Mieszanka politopowa - Polytope compound

Wielościenny związkiem jest postać, która składa się z kilku dzielące wielościanów wspólny środek . Są trójwymiarowymi analogami związków wielokątnych, takich jak heksagram .

Zewnętrzne wierzchołki związku można połączyć, tworząc wypukły wielościan zwany jego wypukłym kadłubem . Mieszanka to fasetowanie wypukłego kadłuba.

Kolejny wielościan wypukły tworzy mała przestrzeń centralna wspólna dla wszystkich członków związku. Ten wielościan może służyć jako rdzeń dla zestawu gwiazd .

Zwykłe związki

Regularne wielościanów związek może być określony jako związek, który podobnie jak w zwykłej wielościanu , jest wierzchołek-przechodni , krawędzi przechodni , a twarzą przechodnia . W przeciwieństwie do przypadku wielościanów, nie jest to równoznaczne z grupą symetrii działającą przechodnie na swoich flagach ; związek dwóch czworościanów jest jedynym regularnym związkiem o tej właściwości. Istnieje pięć regularnych związków wielościanów:

Zwykła mieszanka
(symbol Coxetera)
Zdjęcie Kulisty Wypukły kadłub Wspólny rdzeń Grupa symetrii Podgrupa
ograniczająca się
do jednego
składnika
Podwójnie regularny związek
Dwie czworościany
{4,3}[2{3,3}]{3,4}
Związek dwóch czworościanów.png Sferyczny związek dwóch czworościanów.png Sześcian

Oktaedr *432
[4,3]
O h
*332
[3,3]
T d
Dwa czworościany
Pięć czworościanów
{5,3}[5{3,3}]{3,5}
Związek pięciu czworościanów.png Kulisty związek pięciu czworościanów.png Dwunastościan

dwudziestościan

532
[5,3] +
I
332
[3,3] +
T
Chiralny bliźniak
(Enantiomorf)
Dziesięć czworościanów
2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}
Związek dziesięciu czworościanów.png Kulisty związek dziesięciu czworościanów.png Dwunastościan

dwudziestościan *532
[5,3]
I h
332
[3,3]
T
Dziesięć czworościanów
Pięć kostek
2{5,3}[5{4,3}]
Związek pięciu kostek.png Kulisty związek pięciu kostek.png Dwunastościan

rombowy triacontahedron

*532
[5,3]
I h
3*2
[3,3]
T h
Pięć oktaedrów
Pięć oktaedrów
[5{3,4}]2{3,5}
Złożony z pięciu octahedra.png Kulisty związek pięciu octahedra.png Ikozyd dwunastościan

dwudziestościan

*532
[5,3]
I h
3*2
[3,3]
T h
Pięć kostek

Najbardziej znany jest regularny związek dwóch czworościanów , często nazywany stella octgula , nazwa nadana jej przez Keplera . Wierzchołki dwóch czworościanów definiują sześcian , a ich przecięcie definiują regularny ośmiościan , który ma te same płaszczyzny czołowe co związek. Tak więc związek dwóch czworościanów jest gwiazdą ośmiościanu, a właściwie jedyną jego skończoną gwiazdą.

Regularny związek pięciu czworościanów występuje w dwóch enancjomorficznych wersjach, które razem tworzą regularny związek dziesięciu czworościanów. Regularny związek dziesięciu czworościanów może być również skonstruowany z pięcioma ośmiornikami Stellae.

Każdy z regularnych związków czworościennych jest samo-dual lub dual do swojego chiralnego bliźniaka; regularny związek pięciu sześcianów i regularny związek pięciu oktaedrów są do siebie podwójne.

W związku z tym regularne związki wielościenne mogą być również traktowane jako związki dual-regularne .

Notacja Coxetera dla regularnych związków jest podana w powyższej tabeli, zawierające symbole Schläfliego . Materiał wewnątrz nawiasów kwadratowych, [ d { p , q }], oznacza składniki związku: d oddzielne { p , q }'s. Materiał przed nawiasami kwadratowymi oznacza układ wierzchołków związku: c { m , n }[ d { p , q }] jest związkiem d { p , q } dzielącym wierzchołki { m , n } c razy. Materiał za nawiasami kwadratowymi oznacza układ fasetek związku: [ d { p , q } ] e { s , t } jest związkiem d { p , q } dzielącym ściany { s , t } e razy. Można je łączyć: zatem c { m , n } [ d { p , q }] e { s , t } jest związkiem d { p , q } dzielącym wierzchołki { m , n } liczonym c razy a ściany { s , t } liczone e razy. Ten zapis można uogólnić na związki w dowolnej liczbie wymiarów.

Związki podwójne

Podwójnego związek złożony z bryły i jej podwójnego rozmieszczone wzajemnie wokół wspólnej midsphere tak, że jedna krawędź przecina wielościanu podwójna krawędź podwójnego wielościanu. Istnieje pięć podwójnych związków wielościanów regularnych.

Rdzeniem jest rektyfikacja obu ciał stałych. Kadłub jest bliźniakiem tej rektyfikacji, a jego rombowe powierzchnie mają przecinające się krawędzie dwóch brył jako przekątne (i mają cztery naprzemienne wierzchołki). Dla brył wypukłych jest to kadłub wypukły .

Podwójny związek Zdjęcie kadłub Rdzeń Grupa symetrii
Dwa czworościany
( Związek dwóch czworościanów , gwiaździsty ośmiościan )
Podwójny związek 4 max.png Sześcian Oktaedr *432
[4,3]
O h
Sześcian i ośmiościan
( Złożenie sześcianu i ośmiościanu )
Podwójny związek 8 max.png Dwunastościan rombowy sześcian sześcienny *432
[4,3]
O h
Dwunastościan i Dwudziestościan
( Związek dwunastościanu i dwudziestościanu )
Podwójny związek 20 max.png rombowy triacontahedron Ikozyd dwunastościan *532
[5,3]
I h
Mały dwunastościan gwiaździsty i dwunastościan wielki
( związek sD i gD )
Para szkieletów Gr12 i podwójny, rozmiar m (uprawa), gruby.png Przyśrodkowy rombowy triacontahedron
(wypukły: dwudziestościan )
Dwunastościan
(wypukły: dwunastościan )
*532
[5,3]
I h
Wielki dwudziestościan i wielki dwunastościan gwiaździsty
( związek gI i gsD )
Para szkieletów Gr20 i podwójny, rozmiar s, gruby.png Wielki trzydziestościan rombowy
(Convex: Dwunastościan )
Dwudziestościan wielki
(wypukły: dwudziestościan )
*532
[5,3]
I h

Czworościan jest samopodwójny, więc podwójny związek czworościanu z jego podwójnym jest regularnym gwiaździstym ośmiościanem .

W oktaedryczne i ikozahedralnymi podwójne związki są pierwsze stellacja z sześcio-ośmiościan i icosidodecahedron , odpowiednio.

Jednolite związki

W 1976 roku John Skilling opublikował Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, w którym wymieniono 75 związków (w tym 6 jako nieskończone pryzmatyczne zestawy związków, #20-#25) wykonanych z jednorodnych wielościanów z symetrią obrotową. (Każdy wierzchołek jest wierzchołkiem przechodnim, a każdy wierzchołek jest przechodni z każdym innym wierzchołkiem.) Ta lista zawiera pięć regularnych związków powyżej. [1]

75 jednorodnych związków wymieniono w poniższej tabeli. Większość z nich jest pokazana pojedynczo pokolorowana przez każdy element wielościanu. Niektóre chiralne pary grup twarzy są pokolorowane przez symetrię twarzy w obrębie każdego wielościanu.

  • 1-19: Różne (4,5,6,9,17 to 5 regularnych związków )
UC01-6 czworościan.png UC02-12 czworościan.png UC03-6 czworościan.png UC04-2 czworościan.png UC05-5 czworościan.png UC06-10 czworościan.png
UC07-6 kostki.png UC08-3 kostki.png UC09-5 kostki.png UC10-4 oktaedry.png UC11-8 oktaedry.png UC12-4 oktaedry.png
UC13-20 oktaedry.png UC14-20 oktaedry.png UC15-10 oktaedry.png UC16-10 oktaedry.png UC17-5 oktaedry.png UC18-5 tetrahemihexahedron.png
UC19-20 tetrahemihexahedron.png
UC20-2k nm-gonal pryzmaty.png UC21-k pryzmaty gonal nm.png UC22-2k nm-gonal antypryzmaty.png UC23-k nm-gonal antypryzmaty.png UC24-2k nm-gonal antypryzmaty.png UC25-k nm-gonal antypryzmaty.png
UC26-12 pięciokątne antypryzmaty.png UC27-6 pięciokątne antypryzmaty.png UC28-12 pentagramowe skrzyżowane antypryzmaty.png UC29-6 pentagramowe skrzyżowane antypryzmaty.png UC30-4 trójkątne pryzmaty.png UC31-8 trójkątne pryzmaty.png
UC32-10 trójkątne pryzmaty.png Pryzmaty trójkątne UC33-20.png UC34-6 pryzmaty pięciokątne.png UC35-12 pryzmaty pięciokątne.png UC36-6 pryzmaty pentagramowe.png UC37-12 pryzmaty pentagramowe.png
UC38-4 sześciokątne pryzmaty.png UC39-10 sześciokątne pryzmaty.png Dekagonalne pryzmaty UC40-6.png UC41-6 pryzmaty dekagramowe.png Antypryzmaty kwadratowe UC42-3.png Antypryzmaty kwadratowe UC43-6.png
UC44-6 pentagramowe antypryzmaty.png UC45-12 pentagramowe antypryzmaty.png
  • 46-67: Symetria czworościenna osadzona w symetrii oktaedrycznej lub dwudziestościennej,
UC46-2 icosahedra.png UC47-5 icosahedra.png UC48-2 wielki dwunastościan.png UC49-5 wielki dwunastościan.png UC50-2 mały dwunastościan gwiaździsty.png UC51-5 mały dwunastościan gwiaździsty.png
UC52-2 wielki icosahedra.png UC53-5 wielki icosahedra.png UC54-2 skrócony czworościan.png UC55-5 skrócony czworościan.png UC56-10 ścięty czworościan.png UC57-5 obcięte kostki.png
UC58-5 quasi-skrócona sześcian.png UC59-5 prostopadłościan.png UC60-5 hemioktaedra sześcienna.png UC61-5 oktahemioctahedra.png UC62-5 rombikubaktahedra.png UC63-5 mały romb sześcian.png
UC64-5 mały sześcienny kuboktaedra.png UC65-5 wielki sześcienny kuboktaedra.png UC66-5 wielki romb sześcian.png UC67-5 wielki rombikuboctahedra.png
UC68-2 sześciany arabska.png UC69-2 zadarty dwunastościan.png UC70-2 wielki zadarty icosidodecahedra.png UC71-2 wielki odwrócony icosidodecahedra.png UC72-2 wielki retrosnub icosidodecahedra.png UC73-2 zadarty dodecadodecahedra.png
UC74-2 odwrócony zadarty dodecadodecahedra.png UC75-2 icosidodecadodecahedra.png

Inne związki

Związek 4 kostek.png Związek 4 oktaedrów.png
Związek czterech sześcianów (po lewej) nie jest ani regularnym związkiem, ani podwójnym związkiem, ani jednorodnym związkiem. Jego podwójny, związek czterech oktaedrów (po prawej), jest jednorodnym związkiem.

Dwoma wielościanami, które są związkami, ale ich elementy są sztywno zamocowane na miejscu, to mały złożony dwudziestościan (związek dwudziestościanu i dwunastościanu wielkiego ) oraz duży złożony dwudziestościan (związek małego dwunastościanu gwiaździstego i dwudziestościanu wielkiego ). Jeśli uogólnimy definicję wielościanu jednostajnego , to są one jednorodne.

Sekcja dotycząca par enancjomorfów na liście Skillinga nie zawiera związku dwóch wielkich dodecikozydodekaedrów , ponieważ twarze pentagramu pokrywałyby się. Usunięcie zbieżnych ścian daje w wyniku złożenie dwudziestu oktaedrów .

związki 4-politopowe

Rzuty prostopadłe
Zwykły związek 75 tesseracts.png Zwykły związek 75 16-cells.png
75 {4,3,3} 75 {3,3,4}

W 4-wymiarach istnieje duża liczba regularnych związków regularnych politopów. Coxeter wymienia kilka z nich w swojej książce Regular Polytopes . McMullen dodał sześć w swoim artykule New Regular Compounds of 4-Polytopes .

Samodzielni:

Pogarszać Składnik Symetria
120 5-ogniwowych 5-komorowy [5,3,3], zamówienie 14400
120 5-ogniwowych (var) 5-komorowy zamów 1200
720 5-ogniwowych 5-komorowy [5,3,3], zamówienie 14400
5 24-ogniwowych 24-komorowy [5,3,3], zamówienie 14400

Podwójne pary:

Związek 1 Związek 2 Symetria
3 16-ogniwowe 3 teseraty [3,4,3], rząd 1152
15 16-ogniwowych 15 teseraktów [5,3,3], zamówienie 14400
75 16-ogniwowych 75 teseraktów [5,3,3], zamówienie 14400
75 16-ogniwowych (var) 75 teseraktów (var) zamów 600
300 16-ogniwowych 300 teseraktów [5,3,3] + , zamów 7200
600 16-ogniwowych 600 teseraktów [5,3,3], zamówienie 14400
25 24-ogniwowych 25 24-ogniwowych [5,3,3], zamówienie 14400

Mieszanki jednorodne i bliźniacze z wypukłymi 4-politopami:

Związek 1
wierzchołek przechodni
Związek 2 przechodni wobec
komórek
Symetria
2 16-ogniwowe 2 teseraty [4,3,3], rząd 384
100 24-ogniwowych 100 24-ogniwowych [5,3,3] + , zamów 7200
200 24-ogniwowych 200 24-ogniwowych [5,3,3], zamówienie 14400
5 600 ogniw 5 120-komórek [5,3,3] + , zamów 7200
10 600-komórek 10 120-komórek [5,3,3], zamówienie 14400
25 24-ogniwowych (var) 25 24-ogniwowych (var) zamów 600

Indeks górny (var) w powyższych tabelach wskazuje, że związki znakowane różnią się od innych związków o tej samej liczbie składników.

Związki z regularną gwiazdą 4-politopy

Związki samopodwójne gwiazdy:

Pogarszać Symetria
5 {5,5/2,5} [5,3,3] + , zamów 7200
10 {5,5/2,5} [5,3,3], zamówienie 14400
5 {5/2,5,5/2} [5,3,3] + , zamów 7200
10 {5/2,5,5/2} [5,3,3], zamówienie 14400

Podwójne pary gwiazd złożonych:

Związek 1 Związek 2 Symetria
5 {3,5,5/2} 5 {5/2,5,3} [5,3,3] + , zamów 7200
10 {3,5,5/2} 10 {5/2,5,3} [5,3,3], zamówienie 14400
5 {5,5/2,3} 5 {3,5/2,5} [5,3,3] + , zamów 7200
10 {5,5/2,3} 10 {3,5/2,5} [5,3,3], zamówienie 14400
5 {5/2,3,5} 5 {5,3,5/2} [5,3,3] + , zamów 7200
10 {5/2,3,5} 10 {5,3,5/2} [5,3,3], zamówienie 14400

Jednolite gwiazdy złożone i gwiazdy podwójne :

Związek 1
wierzchołek przechodni
Związek 2 przechodni wobec
komórek
Symetria
5 {3,3,5/2} 5 {5/2,3,3} [5,3,3] + , zamów 7200
10 {3,3,5/2} 10 {5/2,3,3} [5,3,3], zamówienie 14400

Związki z dualami

Podwójne pozycje:

Pogarszać Składnik Symetria
2 5-komorowe 5-komorowy [[3,3,3]], rząd 240
2 24-ogniwowe 24-komorowy [[3,4,3]], rząd 2304
1 teserakt, 1 16-komorowy tesseract , 16-ogniwowy
1 120-ogniwowy, 1 600-ogniwowy 120-ogniwowy , 600-ogniwowy
2 świetne 120-ogniwowe świetny 120-ogniwowy
2 wielkie gwiaździste 120-ogniwowe wielki gwiaździsty 120-ogniwowy
1 dwudziestościan 120-komorowy, 1 mały gwiaździsty 120-komorowy icosahedral 120-komorowy , mały gwiaździsty 120-komorowy
1 wielki 120-ogniwowy, 1 wielki stelated 120-ogniwowy wielki 120-ogniwowy , świetny stelated 120-ogniwowy
1 wielki 120-ogniwowy, 1 wielki dwudziestościenny 120-ogniwowy wielki wielki 120-komorowy , wielki dwudziestościenny 120-komorowy
1 supergwiazdowy 120-ogniwowy, 1 wielki 600-ogniwowy wielki stelated 120-ogniwowy , wielki 600-ogniwowy

Teoria grup

Z punktu widzenia teorii grup , jeśli G jest grupą symetrii wielościanu, a grupa działa przechodnie na wielościan (tak, że każdy wielościan może być wysłany do dowolnego z pozostałych, jak w jednorodnych związkach), to jeśli H jest stabilizatora jednego wybranego wielościanu, wielościan można utożsamić z przestrzenią orbity G / H – koset gH odpowiada, do którego wielościanu g wysyła wybrany wielościan.

Mieszanki płytek

Istnieje osiemnaście dwuparametrowych rodzin regularnych teselacji złożonych płaszczyzny euklidesowej. W płaszczyźnie hiperbolicznej znanych jest pięć rodzin jednoparametrowych i siedemnaście pojedynczych przypadków, ale kompletność tego wykazu nie została wyliczona.

Rodziny związków euklidesowych i hiperbolicznych 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p liczba całkowita) są analogiczne do sferycznej stella octagula , 2 {3,3}.

Kilka przykładów regularnych związków euklidesowych i hiperbolicznych
Samodzielność Podwójny Samodzielność
2 {4,4} 2 {6,3} 2 {3,6} 2 {∞,∞}
Kah 4 4.png Złożone 2 sześciokątne płytki.png Związek 2 trójkątne kafelki.png Apeirogonalne kafelki nieskończonego rzędu i dual.png
3 {6,3} 3 {3,6} 3 {∞,∞}
Złożone 3 sześciokątne płytki.png Związek 3 trójkątne kafelki.png III symetria 000.png

Znana rodzina zwykłych plastrów euklidesowych złożonych z pięciu lub więcej wymiarów jest nieskończoną rodziną plastrów hipersześciennych , z których wszystkie mają takie same wierzchołki i ścianki, co inny hipersześcienny plaster miodu. Ten związek może mieć dowolną liczbę hipersześciennych plastrów miodu.

Istnieją również mieszanki glazurnicze dual-regular . Prostym przykładem jest związek E 2 z sześciokątnej płytki i jej podwójnej trójkątnej płytki , która ma wspólne krawędzie z trójkątną płytką deltoidalną . Związki euklidesowe dwóch hipersześciennych plastrów miodu są zarówno regularne, jak i podwójnie regularne.

Przypisy

Zewnętrzne linki

Bibliografia

  • Skilling, John (1976), "Jednolite związki jednolitego wielościanu", Proceedings Matematyczne Towarzystwa Filozoficznego Cambridge , 79 : 447-457, doi : 10.1017/S0305004100052440 , MR  0397554.
  • Cromwell, Peter R. (1997), Wielościany , Cambridge.
  • Wenninger, Magnus (1983), modele podwójne , Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, s. 51-53.
  • Harman, Michael G. (1974), Polyhedral Compounds , rękopis niepublikowany.
  • Hess, Edmund (1876), "Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder", Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg , 11 : 5-97.
  • Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione.
  • Zwykłe Polytopes (wydanie trzecie, 1973), wydanie Dover, ISBN  0-486-61480-8
  • Antoniego Pugha (1976). Wielościany: podejście wizualne . Kalifornia: University of California Press Berkeley. Numer ISBN 0-520-03056-7.P. 87 Pięć regularnych związków
  • McMullen, Peter (2018), „New Regular Compounds of 4-Polytopes”, Nowe trendy w intuicyjnej geometrii , 27 : 307-320, doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12.