Punkt (geometria) - Point (geometry)

W klasycznej geometrii euklidesowej , o punkt jest prymitywny pogląd , że modele dokładne położenie w przestrzeni i ma długość, szerokość lub grubość. W nowoczesnej matematyki , A punkt odnosi się ogólnie do elementu jakiegoś zbioru zwanego przestrzeń .

Bycie pojęciem pierwotnym oznacza, że ​​punkt nie może być zdefiniowany w kategoriach wcześniej zdefiniowanych obiektów. Oznacza to, że punkt jest określony tylko przez pewne właściwości, zwane aksjomatami , które musi spełniać; na przykład „jest dokładnie jedna linia, która przechodzi przez dwa różne punkty” .

Punkty w geometrii euklidesowej

Skończony zbiór punktów w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej .

Punkty rozpatrywane w ramach geometrii euklidesowej są jednym z najbardziej podstawowych obiektów. Euklides pierwotnie zdefiniował ten punkt jako „to, co nie ma części”. W dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej punkt jest reprezentowany przez uporządkowaną parę ( x ,  y ) liczb, gdzie pierwsza liczba umownie reprezentuje poziom i jest często oznaczana przez x , a druga liczba umownie reprezentuje pion i jest często oznaczana przez y . Ideę tę można łatwo uogólnić na trójwymiarową przestrzeń euklidesową, gdzie punkt jest reprezentowany przez uporządkowaną trójkę ( x ,  y ,  z ) z dodatkową trzecią liczbą reprezentującą głębokość i często oznaczaną przez z . Dalsze uogólnienia są reprezentowane przez uporządkowaną tuplet z n terminów, ( a 1 ,  2 , ...,  n ) , gdzie n jest wymiar od miejsca w którym znajduje się punkt.

Wiele konstrukcji w geometrii euklidesowej składa się z nieskończonego zbioru punktów zgodnych z pewnymi aksjomatami. Jest to zwykle reprezentowane przez zestaw punktów; Na przykład prosta jest nieskończonym zbiorem punktów postaci , gdzie c 1 do c n i d są stałymi, a n jest wymiarem przestrzeni. Istnieją podobne konstrukcje, które definiują płaszczyznę , odcinek linii i inne powiązane pojęcia. Segment liniowy składający się tylko z jednego punktu nazywany jest zdegenerowanym segmentem liniowym.

Oprócz definiowania punktów i konstrukcji związanych z punktami, Euclid postulował również kluczową ideę dotyczącą punktów, że dowolne dwa punkty mogą być połączone linią prostą. Można to łatwo potwierdzić we współczesnych rozszerzeniach geometrii euklidesowej i miało trwałe konsekwencje przy jej wprowadzeniu, pozwalając na skonstruowanie prawie wszystkich znanych wówczas koncepcji geometrycznych. Jednak postulacja punktów Euklidesa nie była ani kompletna, ani definitywna, a czasami zakładał fakty dotyczące punktów, które nie wynikały bezpośrednio z jego aksjomatów, takie jak uporządkowanie punktów na linii lub istnienie określonych punktów. Mimo to nowoczesne rozszerzenia systemu służą usunięciu tych założeń.

Wymiar punktu

W matematyce istnieje kilka nierównoważnych definicji wymiaru . We wszystkich powszechnych definicjach punkt jest 0-wymiarowy.

Wymiar przestrzeni wektorowej

Wymiar przestrzeni wektorowej to maksymalny rozmiar liniowo niezależnego podzbioru. W przestrzeni wektorowej składającej się z pojedynczego punktu (który musi być wektorem zerowym 0 ) nie ma podzbioru liniowo niezależnego. Wektor zerowy sam w sobie nie jest liniowo niezależny, ponieważ istnieje nietrywialna kombinacja liniowa czyniąca go zerem: .

Wymiar topologiczny

Topologiczna wymiar topologicznej przestrzeni określa się jako minimalną wartość n , takich, że każdy ograniczony otworzyć pokrywę z przyznaje skończoną otworzyć pokrywę z których sprecyzowano , w którym żaden punkt znajduje się w więcej niż n + 1 elementów. Jeśli takie minimalne n nie istnieje, mówi się, że przestrzeń ma nieskończony wymiar pokrycia.

Punkt jest zerowymiarowy w stosunku do wymiaru pokrycia, ponieważ każda otwarta pokrywa przestrzeni ma udoskonalenie składające się z jednego otwartego zestawu.

Wymiar Hausdorffa

Niech X będzie przestrzenią metryczną . Jeśli SX i d ∈ [0, ∞), d- wymiarowa zawartość Hausdorffa w S jest dolną granicą zbioru liczb δ ≥ 0 takim, że istnieje pewien (indeksowany) zbiór kulek pokrywających S z r i > 0 dla każdego iI, który spełnia .

Wymiar Hausdorff z X jest określona

Punkt ma wymiar Hausdorffa 0, ponieważ może być objęty pojedynczą kulą o dowolnie małym promieniu.

Geometria bez punktów

Chociaż pojęcie punktu jest powszechnie uważane za fundamentalne w geometrii i topologii głównego nurtu, istnieją pewne systemy, które go rezygnują, np. geometria nieprzemienna i topologia bezcelowa . Określenie „sensu” lub „pointfree” przestrzeni nie jest określona jako zestaw , ale za pośrednictwem pewnej struktury ( algebraicznych lub logiczne , odpowiednio), który wygląda jak znanej funkcji miejsca na zestawie algebry z funkcji ciągłych lub rachunku zbiorów odpowiednio . Dokładniej, takie struktury uogólniają dobrze znane przestrzenie funkcji w taki sposób, że operacja „przyjmuje wartość w tym momencie” może nie być zdefiniowana. Dalsza tradycja zaczyna się od niektórych książek AN Whiteheada, w których pojęcie regionu jest traktowane jako prymitywne wraz z pojęciem włączenia lub połączenia .

Masy punktowe i funkcja delta Diraca

Często w fizyce i matematyce przydatne jest myślenie, że punkt ma niezerową masę lub ładunek (jest to szczególnie powszechne w klasycznym elektromagnetyzmie , gdzie elektrony są idealizowane jako punkty o niezerowym ładunku). Funkcja delta Diraca , lub funkcja δ , jest (nieformalnie) uogólnioną funkcją na osi liczb rzeczywistych, która wszędzie jest zero, z wyjątkiem zera, z całką jedynki na całej linii rzeczywistej. Funkcja delta jest czasami uważana za nieskończenie wysoki, nieskończenie cienki kolec w punkcie początkowym, z całkowitą powierzchnią jeden pod kolcem i fizycznie reprezentuje idealną masę punktową lub ładunek punktowy . Został wprowadzony przez fizyka teoretycznego Paula Diraca . W kontekście przetwarzania sygnałów jest często określany jako symbol (lub funkcja) impulsu jednostkowego . Jego dyskretnym odpowiednikiem jest funkcja delta Kroneckera, która jest zwykle definiowana w skończonej dziedzinie i przyjmuje wartości 0 i 1.

Zobacz też

Bibliografia

  • Clarke, Bowman, 1985, „ Osoby i punkty ”, Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
  • De Laguna, T., 1922, „Punkt, linia i powierzchnia jako zbiory brył”, The Journal of Philosophy 19 : 449-61.
  • Gerla, G., 1995, „ Geometrie bezcelowe ” w Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Podręcznik geometrii padania: budynki i fundamenty . Holandia Północna: 1015–31.
  • Whitehead, AN , 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge . Uniwersytet Cambridge Naciśnij. wyd. 2, 1925.
  • Whitehead, AN, 1920. Pojęcie natury . Uniwersytet Cambridge Naciśnij. 2004 książka w miękkiej okładce Prometheus Books. Będąc 1919 Tarner Lectures wygłoszonym w Trinity College .
  • Whitehead, AN, 1979 (1929). Proces i Rzeczywistość . Darmowa prasa.

Linki zewnętrzne