Klasa boiska - Pitch class

Doskonała gra oktawowa O tym dźwięku 
Wszystkie C od C 1 do C 7 włącznie Graj .O tym dźwięku 

W muzyce , A klasa pitch ( PC lub PC ) to zbiór wszystkich miejsc , które są cały szereg oktawy od siebie, na przykład, klasa pitch C składa się z Cs we wszystkich oktaw. „Klasa dźwięku C oznacza wszystkie możliwe C, niezależnie od pozycji oktawy”. Ważna dla muzycznej teorii mnogości , klasa tonu to „wszystkie tony powiązane ze sobą przez oktawę, równoważność enharmoniczną lub obie”. Tak więc, używając naukowej notacji wysokości tonu , zbiór tonów jest klasą tonu „C”

{C n  : n jest liczbą całkowitą } = {..., Ci -2 , C -1 , C 0 C 1 , grupę 2 , grupę 3 ...}.

Chociaż nie ma formalnej górnej ani dolnej granicy tej sekwencji, tylko kilka z tych tonów jest słyszalnych dla ludzkiego ucha. Klasa wysokości tonu jest ważna, ponieważ ludzka percepcja wysokości tonu jest okresowa : tony należące do tej samej klasy są postrzegane jako mające podobną jakość lub kolor, właściwość zwaną „ równoważnością oktawową ”.

Psychologowie odnoszą się do jakości boiska jako do jego „koloru”. Chrominancji jest atrybutem stanowisk (w przeciwieństwie do wysokości tonu ), takich jak barwa jest atrybutem koloru . Klasa pitch to zbiór wszystkich miejsc, które dzielą ten sam nasycenia, podobnie jak „zbiór wszystkich białych rzeczy” jest zbiorem wszystkich białych obiektów.

Należy zauważyć, że w standardzie Zachodniej temperowanego , różne pisowni może odnosić się do tej samej brzmiące obiektu B 3 , C 4 i D 4 odnoszą się do tej samej wysokości, a zatem dzielić ten sam nasycenia, i dlatego należą do tej samej klasy skoku; zjawisko zwane równoważnością enharmoniczną . podwójne mieszkanie

Notacja liczb całkowitych

Aby uniknąć problemu pisowni enharmonicznej, teoretycy zazwyczaj przedstawiają klasy wysokości dźwięków za pomocą liczb zaczynających się od zera, przy czym każda kolejno większa liczba całkowita reprezentuje klasę wysokości dźwięku o półton wyższą niż poprzednia, gdyby wszystkie były zrealizowane jako rzeczywiste wysokości w tym samym oktawa. Ponieważ wysokości dźwięków związanych z oktawą należą do tej samej klasy, po osiągnięciu oktawy numery zaczynają się ponownie od zera. Ten cykliczny system jest określany jako arytmetyka modularna i, w zwykłym przypadku chromatycznych skal dwunastotonowych, numeracja klas wysokości tonu jest uważana za „modulo 12” (w literaturze muzycznej zwyczajowo w skrócie „mod 12”) – to znaczy , co dwunasty członek jest identyczny. Można odwzorować częstotliwość podstawową f (mierzoną w hercach ) wysokości tonu na liczbę rzeczywistą p za pomocą równania

Tworzy to liniową przestrzeń wysokości, w której oktawy mają rozmiar 12, półtony (odległość między sąsiednimi klawiszami na klawiaturze fortepianu) mają rozmiar 1, a środkowe C (C 4 ) ma przypisaną liczbę 0 (zatem wysokości na fortepianie to − 39 do +48). Rzeczywiście, mapowanie od wysokości tonu do liczb rzeczywistych zdefiniowane w ten sposób stanowi podstawę standardu strojenia MIDI , który wykorzystuje liczby rzeczywiste od 0 do 127 do reprezentowania wysokości tonów od C- 1 do G 9 (zatem środkowe C to 60). Aby przedstawić klasy wysokości dźwięków , musimy zidentyfikować lub „skleić” wszystkie dźwięki należące do tej samej klasy, tj. wszystkie liczby p i p  + 12. Wynikiem jest cykliczna grupa ilorazów, którą muzycy nazywają przestrzenią klas dźwięków, a matematycy R / 12 Z . Punkty w tej przestrzeni można oznaczyć liczbami rzeczywistymi z zakresu 0 ≤  x  < 12. Liczby te stanowią numeryczne alternatywy dla nazw literowych elementarnej teorii muzyki:

0 = C, 1 = C /D , 2 = D, 2.5 = D pół ostre( ostry ćwierćton ), 3 = D /E ,

i tak dalej. W tym systemie klasy wysokości dźwięku reprezentowane przez liczby całkowite są klasami dwunastotonowego równego temperamentu (przy założeniu standardowego koncertu A).

Notacja liczb całkowitych.

W muzyce , notacja całkowitą jest tłumaczeniem klas skoku i / lub klas interwałowych w liczbach . Zatem jeśli C = 0, to C  = 1 ... A  = 10, B = 11, z „10” i „11” podstawionymi przez „t” i „e” w niektórych źródłach, A i B w innych ( podobnie jak dwunastkowy system liczbowy, który również używa „t” i „e” lub A i B , dla „10” i „11”). Pozwala to na najbardziej ekonomiczną prezentację informacji dotyczących materiałów posttonalnych .

W całkowitym modelu wysokości tonu wszystkie klasy wysokości dźwięku i odstępy między klasami wysokości dźwięku są oznaczone numerami od 0 do 11. Nie jest on używany do notowania muzyki do wykonania, ale jest powszechnym narzędziem analitycznym i kompozycyjnym podczas pracy z muzyką chromatyczną, w tym z dwunastoma ton , serial , lub w inny sposób atonalna muzyka.

Klasy wysokości dźwięku można zapisać w ten sposób, przypisując numer 0 do jakiejś nuty i przypisując kolejne liczby całkowite kolejnym półtonom ; więc jeśli 0 to C naturalne, 1 to C , 2 to D i tak dalej aż do 11, czyli B . C powyżej tego to nie 12, ale znowu 0 (12 − ​​12 = 0). Zatem arytmetyka modulo 12 jest używana do reprezentowania ekwiwalencji oktawowej . Jedną z zalet tego systemu jest to, że ignoruje on „pisownię” nut (B , C i D są wszystkie 0) zgodnie z ich diatoniczną funkcjonalnością . podwójne mieszkanie

Niedogodności

Notacja liczb całkowitych ma kilka wad. Po pierwsze, teoretycy tradycyjnie używali tych samych liczb całkowitych do wskazywania elementów różnych systemów strojenia. Tak więc liczby 0, 1, 2, ... 5 są używane do zapisywania klas wysokości dźwięku w 6-tonowym równym temperamencie. Oznacza to, że znaczenie danej liczby całkowitej zmienia się wraz z podstawowym systemem strojenia: „1” może odnosić się do C w 12-tonowym równomiernie temperowanym, ale D w 6-tonowym równomiernie temperowanym.

Te same liczby są używane do reprezentowania zarówno wysokości tonów, jak i interwałów . Na przykład liczba 4 służy zarówno jako oznaczenie klasy wysokości dźwięku E (jeśli C = 0), jak i jako oznaczenie odległości między klasami wysokości dźwięku D i F . (W podobny sposób termin „10 stopni” może oznaczać zarówno temperaturę, jak i odległość między dwiema temperaturami.) Tylko jedno z tych oznaczeń jest wrażliwe na (dowolny) wybór klasy tonu 0. Na przykład, jeśli inny wybór, która klasa dźwięku jest oznaczona jako 0, to klasa dźwięku E nie będzie już oznaczona jako „4”. Jednak odległości między D i F nadal będzie przypisywana liczba 4. Zarówno to, jak i kwestia w akapicie bezpośrednio powyżej, mogą być postrzegane jako wady (chociaż matematycznie element „4” nie powinien być mylony z funkcją „+ 4").

Inne sposoby oznaczania klas prezentacji

Klasa boiska

Klasa boiska
odpowiedniki tonalne Solfege
0 C (także B , D podwójne mieszkanie) robić
1 C , D (również B ostry zakręt)
2 D (także C ostry zakręt, E podwójne mieszkanie) odnośnie
3 D , E (również: F podwójne mieszkanie)
4 E (także D ostry zakręt, F ) mi
5 F (również E , G podwójne mieszkanie) fa
6 F , G (również E ostry zakręt)
7 G (także F ostry zakręt, A podwójne mieszkanie) sol
8 G ,
9 A (także G ostry zakręt, B podwójne mieszkanie) la
10, t lub A A , B (również C podwójne mieszkanie)
11, e lub B B (także A ostry zakręt, C ) si

Opisany powyżej system jest wystarczająco elastyczny, aby opisać dowolną klasę wysokości dźwięku w dowolnym systemie strojenia: na przykład można użyć liczb {0, 2,4, 4,8, 7,2, 9,6}, aby odnieść się do pięciotonowej skali, która równomiernie dzieli oktawę. Jednak w niektórych kontekstach wygodnie jest stosować alternatywne systemy etykietowania. Na przykład w samej intonacji możemy wyrazić tony w postaci dodatnich liczb wymiernychP/Q, wyrażony przez odniesienie do 1 (często pisane "1/1"), która reprezentuje stałą wysokość dźwięku. Jeśli a i b są dwiema dodatnimi liczbami wymiernymi, należą one do tej samej klasy wysokości dźwięku wtedy i tylko wtedy, gdy

dla pewnej liczby całkowitej n . Dlatego możemy reprezentować klasy wysokości dźwięku w tym systemie za pomocą współczynnikówP/Qgdzie ani p, ani q nie są podzielne przez 2, czyli jako iloraz nieparzystych liczb całkowitych. Alternatywnie możemy przedstawić tylko klasy wysokości intonacji, redukując do oktawy, 1 ≤ P/Q < 2.

Bardzo często klasyfikuje się również klasy wysokości dźwięku w odniesieniu do pewnej skali . Na przykład, można oznaczyć klas podziałowego n -tone temperowanego wykorzystaniem liczb całkowitych od 0 do N  - 1. W podobny sposób można oznaczyć klas podziałowego C dur, C-D-E-F- G–A–B, używając liczb od 0 do 6. System ten ma dwie zalety w porównaniu z opisanym powyżej systemem ciągłego etykietowania. Po pierwsze, eliminuje wszelkie sugestie, że jest coś naturalnego w dwunastokrotnym podziale oktawy. Po drugie, unika wszechświatów klasy pitch z nieporęcznymi rozwinięciami dziesiętnymi, gdy rozważa się je w stosunku do 12; na przykład w systemie ciągłym klasy wysokości tonu 19 równego temperamentu są oznaczone jako 0,63158..., 1,26316..., itd. Oznaczenie tych klas wysokości tonu {0, 1, 2, 3..., 18} upraszcza arytmetyka używana w manipulacjach zbiorami klasy wysokości tonu.

Wadą systemu opartego na skali jest to, że przypisuje nieskończoną liczbę różnych nazw do akordów, które brzmią identycznie. Na przykład w dwunastotonowej równotemperamencie triada C-dur jest zapisana {0, 4, 7}. W dwudziestoczterotonowym jednakowym temperamencie ta sama triada jest oznaczona {0, 8, 14}. Co więcej, system oparty na skali wydaje się sugerować, że różne systemy strojenia używają kroków o tym samym rozmiarze („1”), ale mają oktawy o różnej wielkości („12” w 12-tonowym wyrównaniu temp., „19” w 19-tonowym). jednakowy temperament itd.), podczas gdy w rzeczywistości jest odwrotnie: różne systemy strojenia dzielą tę samą oktawę na kroki o różnej wielkości.

Ogólnie rzecz biorąc, często bardziej przydatne jest użycie tradycyjnego systemu liczb całkowitych, gdy pracuje się w obrębie jednego temperamentu; gdy porównujemy akordy w różnych temperamentach, bardziej użyteczny może być system ciągły.

Zobacz też

Źródła

Dalsza lektura