek , {5, 3, 3} (120 dodekaedrycznych komórek)
- Order-3 120-komorowy plaster miodu , {5, 3, 3, 3} (mozaikowate hiperboliczne 4-spacje (∞ ścianki 120-komórkowe )
Ściany każdego dwunastościennego pięciokątnego polytopu to dwunastościenne pięciokątne politopy o jednym mniejszym wymiarze. Ich figury wierzchołkowe to prostoty o jeden wymiar mniej.
n | Grupa Coxetera |
Rzutowanie wielokątne Petrie |
Nazwa Schemat Coxetera Symbol Schläfliego |
Aspekty | Elementy | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Wierzchołki | Krawędzie | Twarze | Komórki | 4- twarzowe | |||||
1 |
[] (zamówienie 2) |
Odcinek {} |
2 wierzchołki | 2 | |||||
2 |
[5] (zamówienie 10) |
Pięciokąt {5} |
5 krawędzi | 5 | 5 | ||||
3 |
[5,3] (zamówienie 120) |
Dwunastościan {5, 3} |
12 pięciokątów |
20 | 30 | 12 | |||
4 |
[5,3,3] (zamówienie 14400) |
120 ogniw {5, 3, 3} |
120 dodecahedra |
600 | 1200 | 720 | 120 | ||
5 |
[5,3,3,3] (kolejność ∞) |
120-komorowy plaster miodu {5, 3, 3, 3} |
∞ 120 ogniw |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
Icosaedr
Pełna rodzina dwudziestościennych polytopów pięciokątnych to:
- Segment linii , {}
- Pentagon , {5}
- Dwudziestościan , {3, 5} (20 trójkątnych ścian)
- 600 komórek , {3, 3, 5} (600 czworościanów )
- 5-komorowy plaster miodu rzędu 5 , {3, 3, 3, 5} (mozaikowate hiperboliczne 4-spacje (∞ ścianki 5-komórkowe )
Fasety każdego dwudziestościennego pięciokątnego polytopu są prostotami o jeden wymiar mniej. Ich figury wierzchołkowe to dwudziestościenne pięciokątne polytopy o jednym mniejszym wymiarze.
n | Grupa Coxetera |
Rzutowanie wielokątne Petrie |
Nazwa Schemat Coxetera Symbol Schläfliego |
Aspekty | Elementy | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Wierzchołki | Krawędzie | Twarze | Komórki | 4- twarzowe | |||||
1 |
[] (zamówienie 2) |
Odcinek {} |
2 wierzchołki | 2 | |||||
2 |
[5] (zamówienie 10) |
Pięciokąt {5} |
5 krawędzi | 5 | 5 | ||||
3 |
[5,3] (zamówienie 120) |
Dwudziestościan {3, 5} |
20 trójkątów równobocznych |
12 | 30 | 20 | |||
4 |
[5,3,3] (zamówienie 14400) |
600 ogniw {3, 3, 5} |
600 czworościanów |
120 | 720 | 1200 | 600 | ||
5 |
[5,3,3,3] (kolejność ∞) |
5-komorowy plaster miodu na zamówienie {3, 3, 3, 5} |
∞ 5-ogniwowe |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
Powiązane polytopy gwiazd i plastry miodu
Pięciokątne polytopy mogą być stelowane, tworząc nowe regularne polytopy gwiazdowe :
- W dwóch wymiarach otrzymujemy pentagram {5/2},
- W trzech wymiarach tworzy to cztery wielościany Keplera – Poinsota , { 3,5 / 2 }, { 5 / 2,3 }, { 5,5 / 2 } i { 5 / 2,5 }.
- W czterech wymiarach tworzy to dziesięć polichor Schläfliego-Hessa : { 3,5,5 / 2 }, { 5 / 2,5,3 }, { 5,5 / 2,5 }, { 5,3,5 / 2 }, { 5 / 2,3,5 }, { 5 / 2,5,5 / 2 }, { 5,5 / 2,3 }, { 3,5 / 2,5 }, { 3,3, 5/2 } i { 5 / 2,3,3 }.
- W czterowymiarowej przestrzeni hiperbolicznej znajdują się cztery regularne plastry miodu w kształcie gwiazdy : {5 / 2,5,3,3} , {3,3,5,5 / 2} , {3,5,5 / 2,5} , i {5,5 / 2,5,3} .
W niektórych przypadkach pięciokątne polytopy gwiazd są zaliczane do pięciokątnych wielościanów.
Podobnie jak inne polytopy, regularne gwiazdy można łączyć ze swoimi podwójnymi, tworząc związki;
- W dwóch wymiarach powstaje decagramiczna figura gwiazdy {10/2},
- W trzech wymiarach otrzymujemy związek dwunastościanu i dwudziestościanu ,
- W czterech wymiarach otrzymujemy mieszankę 120-komorową i 600-komorową .
Można również łączyć polytopy gwiazdowe.
Uwagi
Bibliografia
-
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , red. F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,
ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Przekaz 10) HSM Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f (α, β, γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- Coxeter , Regular Polytopes , 3rd. wyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabela I (ii): 16 regularnych polytopes {p, q, r} w czterech wymiarach, str. 292–293)