Pryzmat (geometria) - Prism (geometry)
Zestaw jednorodnych pryzmatów n- kątnych | |
---|---|
Przykład jednolity pryzmat sześciokątny |
|
Rodzaj | jednolity w sensie wielościanu półregularnego |
Notacja wielościanu Conwaya | P n |
Twarze | 2 { n } + n {4} |
Krawędzie | 3 n |
Wierzchołki | 2 n |
Symbol Schläfli | { n } × {} lub t {2, n } |
Schemat Coxetera | |
Konfiguracja wierzchołków | 4.4. n |
Grupa symetrii | D n h , [ n ,2], (* n 22), rząd 4 n |
Grupa rotacyjna | D n , [ n ,2] + , ( n 22), rząd 2 n |
Podwójny wielościan | wypukłe dwu- jednolity n -gonal podwójnej piramidy |
Nieruchomości | wypukłe, foremne ściany wielokątów , wierzchołki przechodnie , przesunięte bazy, boki ⊥ bazy |
Przykład jednolity enneagonal pryzmat netto ( n = 9) |
W geometrii , A pryzmatu jest wielościanem zawierający n -sided wielokąta podstawy , drugą podstawę, która jest tłumaczone kopii (sztywno przemieszczane bez obrotu) w pierwszym i n inne powierzchnie , niekoniecznie wszystkie równoległoboki , łączenie odpowiednich boków dwóch podstawach . Wszystkie przekroje równoległe do podstaw są translacjami podstaw. Pryzmaty są nazwane po ich podstawach; przykład: pryzmat o podstawie pięciokątnej nazywany jest pryzmatem pięciokątnym. Pryzmaty to podklasa pryzmatów .
Podobnie jak wiele podstawowych terminów geometrycznych, słowo pryzmat ( gr . πρίσμα , latynizowane : pryzma , dosł. „coś przepiłowano”) po raz pierwszy zostało użyte w Elementach Euklidesa . Euklides zdefiniował ten termin w księdze XI jako „stała figura zawierająca dwie przeciwległe, równe i równoległe płaszczyzny, podczas gdy reszta to równoległoboki”. Jednak ta definicja została skrytykowana za to, że nie jest wystarczająco dokładna w stosunku do natury podstaw, co spowodowało zamieszanie wśród późniejszych autorów geometrii.
Ukośny pryzmat
Ukośnego pryzmatu jest pryzmat, w którym łączące krawędzie i powierzchnie są nie prostopadle do powierzchni podstawy.
Przykład: równoległościan to ukośny graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok lub równoważnie wielościan z sześcioma ścianami, z których wszystkie są równoległobokami.
Pryzmat prawy, pryzmat jednolity
Prawy pryzmat
Prawo pryzmatu jest pryzmat, w którym łączące krawędzie i powierzchnie są prostopadłe do powierzchni podstawowej. Ma to zastosowanie, jeśli wszystkie łączące ściany są prostokątne .
Podwójny z prawej n -prism jest prawo n - podwójnej piramidy .
Prawy graniastosłup (o bokach prostokątnych) o regularnych podstawach n- gonowych ma symbol Schläfliego { }×{ n }. Zbliża się do cylindrycznej bryły, gdy n zbliża się do nieskończoności .
Przypadki specjalne
- Prawy prostokątny graniastosłup (o podstawie prostokątnej) nazywany jest również prostopadłościanem lub nieformalnie prostokątnym pudełkiem . Prawy prostokątny graniastosłup ma symbol Schläfliego { }×{ }×{ }.
- Prawy graniastosłup kwadratowy (o podstawie kwadratowej) nazywany jest również kwadratowym prostopadłościanem lub nieformalnie kwadratowym pudełkiem .
Uwaga: w niektórych tekstach termin graniastosłup prostokątny lub graniastosłup kwadratowy może dotyczyć zarówno prawego graniastosłupa prostokątnego, jak i prawego graniastosłupa kwadratowego.
Jednolity pryzmat
Jednolity pryzmat lub semiregular pryzmat jest prawy pryzmat ze stałych baz i kwadratowych bokach , ponieważ takie pryzmaty są w zbiorze jednolitego wielościanów .
Jednolity graniastosłup n- kątny ma symbol Schläfliego t{2, n }.
Prawe pryzmaty o regularnych podstawach i równych długościach krawędzi tworzą jeden z dwóch nieskończonych szeregów wielościanów półregularnych , drugi szereg to antypryzmaty .
Nazwa pryzmatu | Pryzmat dwukątny | (Trigonal) Trójkątny pryzmat |
(czworokątny) pryzmat kwadratowy |
Graniastosłup pięciokątny | Sześciokątny pryzmat | Graniastosłup siedmiokątny | Pryzmat ośmiokątny | Pryzmat enneagonalny | Graniastosłup dziesięciokątny | Pryzmat heksagonalny | Pryzmat dwunastokątny | ... | Pryzmat apeirogonalny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Obraz wielościanu | ... | ||||||||||||
Kulisty obraz kafelkowy | Samolot kafelkowy obraz | ||||||||||||
Konfiguracja wierzchołków. | 2.4.4 | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | ... | .4.4 |
Schemat Coxetera | ... |
Tom
Objętość pryzmatu jest iloczynem powierzchni podstawy, a odległość pomiędzy dwiema powierzchniami bazowymi lub wysokość (w przypadku nie prawej pryzmat zauważyć, że oznacza to, że odległość prostopadła).
Wielkość wynosi zatem:
gdzie B to powierzchnia podstawowa, a h to wysokość. Objętość graniastosłupa, którego podstawa jest n -sided regularnego wieloboku , o długości boku a zatem:
Powierzchnia
Powierzchnia obszar z prawej pryzmatu wynosi:
gdzie B to powierzchnia podstawy, h wysokość, a P obwód podstawy .
Powierzchnia prawej graniastosłupa, którego podstawa jest regularny n -sided wielokąt o długości boku a , a wysokość h wynosi:
Diagramy Schlegla
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
P7 |
P8 |
Symetria
Grupa symetrii prawego n- bocznego graniastosłupa o podstawie regularnej to D n h rzędu 4 n , z wyjątkiem przypadku sześcianu, który ma większą grupę symetrii O h rzędu 48, która ma trzy wersje D 4h jako podgrupy . Grupa rotacyjna to D n rzędu 2 n , z wyjątkiem przypadku sześcianu, który ma większą grupę symetrii O rzędu 24, która ma trzy wersje D 4 jako podgrupy.
Grupa symetrii D n h zawiera inwersję, jeśli n jest parzyste.
Hosohedra i dwuścianów posiadają również dwuścienny symetrii i n -gonal pryzmat może być wykonana poprzez geometryczny obcinania wystąpienia n -gonal hosohedron, jak również poprzez cantellation lub ekspansji w a n -gonal dwuścianu.
Ścięty pryzmat
Obcięty pryzmatu jest graniastosłupem o nie- równoległej górnej i dolnej powierzchni.
Zakręcony pryzmat
Skręcony graniastosłup jest nonconvex wielościan wykonana z jednolitej n -prism z każdej powierzchni bocznej bisected na placu Diagonal przez skręcanie do góry, zazwyczajπ/n radiany (180/n stopni) w tym samym kierunku, co powoduje, że boki są wklęsłe.
Skręconego pryzmatu nie można rozciąć na czworościany bez dodania nowych wierzchołków. Najmniejszy przypadek: forma trójkątna, nazywana jest wielościanem Schönhardta .
N -gonal skręcony graniastosłup jest topologicznie identyczna z N -gonal jednolitej antygraniastosłup , ale ma połowę grupy symetrii : M n [ N , 2] + , klasa 2 n . Może być postrzegany jako niewypukły antypryzmat, z czworościanami usuniętymi między parami trójkątów.
3-kątne | 4-kątny | 12-kątne | |
---|---|---|---|
Wielościan Schönhardta |
Skręcony pryzmat kwadratowy |
Kwadratowy antypryzm |
Skręcony dwunastokątny antypryzmat |
Stożek ścięty
Ściętego jest podobna konstrukcja do pryzmatu z trapezowymi powierzchniami bocznymi i różnej wielkości górnej i dolnej wielokątów.
Pryzmat gwiazdy
Gwiazdy pryzmatu jest nonconvex wielościan zbudowany z dwóch identycznych wielokąt gwiaździsty powierzchni od góry i od dołu, są równoległe i przesunięte o odległość i połączone prostokątnymi powierzchniami. Jednolity gwiazda pryzmat będzie miał symbol schläfliego { P / Q } {x} z p prostokąta i 2 { p / q } twarzy. Jest topologicznie identyczny z pryzmatem p- gonalnym.
{ } × { } 180 × { } | t a {3}×{ } | {5/2}×{} | {7/2}×{} | {7/3}×{} | {8/3}×{} | |
---|---|---|---|---|---|---|
D 2h , zamów 8 | D 3h , zamów 12 | D 5h , zamów 20 | D 7h , zamówienie 28 | D 8h , zamów 32 | ||
Skrzyżowany pryzmat
Skrzyżowane pryzmatu jest nonconvex wielościan wykonana z pryzmatu, w którym wierzchołki jednego podstawy są odwrócone wokół środka tej podstawy (albo obraca się o 180 °). Powoduje to przekształcenie bocznych prostokątnych ścian w przecinające się prostokąty . W przypadku podstawy wielokąta foremnego wygląd przypomina n- kątną klepsydrę . Wszystkie ukośne krawędzie przechodzą przez jeden środek ciała. Uwaga: żaden wierzchołek nie znajduje się w tym środku ciała. Krzyżowany pryzmat jest topologicznie identyczny z pryzmatem n- kątnym.
{}×{} 180 × {} 180 | t a {3}×{ } 180 | {3}×{} 180 | {4}×{} 180 | {5}×{} 180 | {5/2}×{} 180 | {6}×{} 180 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
D 2h , zamów 8 | D 3d , zamów 12 | D 4h , zamówienie 16 | D 5d , zamów 20 | D 6d , zamów 24 | |||
Pryzmat toroidalny
Toroidalny pryzmatu jest A nonconvex wielościan jak skrzyżowanymi graniastosłupa , lecz bez dna i górna część podstawy, oraz boczne powierzchnie prosty prostokątny zamykania wielościanu. Można to zrobić tylko w przypadku równobocznych wielokątów bazowych. Są to torusy topologiczne, z charakterystyką Eulera zerową. Topologiczną sieć wielościenną można wyciąć z dwóch rzędów kwadratowej płytki (z konfiguracją wierzchołków 4.4.4.4 ): pasmo n kwadratów, z których każdy jest przymocowany do skrzyżowanego prostokąta . N -gonal toroidalny pryzmat ma 2 n wierzchołki, 2 n oblicza: n kwadratów i n skrzyżowane prostokąty 4 n krawędzie. Jest topologicznie dualny .
D 4h , zamówienie 16 | D 6h , zamówienie 24 |
v =8, e =16, f =8 | v =12, e =24, f =12 |
Politop pryzmatyczny
Pryzmatyczny Polytope jest wyższe wymiary uogólnienie pryzmat. N wymiarową pryzmatyczny Polytope jest zbudowany z dwóch ( n - 1 ) -wymiarowej polytopes przeliczone na kolejnym wymiarze.
Elementy pryzmatyczne n- politopowe są podwajane z elementów ( n −1 )-politopowych, a następnie tworzą nowe elementy z następnego niższego elementu.
Weź n -politop z elementami f i i -face ( i = 0, ..., n ). Jego ( n + 1 )-politopowy pryzmat będzie miał 2 elementy f i + f i −1 i -face. (Z f -1 = 0 , f n = 1 .)
Według wymiaru:
- Weź wielokąt z n wierzchołkami, n krawędziami. Jego pryzmat ma 2 n wierzchołków, 3 n krawędzi i 2 + n ścian.
- Weź wielościan z wierzchołkami v , krawędziami e i ścianami f . Jego pryzmat ma 2 wierzchołki v , 2 krawędzie e + v , 2 ściany f + e i 2 + f komórki.
- Weź wielochoron z wierzchołkami v , krawędziami e , ścianami f i komórkami c . Jego pryzmat ma 2 wierzchołki v , 2 krawędzie e + v , 2 ściany f + e , 2 komórki c + f i 2 + c hiperkomórki.
Jednolity pryzmatyczny polytope
Regularne n -polytope reprezentowany przez symbol schläfliego { p , q , ..., T } mogą tworzyć jednolitą pryzmatyczny ( n + 1 ) -polytope reprezentowany przez iloczyn kartezjański z dwóch symbol schläfliego : { p , q , ... , t }×{}.
Według wymiaru:
- Graniastosłup wielotopowy o zerowym kształcie to odcinek linii reprezentowany przez pusty symbol Schläfliego {}.
- Pryzmat 1-politopowy to prostokąt złożony z 2 przesuniętych segmentów linii. Jest reprezentowany jako produkt Schläfli symbol {}×{}. Jeśli jest kwadratem , symetrię można zmniejszyć: {}×{} = {4}.
- Wielokątny graniastosłup jest 3-wymiarowa pryzmat wykonane z dwóch połączonych ze sobą tłumaczone wielokątów prostokątów. Wielokąt foremny { p } może skonstruować jednorodny n- kątny graniastosłup reprezentowany przez iloczyn { p } × {}. Jeśli p = 4 , przy symetrii boków kwadratowych staje się sześcianem : {4}×{} = {4, 3}.
- Przykład: graniastosłup pięciokątny , {5}×{}, dwa równoległe pięciokąty połączone 5 prostokątnymi bokami .
- Wielościennego pryzmatu jest 4-wymiarowej pryzmat wykonany z dwóch tłumaczone wielościanów połączone 3-wymiarowych komórek Prism. Wielościan foremny { p , q } może skonstruować jednorodny graniastosłup wielochorowy, reprezentowany przez iloczyn { p , q }×{}. Jeśli wielościan jest sześcianem, a boki są sześcianami, staje się tesseraktem : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Przykład: graniastosłup dwunastościenny , {5, 3}×{}, dwa równoległe dwunastościany połączone 12 bokami graniastosłupa pięciokątnego .
- ...
Politopy pryzmatyczne wyższego rzędu istnieją również jako produkty kartezjańskie dowolnych dwóch politopów. Wymiar politopu produktu jest iloczynem wymiarów jego elementów. Pierwsze ich przykłady istnieją w przestrzeni czterowymiarowej; nazywa się je duopryzmami jako iloczyn dwóch wielokątów. Regularne duopryzmy są reprezentowane jako { p } × { q }.
Zobacz też
Bibliografia
- Antoniego Pugha (1976). Wielościany: podejście wizualne . Kalifornia: University of California Press Berkeley. Numer ISBN 0-520-03056-7. Rozdział 2: Wielościany Archimedesa, pryzmaty i antypryzmaty
Linki zewnętrzne
- Weisstein, Eric W. "Pryzmat" . MatematykaŚwiat .
- Papierowe modele pryzmatów i antypryzmatów Darmowe siatki pryzmatów i antypryzmatów
- Papierowe modele pryzmatów i antypryzmatów Wykorzystanie siatek generowanych przez Stella