Topologia bezcelowa - Pointless topology

W matematyce , bezcelowe Topologia (zwane również pointfree lub topologia pointfree lub teoria locale ) jest podejście do topologii , że pomija punkty, w których ogrodzenia z zbiorów otwartych są prymitywne wyobrażenia.

Ten rewolucyjny pomysł sugeruje, że możliwe jest konstruowanie topologicznie interesujących przestrzeni z danych czysto algebraicznych. Pierwsze podejścia do topologii były geometryczne, jedno zaczynało się od przestrzeni euklidesowej i łatało rzeczy razem. Ale praca Stone'a pokazała, że ​​topologię można rozpatrywać z algebraicznego punktu widzenia (teoretyczno-sieciowego). Oprócz Stone, Henry Wallman był pierwszą osobą, która wykorzystała ten pomysł. Inni kontynuowali tę drogę, aż Charles Ehresmann i jego uczeń Jean Bénabou (i jednocześnie inni) zrobili kolejny zasadniczy krok w późnych latach pięćdziesiątych. Ich spostrzeżenia wynikły z badania „topologicznej” i „różniczkowalnych” kategorii .

Podejście Ehresmanna polegało na użyciu kategorii, której obiektami były kompletne kraty, które spełniały prawo dystrybucji , a których morfizmy były mapami, które zachowały skończone spotkania i arbitralne złączenia . Nazywał takie sieci „kratami lokalnymi”, inni, jak Dowker, nazywali je „ramkami”, aby uniknąć niejednoznaczności z innymi pojęciami w teorii sieci .

Intuicyjnie

Tradycyjnie przestrzenią topologiczną składa się z zestawu z punktów wraz z topologii , system podzbiory zwane zbiory otwarte , które z operacjami przecięcia i związków tworzy kratowych z pewnymi właściwościami. Topologia bezpunktowa opiera się na koncepcji „punktu realistycznego” zamiast punktu bez rozciągłości. Plamy mogą się łączyć (tworząc pełną siatkę), a jeśli plama spotyka się z łączeniem innych, musi spotkać się z niektórymi składnikami, co z grubsza prowadzi do prawa rozdzielności

${\ Displaystyle b \ klin \ lewo (\ bigvee a_ {i} \ po prawej) = \ bigvee \ lewo (b \ klin a_ {i} \ po prawej)}$.

Formalnie

Podstawowym pojęciem jest rama , kompletna siatka spełniająca powyższe prawo dystrybucji; Homomorfizmy ramowe respektują wszystkie złączenia (w szczególności najmniejszy element sieci) i skończone spotkania (w szczególności największy element sieci).

Ramy wraz z homomorfizmami ram tworzą kategorię .

Stosunek do topologii zbioru punktów

W klasycznej topologii, reprezentowanej na zbiorze przez system zbiorów otwartych (częściowo uporządkowanych przez inkluzję) jest ramą, a if jest ciągłym odwzorowaniem, definiowanym przez homomorfizm ramki. Dla trzeźwych przestrzeni takie właśnie są homomorfizmy ramowe . Stąd jest pełna osadzanie z kategorii trzeźwych przestrzeni w podwójnej kategorii ramek (zazwyczaj nazywany z kategorii lokalizacjach). Uzasadnia to myślenie o ramach (locales) jako o uogólnionych przestrzeniach topologicznych. Ramka jest przestrzenna, jeśli jest izomorficzna z . Nieprzestrzennych jest wiele i fakt ten okazał się pomocny w kilku problemach. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}$${\ Displaystyle \ Omega (f) \ dwukropek \ Omega (Y) \ do \ Omega (X)}$${\ Displaystyle \ Omega (f) (U) = f ^ {-1} [U]}$${\ Displaystyle \ Omega (f)}$${\ Displaystyle h \ dwukropek \ Omega (Y) \ do \ Omega (X)}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$

Teoria ram i lokalizacji

Teoria ram i miejsc we współczesnym znaczeniu została zapoczątkowana pod koniec lat 50. ( Charles Ehresmann , Jean Bénabou , Hugh Dowker , Dona Papert ) i rozwijana przez kolejne dekady ( John Isbell , Peter Johnstone , Harold Simmons , Bernhard Banaschewski , Aleš Pultr ) , Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers ) w żywą gałąź topologii, znajdującą zastosowanie w różnych dziedzinach, w szczególności także w informatyce teoretycznej. Więcej na temat historii teorii lokalizacji zob.

Możliwe jest przełożenie większości koncepcji topologii zbioru punktów na kontekst lokalizacji i udowodnienie analogicznych twierdzeń. Odnosząc się do zalet podejścia bezpunktowego zwróćmy na przykład uwagę na fakt, że niektóre ważne fakty topologii klasycznej zależne od zasad wyboru stają się wolne od wyboru (czyli konstruktywne , co jest w szczególności atrakcyjne dla informatyki). ). I tak na przykład iloczyny zwartych lokalizacji są zwarte konstruktywnie lub uzupełnienia jednolitych lokalizacji są konstruktywne. Może to być przydatne, jeśli pracujemy w toposu , który nie ma aksjomatu wyboru. Inne zalety to znacznie lepsze zachowanie parakompaktowości, czy fakt, że podgrupy grup lokalnych są zawsze zamknięte.

Innym punktem, w którym narodowe teoria i topologia rozchodzą silnie to pojęcia podprzestrzeni versus sublocales: w Isbell twierdzenia gęstości jest każdy narodowe ma najmniejszą gęstą sublocale. Nie ma to absolutnie żadnego odpowiednika w dziedzinie przestrzeni topologicznych.

Zobacz też

• Algebra Heytinga . Rama jest kompletną algebrą Heytinga .
• Kompletna algebra Boole'a . Każda kompletna algebra Boole'a jest ramą (jest to ramka przestrzenna wtedy i tylko wtedy, gdy jest atomowa).
• Szczegóły dotyczące relacji między kategorią przestrzeni topologicznych a kategorią lokali, w tym wyraźną konstrukcję dualizmu między przestrzeniami trzeźwymi i lokalami przestrzennymi, można znaleźć w artykule Dualizm Stone'a .
• Geometria bezpunktowa .

Cytaty

Bibliografia

Ogólne wprowadzenie do bezsensownej topologii to:

Mówiąc własnymi słowami, należy to odczytywać jako zwiastun znakomitej monografii Johnstone'a (która ukazała się już w 1982 roku i nadal może służyć jako podstawowe odniesienie):

• Johnstone, Peter T. (1982). Kamienne przestrzenie. Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-33779-3 .

Jest najnowsza monografia

• Picado, Jorge, Pultr, Aleš (2012). Ramki i ustawienia regionalne: Topologia bez punktów. Granice w matematyce, obj. 28, Springer, Bazylea.

gdzie znajduje się również obszerniejsza bibliografia.

Dla relacji z logiką:

• Vickers, Steven (1996). Topologia przez logikę. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press.

Bardziej zwięzłą relację można znaleźć w odpowiednich rozdziałach w:

• Pedicchio, Maria Cristina, Tholen, Walter (red.). Podstawy kategoryczne - Zagadnienia specjalne w porządku, topologia, algebry i teoria snopków. Encyklopedia Matematyki i jej Zastosowania, tom. 97, Cambridge University Press, 2003, s. 49–101.
• Hazewinkel, Michiel (red.). Podręcznik algebry. Tom. 3, Holandia Północna, Amsterdam, 2003, s. 791-857.
• Grätzer, George, Wehrung, Friedrich (red.). Teoria sieci: specjalne tematy i zastosowania. Tom. 1, Springer, Bazylea, 2014, s. 55–88.