Mieszanka politopowa - Polytope compound
Wielościenny związkiem jest postać, która składa się z kilku dzielące wielościanów wspólny środek . Są trójwymiarowymi analogami związków wielokątnych, takich jak heksagram .
Zewnętrzne wierzchołki związku można połączyć, tworząc wypukły wielościan zwany jego wypukłym kadłubem . Mieszanka to fasetowanie wypukłego kadłuba.
Kolejny wielościan wypukły tworzy mała przestrzeń centralna wspólna dla wszystkich członków związku. Ten wielościan może służyć jako rdzeń dla zestawu gwiazd .
Zwykłe związki
Regularne wielościanów związek może być określony jako związek, który podobnie jak w zwykłej wielościanu , jest wierzchołek-przechodni , krawędzi przechodni , a twarzą przechodnia . W przeciwieństwie do przypadku wielościanów, nie jest to równoznaczne z grupą symetrii działającą przechodnie na swoich flagach ; związek dwóch czworościanów jest jedynym regularnym związkiem o tej właściwości. Istnieje pięć regularnych związków wielościanów:
Zwykła mieszanka (symbol Coxetera) |
Zdjęcie | Kulisty | Wypukły kadłub | Wspólny rdzeń | Grupa symetrii |
Podgrupa ograniczająca się do jednego składnika |
Podwójnie regularny związek |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Dwie czworościany {4,3}[2{3,3}]{3,4} |
Sześcian
|
Oktaedr | *432 [4,3] O h |
*332 [3,3] T d |
Dwa czworościany | ||
Pięć czworościanów {5,3}[5{3,3}]{3,5} |
Dwunastościan
|
dwudziestościan
|
532 [5,3] + I |
332 [3,3] + T |
Chiralny bliźniak (Enantiomorf) |
||
Dziesięć czworościanów 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5} |
Dwunastościan
|
dwudziestościan | *532 [5,3] I h |
332 [3,3] T |
Dziesięć czworościanów | ||
Pięć kostek 2{5,3}[5{4,3}] |
Dwunastościan
|
rombowy triacontahedron
|
*532 [5,3] I h |
3*2 [3,3] T h |
Pięć oktaedrów | ||
Pięć oktaedrów [5{3,4}]2{3,5} |
Ikozyd dwunastościan
|
dwudziestościan
|
*532 [5,3] I h |
3*2 [3,3] T h |
Pięć kostek |
Najbardziej znany jest regularny związek dwóch czworościanów , często nazywany stella octgula , nazwa nadana jej przez Keplera . Wierzchołki dwóch czworościanów definiują sześcian , a ich przecięcie definiują regularny ośmiościan , który ma te same płaszczyzny czołowe co związek. Tak więc związek dwóch czworościanów jest gwiazdą ośmiościanu, a właściwie jedyną jego skończoną gwiazdą.
Regularny związek pięciu czworościanów występuje w dwóch enancjomorficznych wersjach, które razem tworzą regularny związek dziesięciu czworościanów. Regularny związek dziesięciu czworościanów może być również skonstruowany z pięcioma ośmiornikami Stellae.
Każdy z regularnych związków czworościennych jest samo-dual lub dual do swojego chiralnego bliźniaka; regularny związek pięciu sześcianów i regularny związek pięciu oktaedrów są do siebie podwójne.
W związku z tym regularne związki wielościenne mogą być również traktowane jako związki dual-regularne .
Notacja Coxetera dla regularnych związków jest podana w powyższej tabeli, zawierające symbole Schläfliego . Materiał wewnątrz nawiasów kwadratowych, [ d { p , q }], oznacza składniki związku: d oddzielne { p , q }'s. Materiał przed nawiasami kwadratowymi oznacza układ wierzchołków związku: c { m , n }[ d { p , q }] jest związkiem d { p , q } dzielącym wierzchołki { m , n } c razy. Materiał za nawiasami kwadratowymi oznacza układ fasetek związku: [ d { p , q } ] e { s , t } jest związkiem d { p , q } dzielącym ściany { s , t } e razy. Można je łączyć: zatem c { m , n } [ d { p , q }] e { s , t } jest związkiem d { p , q } dzielącym wierzchołki { m , n } liczonym c razy a ściany { s , t } liczone e razy. Ten zapis można uogólnić na związki w dowolnej liczbie wymiarów.
Związki podwójne
Podwójnego związek złożony z bryły i jej podwójnego rozmieszczone wzajemnie wokół wspólnej midsphere tak, że jedna krawędź przecina wielościanu podwójna krawędź podwójnego wielościanu. Istnieje pięć podwójnych związków wielościanów regularnych.
Rdzeniem jest rektyfikacja obu ciał stałych. Kadłub jest bliźniakiem tej rektyfikacji, a jego rombowe powierzchnie mają przecinające się krawędzie dwóch brył jako przekątne (i mają cztery naprzemienne wierzchołki). Dla brył wypukłych jest to kadłub wypukły .
Podwójny związek | Zdjęcie | kadłub | Rdzeń | Grupa symetrii |
---|---|---|---|---|
Dwa czworościany ( Związek dwóch czworościanów , gwiaździsty ośmiościan ) |
Sześcian | Oktaedr | *432 [4,3] O h |
|
Sześcian i ośmiościan ( Złożenie sześcianu i ośmiościanu ) |
Dwunastościan rombowy | sześcian sześcienny | *432 [4,3] O h |
|
Dwunastościan i Dwudziestościan ( Związek dwunastościanu i dwudziestościanu ) |
rombowy triacontahedron | Ikozyd dwunastościan | *532 [5,3] I h |
|
Mały dwunastościan gwiaździsty i dwunastościan wielki ( związek sD i gD ) |
Przyśrodkowy rombowy triacontahedron (wypukły: dwudziestościan ) |
Dwunastościan (wypukły: dwunastościan ) |
*532 [5,3] I h |
|
Wielki dwudziestościan i wielki dwunastościan gwiaździsty ( związek gI i gsD ) |
Wielki trzydziestościan rombowy (Convex: Dwunastościan ) |
Dwudziestościan wielki (wypukły: dwudziestościan ) |
*532 [5,3] I h |
Czworościan jest samopodwójny, więc podwójny związek czworościanu z jego podwójnym jest regularnym gwiaździstym ośmiościanem .
W oktaedryczne i ikozahedralnymi podwójne związki są pierwsze stellacja z sześcio-ośmiościan i icosidodecahedron , odpowiednio.
Jednolite związki
W 1976 roku John Skilling opublikował Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, w którym wymieniono 75 związków (w tym 6 jako nieskończone pryzmatyczne zestawy związków, #20-#25) wykonanych z jednorodnych wielościanów z symetrią obrotową. (Każdy wierzchołek jest wierzchołkiem przechodnim, a każdy wierzchołek jest przechodni z każdym innym wierzchołkiem.) Ta lista zawiera pięć regularnych związków powyżej. [1]
75 jednorodnych związków wymieniono w poniższej tabeli. Większość z nich jest pokazana pojedynczo pokolorowana przez każdy element wielościanu. Niektóre chiralne pary grup twarzy są pokolorowane przez symetrię twarzy w obrębie każdego wielościanu.
- 1-19: Różne (4,5,6,9,17 to 5 regularnych związków )
- 20-25: Symetria pryzmatu osadzona w symetrii pryzmatu ,
- 26-45: Symetria pryzmatu osadzona w symetrii oktaedrycznej lub dwudziestościennej ,
- 46-67: Symetria czworościenna osadzona w symetrii oktaedrycznej lub dwudziestościennej,
- 68-75: pary enancjomorficzne
Inne związki
Dwoma wielościanami, które są związkami, ale ich elementy są sztywno zamocowane na miejscu, to mały złożony dwudziestościan (związek dwudziestościanu i dwunastościanu wielkiego ) oraz duży złożony dwudziestościan (związek małego dwunastościanu gwiaździstego i dwudziestościanu wielkiego ). Jeśli uogólnimy definicję wielościanu jednostajnego , to są one jednorodne.
Sekcja dotycząca par enancjomorfów na liście Skillinga nie zawiera związku dwóch wielkich dodecikozydodekaedrów , ponieważ twarze pentagramu pokrywałyby się. Usunięcie zbieżnych ścian daje w wyniku złożenie dwudziestu oktaedrów .
związki 4-politopowe
75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
---|
W 4-wymiarach istnieje duża liczba regularnych związków regularnych politopów. Coxeter wymienia kilka z nich w swojej książce Regular Polytopes . McMullen dodał sześć w swoim artykule New Regular Compounds of 4-Polytopes .
Samodzielni:
Pogarszać | Składnik | Symetria |
---|---|---|
120 5-ogniwowych | 5-komorowy | [5,3,3], zamówienie 14400 |
120 5-ogniwowych (var) | 5-komorowy | zamów 1200 |
720 5-ogniwowych | 5-komorowy | [5,3,3], zamówienie 14400 |
5 24-ogniwowych | 24-komorowy | [5,3,3], zamówienie 14400 |
Podwójne pary:
Związek 1 | Związek 2 | Symetria |
---|---|---|
3 16-ogniwowe | 3 teseraty | [3,4,3], rząd 1152 |
15 16-ogniwowych | 15 teseraktów | [5,3,3], zamówienie 14400 |
75 16-ogniwowych | 75 teseraktów | [5,3,3], zamówienie 14400 |
75 16-ogniwowych (var) | 75 teseraktów (var) | zamów 600 |
300 16-ogniwowych | 300 teseraktów | [5,3,3] + , zamów 7200 |
600 16-ogniwowych | 600 teseraktów | [5,3,3], zamówienie 14400 |
25 24-ogniwowych | 25 24-ogniwowych | [5,3,3], zamówienie 14400 |
Mieszanki jednorodne i bliźniacze z wypukłymi 4-politopami:
Związek 1 wierzchołek przechodni |
Związek 2 przechodni wobec komórek |
Symetria |
---|---|---|
2 16-ogniwowe | 2 teseraty | [4,3,3], rząd 384 |
100 24-ogniwowych | 100 24-ogniwowych | [5,3,3] + , zamów 7200 |
200 24-ogniwowych | 200 24-ogniwowych | [5,3,3], zamówienie 14400 |
5 600 ogniw | 5 120-komórek | [5,3,3] + , zamów 7200 |
10 600-komórek | 10 120-komórek | [5,3,3], zamówienie 14400 |
25 24-ogniwowych (var) | 25 24-ogniwowych (var) | zamów 600 |
Indeks górny (var) w powyższych tabelach wskazuje, że związki znakowane różnią się od innych związków o tej samej liczbie składników.
Związki z regularną gwiazdą 4-politopy
Związki samopodwójne gwiazdy:
Pogarszać | Symetria |
---|---|
5 {5,5/2,5} | [5,3,3] + , zamów 7200 |
10 {5,5/2,5} | [5,3,3], zamówienie 14400 |
5 {5/2,5,5/2} | [5,3,3] + , zamów 7200 |
10 {5/2,5,5/2} | [5,3,3], zamówienie 14400 |
Podwójne pary gwiazd złożonych:
Związek 1 | Związek 2 | Symetria |
---|---|---|
5 {3,5,5/2} | 5 {5/2,5,3} | [5,3,3] + , zamów 7200 |
10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3} | [5,3,3], zamówienie 14400 |
5 {5,5/2,3} | 5 {3,5/2,5} | [5,3,3] + , zamów 7200 |
10 {5,5/2,3} | 10 {3,5/2,5} | [5,3,3], zamówienie 14400 |
5 {5/2,3,5} | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3] + , zamów 7200 |
10 {5/2,3,5} | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], zamówienie 14400 |
Jednolite gwiazdy złożone i gwiazdy podwójne :
Związek 1 wierzchołek przechodni |
Związek 2 przechodni wobec komórek |
Symetria |
---|---|---|
5 {3,3,5/2} | 5 {5/2,3,3} | [5,3,3] + , zamów 7200 |
10 {3,3,5/2} | 10 {5/2,3,3} | [5,3,3], zamówienie 14400 |
Związki z dualami
Podwójne pozycje:
Teoria grup
Z punktu widzenia teorii grup , jeśli G jest grupą symetrii wielościanu, a grupa działa przechodnie na wielościan (tak, że każdy wielościan może być wysłany do dowolnego z pozostałych, jak w jednorodnych związkach), to jeśli H jest stabilizatora jednego wybranego wielościanu, wielościan można utożsamić z przestrzenią orbity G / H – koset gH odpowiada, do którego wielościanu g wysyła wybrany wielościan.
Mieszanki płytek
Istnieje osiemnaście dwuparametrowych rodzin regularnych teselacji złożonych płaszczyzny euklidesowej. W płaszczyźnie hiperbolicznej znanych jest pięć rodzin jednoparametrowych i siedemnaście pojedynczych przypadków, ale kompletność tego wykazu nie została wyliczona.
Rodziny związków euklidesowych i hiperbolicznych 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p liczba całkowita) są analogiczne do sferycznej stella octagula , 2 {3,3}.
Samodzielność | Podwójny | Samodzielność | |
---|---|---|---|
2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞,∞} |
3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞,∞} | |
Znana rodzina zwykłych plastrów euklidesowych złożonych z pięciu lub więcej wymiarów jest nieskończoną rodziną plastrów hipersześciennych , z których wszystkie mają takie same wierzchołki i ścianki, co inny hipersześcienny plaster miodu. Ten związek może mieć dowolną liczbę hipersześciennych plastrów miodu.
Istnieją również mieszanki glazurnicze dual-regular . Prostym przykładem jest związek E 2 z sześciokątnej płytki i jej podwójnej trójkątnej płytki , która ma wspólne krawędzie z trójkątną płytką deltoidalną . Związki euklidesowe dwóch hipersześciennych plastrów miodu są zarówno regularne, jak i podwójnie regularne.
Przypisy
Zewnętrzne linki
- MathWorld: Wielościan złożony
- Wielościany złożone – z Wirtualnej Rzeczywistości Wielościany
- 75 jednolitych związków Skillinga o jednolitych wielościanach
- Jednolite związki Skillinga o jednolitych wielościanach
- Związki wielościenne
- http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
- Połączenie małego dwunastościanu gwiaździstego i wielkiego dwunastościanu {5/2,5}+{5,5/2}
- Klitzing, Richard. „Polytopy złożone” .
Bibliografia
- Skilling, John (1976), "Jednolite związki jednolitego wielościanu", Proceedings Matematyczne Towarzystwa Filozoficznego Cambridge , 79 : 447-457, doi : 10.1017/S0305004100052440 , MR 0397554.
- Cromwell, Peter R. (1997), Wielościany , Cambridge.
- Wenninger, Magnus (1983), modele podwójne , Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, s. 51-53.
- Harman, Michael G. (1974), Polyhedral Compounds , rękopis niepublikowany.
- Hess, Edmund (1876), "Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder", Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg , 11 : 5-97.
- Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione.
- Zwykłe Polytopes (wydanie trzecie, 1973), wydanie Dover, ISBN 0-486-61480-8
- Antoniego Pugha (1976). Wielościany: podejście wizualne . Kalifornia: University of California Press Berkeley. Numer ISBN 0-520-03056-7.P. 87 Pięć regularnych związków
- McMullen, Peter (2018), „New Regular Compounds of 4-Polytopes”, Nowe trendy w intuicyjnej geometrii , 27 : 307-320, doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12.