Twierdzenie o rekurencji Poincarégo - Poincaré recurrence theorem

W matematyce i fizyce , że nawrót twierdzenie Poincare stwierdza, że pewne układy dynamiczne będzie, po wystarczająco długim, lecz skończonym czasie, powrót do stanu dowolnie blisko (dla systemów ciągłych państwowych) lub dokładnie taka sama jak (dla dyskretnych układów państwowych) ich stan początkowy.

Czas nawrotu Poincaré to czas, jaki upłynął do nawrotu; czas ten może się znacznie różnić w zależności od dokładnego stanu początkowego i wymaganego stopnia bliskości. Wynik dotyczy izolowanych układów mechanicznych z pewnymi ograniczeniami, np. wszystkie cząstki muszą być związane z skończoną objętością. Twierdzenie to jest powszechnie dyskutowane w kontekście teorii ergodycznej , układów dynamicznych i mechaniki statystycznej . Systemy, do których stosuje się twierdzenie o rekurencji Poincarégo, nazywane są systemami zachowawczymi .

Twierdzenie nosi imię Henri Poincaré , który omówił je w 1890 i udowodnił Constantin Carathéodory przy użyciu teorii miary w 1919.

Precyzyjna formuła

Dowolny układ dynamiczny określone przez zwykłego równania różnicowego określa mapę przepływu f ^t odwzorowywania przestrzeni fazy na siebie. Mówi się, że system zachowuje objętość, jeśli objętość zbioru w przestrzeni fazowej jest niezmienna pod przepływem. Na przykład wszystkie systemy hamiltonowskie zachowują objętość z powodu twierdzenia Liouville'a . Twierdzenie brzmi zatem: Jeśli przepływ zachowuje objętość i ma tylko ograniczone orbity, to dla każdego otwartego zbioru każda orbita przecinająca ten otwarty zbiór przecina go nieskończenie często.  

Omówienie dowodu

Dowód, mówiąc jakościowo, opiera się na dwóch przesłankach:

1. Można ustawić skończoną górną granicę całkowitej potencjalnie dostępnej objętości przestrzeni fazowej. W przypadku systemu mechanicznego to ograniczenie może być zapewnione przez wymaganie, aby system był zawarty w ograniczonym fizycznym obszarze przestrzeni (aby nie mógł na przykład wyrzucać cząstek, które nigdy nie wracają) – w połączeniu z zachowaniem energii powoduje to zablokowanie system w skończony region w przestrzeni fazowej.
2. Objętość fazowa elementu skończonego pod wpływem dynamiki jest zachowana. (dla układu mechanicznego zapewnia to twierdzenie Liouville'a )

Wyobraź sobie dowolną skończoną objętość początkową przestrzeni fazowej i podążaj jej ścieżką pod wpływem dynamiki systemu. Głośność „przemiata” punkty przestrzeni fazowej w miarę ewolucji, a „przód” tego przemiatania ma stały rozmiar. Z biegiem czasu objętość badanej fazy (znana jako „lampa fazowa”) rośnie liniowo, przynajmniej na początku. Ale ponieważ dostępna objętość fazy jest skończona, objętość rury fazy musi ostatecznie nasycić się, ponieważ nie może wzrosnąć więcej niż dostępna objętość. Oznacza to, że rura fazy musi się przecinać. Aby jednak przecinać się, musi to zrobić, najpierw przechodząc przez objętość początkową. Dlatego powtarza się co najmniej skończony ułamek objętości wyjściowej.

Rozważmy teraz wielkość nie powracającej części objętości fazy początkowej – tej części, która nigdy nie powraca do objętości początkowej. Korzystając z zasady omówionej w poprzednim akapicie, wiemy, że jeśli niepowracająca część jest skończona, to skończona część niepowracającej części musi powrócić. Ale to byłaby sprzeczność, ponieważ każda część powracającej części powraca również do pierwotnej objętości początkowej. Tak więc nie powracająca część objętości początkowej nie może być skończona i musi być nieskończenie mniejsza niż sama objętość początkowa.

Twierdzenie nie komentuje pewnych aspektów powtarzalności, których ten dowód nie może zagwarantować:

• Mogą istnieć pewne specjalne fazy, które nigdy nie wracają do początkowej objętości fazy, lub które powracają do początkowej objętości tylko skończoną liczbę razy, a następnie nigdy nie wracają. Są one jednak niezwykle „rzadkie”, stanowiąc nieskończenie małą część każdego tomu początkowego.
• Nie wszystkie części objętości fazy muszą powrócić w tym samym czasie. Niektórzy „przegapią” początkowy tom przy pierwszym przejściu, tylko po to, by wrócić później.
• Nic nie stoi na przeszkodzie, aby rurka fazy wróciła całkowicie do swojej początkowej objętości, zanim cała możliwa objętość fazy zostanie wyczerpana. Trywialnym tego przykładem jest oscylator harmoniczny . Systemy, które obejmują całą dostępną objętość fazową, nazywane są ergodycznymi (to oczywiście zależy od definicji „dostępnej objętości”).
• Co można powiedzieć jest to, że dla „prawie każdej” fazie rozruchu, system będzie ostatecznie powrócić dowolnie blisko tej fazie początkowej. Czas nawrotu zależy od wymaganego stopnia zbliżenia (wielkości objętości fazy). Aby osiągnąć większą dokładność nawrotu, musimy przyjąć mniejszą objętość początkową, co oznacza dłuższy czas nawrotu.
• W przypadku danej fazy w wolumenie nawrót niekoniecznie jest powtarzaniem okresowym. Czas drugiego cyklu nie musi być dwukrotnie dłuższy niż czas pierwszego cyklu.

Formalne oświadczenie

Pozwolić

${\displaystyle (X,\Sigma,\mu)}$

być skończoną przestrzeń środka i niech

${\displaystyle f\okrężnica X\do X}$

być transformacją zachowującą miarę . Poniżej znajdują się dwa alternatywne stwierdzenia twierdzenia.

Twierdzenie 1

Dla każdego , zbiór tych punktów w odniesieniu do których istnieje takie, że dla wszystkich, ma zerowy środka. ${\ Displaystyle E \ w \ Sigma}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle N \ w \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle f ^ {n} (x) \ notin E}$${\displaystyle n>N}$

Innymi słowy, prawie każdy punkt powraca do . W rzeczywistości prawie każdy punkt powraca nieskończenie często; tj${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle \ mu \ lewo (\ {x \ w E: {\ tekst {istnieje}} N {\ tekst {takie, że}} f ^ {n} (x) \ notin E {\ tekst { dla wszystkich} }n>N\}\prawo)=0.}$

Dowód można znaleźć w cytowanym piśmie.

Twierdzenie 2

Oto topologiczna wersja tego twierdzenia:

Jeżeli jest przestrzenią Hausdorffa policzalną w sekundach i zawiera sigma-algebrę Borela , to zbiór punktów rekurencyjnych ma pełną miarę. Oznacza to, że prawie każdy punkt się powtarza. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\displaystyle f}$

Dowód można znaleźć w cytowanym piśmie.

Mówiąc bardziej ogólnie, twierdzenie to dotyczy układów zachowawczych , a nie tylko układów dynamicznych zachowujących miarę. Z grubsza można powiedzieć, że systemy konserwatywne to właśnie te, do których stosuje się twierdzenie o rekurencji.

Wersja mechaniczna kwantowa

W przypadku niezależnych od czasu systemów mechaniki kwantowej z dyskretnymi stanami własnymi energii obowiązuje podobne twierdzenie. Dla każdego i istnieje czas T większy niż , taki że , gdzie oznacza wektor stanu układu w czasie  t . ${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$${\displaystyle T_{0}>0}$${\displaystyle T_{0}}$${\ Displaystyle | | \ psi (T) \ rangle - | \ psi (0) \ rangle | <\ varepsilon }$${\displaystyle |\psi (t)\rangle}$

Podstawowe elementy dowodu są następujące. System ewoluuje w czasie zgodnie z:

${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} \ exp (-iE_ {n} t) | \ _ phi {n} \ rangle}$

gdzie są wartościami własnymi energii (używamy jednostek naturalnych, więc ), a są stanami własnymi energii. Normę kwadratu różnicy wektora stanu w czasie i czasie zero można zapisać jako: ${\ Displaystyle E_ {n}}$${\ Displaystyle \ hbar =1}$${\displaystyle |\phi _{n}\rangle}$${\displaystyle T}$

${\ Displaystyle | | \ psi (T) \ rangle - | \ psi (0) \ rangle | ^ {2} = 2 \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} }[1-\cos(E_{n}T)]}$

Możemy skrócić sumę przy pewnym n  =  N niezależnie od T , ponieważ

${\ Displaystyle \ suma _ {n = N + 1} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} [1-\ cos (E_ {n} T)] \ równa 2 \ suma _ {n = N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

który może być dowolnie mały przez zwiększenie N , ponieważ suma będąca kwadratem normy stanu początkowego jest zbieżna do 1. ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2}}$

Skończona suma

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {N} | c_ {n} | ^ {2} [1-\ cos (E_ {n} T)]}$

może być dowolnie mała dla określonych wyborów czasu T , zgodnie z następującą konstrukcją. Wybierz dowolne , a następnie wybierz T takie, że istnieją liczby całkowite, które spełniają ${\ Displaystyle \ delta > 0}$${\displaystyle k_{n}}$

${\ Displaystyle | E_ {n} T-2 \ pi k_ {n} | <\ delta}$,

dla wszystkich numerów . Dla tego konkretnego wyboru T , ${\displaystyle 0\leq n\leq n}$

${\ Displaystyle 1-\ cos (E_ {n} T) < {\ Frac {\ delta ^ {2}} {2}}.}$

W związku z tym mamy:

${\ Displaystyle 2 \ suma _ {n = 0} ^ {N} | c_ {n} | ^ {2} [1-\ cos (E_ {n} T)] < \ delta ^ {2} \ suma _ { n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}}$.

W ten sposób wektor stanu powraca arbitralnie blisko stanu początkowego . ${\ Displaystyle | \ psi (T) \ rangle }$${\displaystyle |\psi (0)\rangle}$

Zobacz też

• Mózg Boltzmanna
• Hipoteza ergodyczna
• Entropia gęstości okresu powtarzalności
• Działka nawrotu
• Wędrujący zestaw

Bibliografia

Dalsza lektura

• Page, Don N. (25 listopada 1994). „Utrata informacji w czarnych dziurach i/lub świadomych istotach?”. arXiv : hep-th/9411193 .

Zewnętrzne linki

• Padilla, Tony. „Najdłuższy czas” . Numerfil . Brady Haran . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 27.11.2013 . Pobrano 08.04.2013 .
• „Arnold's Cat Map: Interaktywna graficzna ilustracja twierdzenia o rekurencji Poincarégo” .

Ten artykuł zawiera materiał z twierdzenia o rekurencji Poincaré na PlanetMath , które jest licencjonowane na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License .