Wielościan rzutowy - Projective polyhedron

W geometrii , grupę (globalnie) rzutowa wielościan jest tesselacji z rzeczywistej powierzchni projekcyjnej . Są to analogi projekcyjne wielościanów sferycznych – teselacji sfery – oraz wielościanów toroidalnych – teselacji toroidów.

Wielościany rzutowe są również określane jako teselacje eliptyczne lub kafelki eliptyczne , odnosząc się do płaszczyzny rzutowej jako (rzutowa) geometria eliptyczna , przez analogię z kafelkami sferycznymi , synonimem „wielościanu sferycznego”. Jednak termin geometria eliptyczna dotyczy zarówno geometrii sferycznej, jak i rzutowej, więc termin ten niesie ze sobą pewną niejednoznaczność dla wielościanów.

Jako komórkowe rozkłady płaszczyzny rzutowej mają one cechę Eulera 1, natomiast wielościany sferyczne mają cechę Eulera 2. Kwalifikator „globalnie” ma kontrastować z lokalnie rzutowymi wielościanami, które są zdefiniowane w teorii wielościanów abstrakcyjnych .

Nienakładające się wielościany rzutowe ( gęstość 1) odpowiadają wielościanom sferycznym (odpowiednik wielościanów wypukłych ) o symetrii centralnej . Jest to rozwinięte i rozszerzone poniżej w odniesieniu do wielościanów sferycznych i relacji z wielościanami tradycyjnymi .

Przykłady

Hemi-kostka jest regularne wielościan rzutowa z 3 powierzchniami kwadratowych, 6 krawędzi i 4 wierzchołki.

Najbardziej znanymi przykładami wielościanów rzutowych są wielościany regularne rzutowe, iloraz centralnie symetrycznych brył platońskich , a także dwie nieskończone klasy parzystych dwuścianów i hozoedrów :

• Półsześcian , {4,3}/2
• Półoktaedr , {3,4}/2
• Półdwunastościan , {5,3}/2
• Półścian , {3,5}/2
• Półdwuścian, {2p,2}/2, p>=1
• Półścian, {2,2p}/2, p>=1

Można je uzyskać, biorąc iloraz skojarzonego wielościanu sferycznego przez mapę antypodów (identyfikującą przeciwległe punkty na sferze).

Z drugiej strony czworościan nie ma centralnej symetrii, więc nie ma „półczworościanu”. Zobacz związek z wielościanami sferycznymi poniżej, aby dowiedzieć się, jak traktuje się czworościan.

Hemipolyedra

Tetrahemihexahedron jest rzutowa wielościan i tylko jednorodne rzutowa wielościan, który zanurza się w euklidesowej przestrzeni 3-wymiarowej.

Zauważ, że przedrostek „hemi-” jest również używany w odniesieniu do hemipolyedry , które są jednorodnymi wielościanami , które mają kilka ścian przechodzących przez środek symetrii. Ponieważ nie definiują one wielościanów sferycznych (ponieważ przechodzą przez środek, który nie odwzorowuje określonego punktu na sferze), nie definiują wielościanów rzutowych przez odwzorowanie ilorazowe od 3 przestrzeni (minus początek) do rzutu samolot.

Z tych jednorodnych hemipoliedrów tylko czworościan sześciościan jest topologicznie wielościanem rzutowym, co można zweryfikować po charakterystycznym dla Eulera i wizualnie oczywistym połączeniu z powierzchnią rzymską . Jest on 2-pokryty prostopadłościanem i może być zrealizowany jako iloraz sferycznego prostopadłościanu przez mapę antypodów. Jest to jedyny jednostajny (tradycyjny) wielościan rzutowy – czyli jedyny jednolity wielościan rzutowy zanurzony w trójprzestrzeni euklidesowej jako jednorodny wielościan tradycyjny.

Relacja z wielościanami sferycznymi

Istnieje mapa pokrycia sfery 2 do 1 na płaszczyznę rzutową, a pod tą mapą wielościan rzutowy odpowiada wielościanowi sferycznemu o symetrii centralnej – dwuścian pokrycia wielościanu rzutowego jest centralnie symetrycznym wielościanem sferycznym. Ponadto, ponieważ mapa pokrywająca jest lokalnym homeomorfizmem (w tym przypadku lokalną izometrią ), zarówno sferyczna, jak i odpowiadająca jej wielościan rzutowy mają tę samą abstrakcyjną figurę wierzchołkową . ${\ Displaystyle S ^ {2} \ do \ mathbf {RP} ^ {2}}$

Na przykład dwukrotna pokrywa ( odrzutowego ) półsześcianu to (kulisty) sześcian. Półsześcian ma 4 wierzchołki, 3 ściany i 6 krawędzi, z których każda jest pokryta 2 kopiami w sferze, a zatem sześcian ma 8 wierzchołków, 6 ścian i 12 krawędzi, podczas gdy obie te wielościany mają 4,4. Figura z 4 wierzchołkami (3 kwadraty spotykające się w wierzchołku).

Ponadto grupa symetrii ( izometrii ) wielościanu rzutowego i pokrywającego wielościan sferyczny są powiązane: symetrie wielościanu rzutowego są naturalnie utożsamiane z symetriami obrotowymi wielościanu sferycznego, podczas gdy pełna grupa symetrii wielościanu sferycznego jest iloczynem jego grupy rotacyjnej (grupy symetrii wielościanu rzutowego) i grupy cyklicznej rzędu 2, {± I }. Zobacz grupę symetrii poniżej, aby zapoznać się z omówieniem i innymi wymiarami.

Wielościany sferyczne bez symetrii centralnej nie definiują wielościanu rzutowego, ponieważ obrazy wierzchołków, krawędzi i ścian będą się nakładać. W języku kafelków obraz w płaszczyźnie rzutowej jest kafelkiem stopnia 2, co oznacza, że ​​dwukrotnie pokrywa płaszczyznę rzutową – zamiast 2 ścian w sferze odpowiadającej 1 ścianie w płaszczyźnie rzutowej, zakrywając ją dwukrotnie, każda ściana w sfera odpowiada jednej ścianie w płaszczyźnie rzutowej, zakrywając ją zatem dwukrotnie.

Korespondencja między wielościanami rzutowymi a centralnie symetrycznymi wielościanami sferycznymi może być rozszerzona na połączenie Galois obejmujące wszystkie wielościany sferyczne (niekoniecznie centralnie symetryczne), jeśli klasy zostaną rozszerzone o kafelki stopnia 2 płaszczyzny rzutowej, których pokrywy nie są wielościanami, ale raczej wielościan złożony z niecentralnie symetrycznego wielościanu, wraz z jego odwrotnością centralną (związek 2 wielościanów). To geometryzuje połączenie Galois na poziomie skończonych podgrup O(3) i PO(3), w ramach których przyłączenie jest „zjednoczeniem z odwrotnością centralną”. Na przykład czworościan nie jest centralnie symetryczny i ma 4 wierzchołki, 6 krawędzi i 4 ściany oraz wierzchołek z rysunku 3.3.3 (3 trójkąty spotykające się w każdym wierzchołku). Jego obraz w płaszczyźnie rzutowej ma 4 wierzchołki, 6 krawędzi (które przecinają się) i 4 ściany (które nakładają się), pokrywając dwukrotnie płaszczyznę rzutową. Jego okładką jest gwiaździsty ośmiościan – równoważnie złożony z dwóch czworościanów – który ma 8 wierzchołków, 12 krawędzi i 8 ścian oraz wierzchołek Rysunek 3.3.3.

Uogólnienia

W kontekście abstrakcyjnych polytopes zamiast tego odnosi się do " lokalnie rzutowych polytopes" - patrz Abstrakcyjny polytope: Lokalna topologia . Na przykład, 11-komórka jest „lokalnie rzutowym wielościanem”, ale nie jest globalnie rzutowym wielościanem, ani teselatem żadnej rozmaitości, ponieważ nie jest lokalnie euklidesowa, ale raczej lokalnie rzutowa, jak wskazuje nazwa.

Politopy rzutowe można zdefiniować w wyższym wymiarze jako teselacje przestrzeni rzutowej w jednym mniejszym wymiarze. Definiowanie k- wymiarowych politopów rzutowych w n- wymiarowej przestrzeni rzutowej jest nieco trudniejsze, ponieważ zwykła definicja politopów w przestrzeni euklidesowej wymaga wypukłych kombinacji punktów, co nie jest pojęciem rzutowym i jest rzadko poruszane w literaturze, ale zostało zdefiniowane, takie jak w ( Vives i Mayo 1991 ).

Grupa symetrii

Grupa symetrii politopu rzutowego jest skończoną (stąd dyskretną) podgrupą rzutowej grupy ortogonalnej PO i odwrotnie każda skończona podgrupa PO jest grupą symetrii politopu rzutowego, biorąc politop określony przez obrazy podstawowej domeny dla Grupa.

Odpowiednie wymiary są następujące: n- wymiarowa rzeczywista przestrzeń rzutowa jest rzutowaniem ( n +1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej , więc oznaczona jest rzutowa grupa ortogonalna n- wymiarowej przestrzeni rzutowej ${\ Displaystyle \ mathbf {RP} ^ {n} = \ mathbf {P} (\ mathbf {R} ^ {n + 1})}$

PO( n +1) = P(O( n +1)) = O( n +1)/{± I }.

Jeśli n =2 k jest parzyste (więc n +1 = 2 k +1 jest nieparzyste), to O(2 k +1) = SO(2 k +1)×{± I } rozkłada się jako produkt, a zatem tak grupę izometrii rzutowych można utożsamić z grupą izometrii rotacyjnych. ${\ Displaystyle PO (2 k + 1) = PSO (2 k + 1) \ cong SO (2 k + 1)}$

Zatem w szczególności grupa symetrii wielościanu rzutowego jest grupą symetrii obrotowej pokrywającego wielościan sferyczny; pełna grupa symetrii wielościanu sferycznego jest wtedy tylko iloczynem bezpośrednim z odbiciem przez początek , który jest jądrem na przejściu do przestrzeni rzutowej. Płaszczyzna rzutowa jest nieorientowalna, a zatem nie ma odrębnego pojęcia „zachowującej orientację izometrii wielościanu rzutowego”, co znajduje odzwierciedlenie w równości PSO(3) = PO(3).

Jeśli n = 2 k  + 1 jest nieparzyste, to O( n +1) = O(2 k +2) nie rozkłada się jako produkt, a zatem grupa symetrii wielotopu rzutowego nie jest po prostu symetrią obrotową sferycznego polytope, ale raczej iloraz 2 do 1 pełnej grupy symetrii odpowiedniego sferycznego polytopu (grupa sferyczna jest centralnym rozszerzeniem grupy projekcyjnej). Co więcej, w dziwnym wymiarze rzutowym (nawet wymiar wektorowy) i zamiast tego jest właściwą podgrupą (wskaźnik 2), więc istnieje odrębne pojęcie izometrii zachowujących orientację. ${\ Displaystyle PSO (2 k) \ neq PO (2 k)}$

Na przykład, w n  = 1 (wielokąty), symetrią 2 r -gon jest grupa dwuścienna Dih _{2 r} (rzędu 4 r ), z grupą rotacyjną grupę cykliczną C _{2 r} , które są podgrupami O(2 ) i SO(2), odpowiednio. Projectivization o 2 r gon (w kółko) jest R gon (w projekcyjnej linii), a zatem grupy iloraz podgrupy PO (2) i (2) PSO są Dih _R i C, _R . Zwróć uwagę, że ten sam kwadrat przemienny podgrup występuje dla kwadratu grupy Spin i grupy Pin – Spin(2), Pin ₊ (2), SO(2), O(2) – tutaj idąc do dwukrotnej okładki, zamiast do dwukrotnego ilorazu.

Wreszcie, zgodnie z twierdzeniem o sieci, istnieje związek Galois między podgrupami O( n ) i podgrupami PO( n ), w szczególności skończonych podgrup. W związku z tym, grupy symetrii centralnie symetrycznych politopów odpowiadają grupom symetrii odpowiedniego politopu rzutowego, podczas gdy grupy symetrii sferycznych politopów bez centralnej symetrii odpowiadają grupom symetrii politopów projekcyjnych stopnia 2 (kafelki, które dwukrotnie pokrywają przestrzeń rzutową), których pokrycie ( odpowiadający połączeniu połączenia) jest złożeniem dwóch politopów – oryginalnego politopu i jego centralnej odwrotności.

Te grupy symetrii należy porównywać i skontrastować z binarnymi grupami wielościennymi – tak jak Pin _± ( n ) → O( n ) jest osłoną 2 do 1 i stąd istnieje połączenie Galois między binarnymi grupami wielościennymi a grupami wielościennymi, O ( n ) → PO( n ) jest pokryciem 2 do 1, a zatem ma analogiczne połączenie Galois między podgrupami. Jednakże, podczas gdy dyskretne podgrupy O( n ) i PO( n ) odpowiadają grupom symetrii politopów sferycznych i rzutowych, geometrycznie odpowiadających mapie pokrywającej, nie ma przestrzeni pokrywającej (for ), ponieważ sfera jest po prostu połączona , a zatem istnieje nie jest odpowiednikiem „binarnego politopu”, dla którego podgrupy Pina są grupami symetrii. ${\ Displaystyle S ^ {n} \ do \ mathbf {RP} ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

Zobacz też

• Wielościan sferyczny
• Wielościan toroidalny

Uwagi

Bibliografia

Przypisy

Ogólne odniesienia General