Faza (fale) - Phase (waves)

Wykres jednego cyklu funkcji sinusoidalnej. Faza dla każdej wartości argumentu względem początku cyklu jest pokazana na dole, w stopniach od 0° do 360° oraz w radianach od 0 do 2π.

W fizyki i matematyki The fazy z okresową funkcją pewnej rzeczywistej zmiennej (takie, jak czas) jest kąt -jak ilości stanowiących część cyklu pokryta do . Jest ona oznaczona i wyrażona w takiej skali , że zmienia się o jeden pełny obrót, gdy zmienna przechodzi przez każdy okres (i przechodzi przez każdy pełny cykl). Może być mierzony w dowolnej jednostce kątowej, takiej jak stopnie lub radiany , zwiększając się w ten sposób o 360° lub gdy zmienna kończy pełny okres.

Ta konwencja jest szczególnie odpowiednia dla funkcji sinusoidalnej , ponieważ jej wartość w dowolnym argumencie może być wtedy wyrażona jako sinus fazy pomnożony przez pewien współczynnik ( amplituda sinusoidy). ( Cosinus może być użyty zamiast sinusa, w zależności od tego, gdzie uważa się, że rozpoczyna się każdy okres).

Zazwyczaj całe tury są ignorowane podczas wyrażania fazy; więc jest to również funkcja okresowa, z tym samym okresem co , która wielokrotnie skanuje ten sam zakres kątów, który przechodzi przez każdy okres. Następnie mówi się, że jest „w tej samej fazie” przy dwóch wartościach argumentów i (to znaczy ), jeśli różnica między nimi jest całkowitą liczbą okresów.

Wartość liczbowa fazy zależy od arbitralnego wyboru początku każdego okresu oraz od przedziału kątów, na które każdy okres ma być odwzorowany.

Termin „faza” jest również używany przy porównywaniu funkcji okresowej z jej przesuniętą wersją . Jeśli przesunięcie jest wyrażony jako ułamek okresu oraz skalowany do kąta obejmującym cały zakrętu ma się przesunięcie fazowe , przesunięcia fazowego , lub różnicy faz w stosunku do . Jeśli jest to funkcja „kanoniczne” dla klasy sygnałów, tak jak w przypadku wszystkich sygnałów sinusoidalnych, to nazywa się pierwszą fazę z .

Definicja matematyczna

Niech będzie sygnałem okresowym (czyli funkcją jednej zmiennej rzeczywistej) i będzie jego okresem (czyli najmniejszą dodatnią liczbą rzeczywistą taką, że dla wszystkich ). Następnie fazę w żadnym argumentem jest

Tutaj oznacza część ułamkową liczby rzeczywistej, odrzucając jej część całkowitą; czyli ; i jest arbitralną wartością „początkową” argumentu, którą uważa się za początek cyklu.

Koncepcję tę można zwizualizować, wyobrażając sobie zegar ze wskazówką, która obraca się ze stałą prędkością, wykonując pełny obrót co sekundę i wskazuje prosto w górę . Faza jest wtedy kątem od pozycji 12:00 do aktualnej pozycji wskazówki w czasie mierzonym zgodnie z ruchem wskazówek zegara .

Koncepcja etapu jest najbardziej użyteczna, gdy początek jest wybierany na podstawie cech . Na przykład w przypadku sinusoidy wygodnym wyborem jest ten, w którym wartość funkcji zmienia się od zera do dodatniej.

Powyższy wzór podaje fazę jako kąt w radianach od 0 do . Aby uzyskać fazę jako kąt między a , zamiast tego używa się

Faza wyrażona w stopniach (od 0° do 360° lub od -180° do +180°) jest definiowana w ten sam sposób, z wyjątkiem „360°” zamiast „2π”.

Konsekwencje

Przy każdej z powyższych definicji faza sygnału okresowego jest również okresowa, z tym samym okresem :

dla wszystkich .

Faza wynosi zero na początku każdego okresu; to jest

dla dowolnej liczby całkowitej .

Co więcej, dla dowolnego wyboru pochodzenia , wartość sygnału dla dowolnego argumentu zależy tylko od jego fazy w . Mianowicie można napisać , gdzie jest funkcją kąta, określoną tylko dla jednego pełnego obrotu, która opisuje zmienność jako zakresy w jednym okresie.

W rzeczywistości każdy sygnał okresowy o określonym przebiegu może być wyrażony jako

gdzie jest „kanoniczną” funkcją kąta fazowego w zakresie od 0 do 2π, która opisuje tylko jeden cykl tego przebiegu; i jest czynnikiem skalującym amplitudę. (To twierdzenie zakłada, że ​​czas rozpoczęcia wybrany do obliczenia fazy odpowiada argumentowi 0 z .)

Dodawanie i porównywanie faz

Ponieważ fazy są kątami, wszystkie pełne obroty powinny być zwykle ignorowane podczas wykonywania na nich operacji arytmetycznych. Oznacza to, że sumę i różnicę dwóch faz (w stopniach) należy obliczyć ze wzorów

oraz

odpowiednio. Na przykład suma kątów fazowych 190° + 200° wynosi 30° ( 190 + 200 = 390 , minus jeden pełny obrót), a odjęcie 50° od 30° daje fazę 340° ( 30 - 50 = − 20 plus jeden pełny obrót).

Podobne formuły dotyczą radianów, zamiast 360.

Przesunięcie fazowe

Ilustracja przesunięcia fazowego. Oś pozioma reprezentuje kąt (fazę), który rośnie wraz z upływem czasu.
Przesuwnik fazowy za pomocą modulatora IQ

Różnica pomiędzy faz dwóch sygnałów okresowych i nazywany jest różnicą faz lub przesunięcie fazy o w stosunku do . Przy wartościach, gdy różnica wynosi zero, mówi się, że dwa sygnały są w fazie , w przeciwnym razie są ze sobą w fazie .

W analogii z zegarem każdy sygnał jest reprezentowany przez wskazówkę (lub wskaźnik) tego samego zegara, obie obracające się ze stałą, ale prawdopodobnie różnymi prędkościami. Różnica faz to wtedy kąt między dwiema wskazówkami, mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Różnica faz jest szczególnie ważna, gdy dwa sygnały są sumowane w procesie fizycznym, takim jak dwie okresowe fale dźwiękowe emitowane przez dwa źródła i rejestrowane razem przez mikrofon. Zwykle dzieje się tak w układach liniowych , gdy obowiązuje zasada superpozycji .

W przypadku argumentów, gdy różnica faz wynosi zero, dwa sygnały będą miały ten sam znak i będą się wzajemnie wzmacniać. Jeden mówi, że ma miejsce konstruktywna ingerencja . W argumentach, gdy fazy są różne, wartość sumy zależy od kształtu fali.

Dla sinusoid

Dla sygnałów sinusoidalnych, gdy różnica faz wynosi 180° (w radianach), mówi się, że fazy są przeciwne , a sygnały są w przeciwfazie . Wtedy sygnały mają przeciwne znaki i dochodzi do destrukcyjnych zakłóceń . Odwrotnie, odwrócenie fazy lub odwrócenie fazy oznacza przesunięcie fazowe o 180 stopni.

Gdy różnica faz wynosi ćwierć obrotu (kąt prosty, +90° = π/2 lub -90° = 270° = -π/2 = 3π/2 ), czasami mówi się, że sygnały sinusoidalne są kwadraturowe (np. , składowe współfazowe i kwadraturowe ).

Jeśli częstotliwości są różne, różnica faz rośnie liniowo wraz z argumentem . Okresowe zmiany od wzmocnienia i opozycji powodują zjawisko zwane biciem .

Dla przesuniętych sygnałów

Różnica faz jest szczególnie ważna przy porównywaniu sygnału okresowego z jego przesuniętą i ewentualnie przeskalowaną wersją . To znaczy załóżmy, że dla niektórych stałych i wszystkich . Załóżmy również, że przesunięto również początek obliczania fazy . W tym przypadku, różnica faz jest stałe (niezależnie od ), zwane przesunięcie fazowe lub przesunięcie fazy w stosunku do . W analogii z zegarem sytuacja ta odpowiada dwóm wskazówkom obracającym się z tą samą prędkością, tak aby kąt między nimi był stały.

W tym przypadku przesunięcie fazowe jest po prostu przesunięciem argumentu , wyrażonym jako ułamek wspólnego okresu (w sensie operacji modulo ) dwóch sygnałów, a następnie przeskalowanym do pełnego obrotu:

Jeśli jest „kanoniczna” reprezentatywny dla klasy sygnałów, jak jest dla wszystkich sygnałów sinusoidalnych, a następnie przesunięcie fazowe nazywany po prostu początkowa faza od .

Dlatego, gdy dwa sygnały okresowe mają tę samą częstotliwość, są zawsze w fazie lub zawsze są w fazie. Fizycznie taka sytuacja występuje często z wielu powodów. Na przykład te dwa sygnały mogą być okresową falą dźwiękową rejestrowaną przez dwa mikrofony w oddzielnych lokalizacjach. Lub odwrotnie, mogą to być okresowe fale dźwiękowe tworzone przez dwa oddzielne głośniki z tego samego sygnału elektrycznego i rejestrowane przez pojedynczy mikrofon. Mogą to być sygnał radiowy , który dociera do anteny odbiorczej w linii prostej i jego kopia, która została odbita od dużego budynku w pobliżu.

Dobrze znanym przykładem różnicy faz jest długość cieni widzianych w różnych punktach Ziemi. W pierwszym przybliżeniu, jeśli jest długością widzianą w danym momencie w jednym miejscu i jest długością widzianą w tym samym czasie na długości 30° na zachód od tego punktu, to różnica faz między dwoma sygnałami wyniesie 30° (przy założeniu, że , w każdym sygnale każdy okres rozpoczyna się, gdy cień jest najkrótszy).

Dla sinusoid o tej samej częstotliwości

W przypadku sygnałów sinusoidalnych (i kilku innych przebiegów, takich jak kwadratowy lub symetryczny trójkątny), przesunięcie fazowe o 180° jest równoważne przesunięciu fazowemu o 0° z negacją amplitudy. Gdy dwa sygnały o tych kształtach fali, tym samym okresie i przeciwnych fazach zostaną dodane do siebie, suma jest albo identycznie zerowa, albo jest sygnałem sinusoidalnym o tym samym okresie i fazie, którego amplituda jest różnicą amplitud pierwotnych.

Przesunięcie fazowe funkcji cosinus względem funkcji sinus wynosi +90°. Wynika stąd, że, z dwóch sygnałów sinusoidalnych i o tej samej częstotliwości i amplitud i i posiada przesunięcie fazowe + 90 ° w stosunku do suma jest sinusoidalny sygnał o tej samej częstotliwości, z amplitudą i przesunięciem fazowym z , tak że

i .
Sygnały w fazie
Sygnały przesunięte w fazie
Reprezentacja porównania faz.
Lewej: część rzeczywista z fali płaskiej ruchomej od góry do dołu. Po prawej: ta sama fala po środkowej części uległa przesunięciu fazowemu, na przykład przechodząc przez szkło o innej grubości niż pozostałe części.
Przesunięta faza AE

Prawdziwy przykład dźwiękowej różnicy faz występuje w świergocie fletu rdzennych Amerykanów . Amplituda różnych składowych harmonicznych tego samego długo trzymanego dźwięku na flecie zaczyna dominować w różnych punktach cyklu fazowego. Różnicę fazową pomiędzy różnymi harmonicznymi można zaobserwować na spektrogramie dźwięku trzeszczącego fletu.

Porównanie faz

Porównanie fazowe to porównanie fazy dwóch przebiegów, zwykle o tej samej częstotliwości nominalnej. W czasie i częstotliwości celem porównania faz jest ogólnie określenie przesunięcia częstotliwości (różnicy między cyklami sygnału) w odniesieniu do odniesienia.

Porównania faz można dokonać, podłączając dwa sygnały do dwukanałowego oscyloskopu . Oscyloskop wyświetli dwa sygnały sinusoidalne, jak pokazano na rysunku po prawej stronie. Na sąsiednim obrazie górny sygnał sinusoidalny jest częstotliwością testową , a dolny sygnał sinusoidalny reprezentuje sygnał odniesienia.

Gdyby te dwie częstotliwości były dokładnie takie same, ich zależność fazowa nie zmieniłaby się i obie wydawałyby się nieruchome na wyświetlaczu oscyloskopu. Ponieważ te dwie częstotliwości nie są dokładnie takie same, odniesienie wydaje się być nieruchome i sygnał testowy się porusza. Mierząc prędkość ruchu sygnału testowego, można określić przesunięcie między częstotliwościami.

Pionowe linie zostały narysowane przez punkty, w których każdy sygnał sinusoidalny przechodzi przez zero. Dolna część rysunku pokazuje paski, których szerokość reprezentuje różnicę faz między sygnałami. W tym przypadku różnica faz rośnie, wskazując, że sygnał testowy ma niższą częstotliwość niż odniesienie.

Wzór na fazę oscylacji lub sygnału okresowego

Faza oscylacji lub sygnału odnosi się do funkcji sinusoidalnej, takiej jak:

gdzie , i są stałymi parametrami zwanymi amplitudą , częstotliwością i fazą sinusoidy . Sygnały te są okresowe z okresem i są identyczne z wyjątkiem przesunięcia wzdłuż osi. Termin faza może odnosić się do kilku różnych rzeczy :

  • Może odnosić się do określonego odniesienia, takich jak , w którym to przypadku mówimy fazę o to , a fazę o to .
  • Może odnosić się do , w którym to przypadku powiedzielibyśmy i mają tę samą fazę, ale odnoszą się do ich własnych konkretnych odwołań.
  • W kontekście przebiegów komunikacyjnych kąt zmienności czasowej , czyli jego główna wartość , określana jest jako faza chwilowa , często tylko faza .

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki