Symetria czworościenna - Tetrahedral symmetry

Grupy punktów w trzech wymiarach

Symetria inwolucyjna C s , (*) [ ] =	Symetria cykliczna C nv , (*nn) [n] =	Symetria dwuścienna D nh , (*n22) [n,2] =
Grupa wielościenna , [n,3], (*n32)
Symetria czworościenna T d , (*332) [3,3] =	Symetria oktaedryczna O h , (*432) [4,3] =	Symetria dwudziestościenna I h , (*532) [5,3] =

Regularne Tetrahedron , przykład ciało stałe o pełnej symetrii tetraedrycznej

Regularne Tetrahedron ma 12 obrotów (lub orientacji zabezpieczonego ) symetrii, a kolejność symetrii z 24 tym przekształceń, które łączą odbicia i obrót.

Grupa wszystkich symetrii jest izomorficzna z grupą S ₄ , symetryczną grupą permutacji czterech obiektów, ponieważ istnieje dokładnie jedna taka symetria dla każdej permutacji wierzchołków czworościanu. Zestaw orientacji-zachowaniu symetrii tworzy grupę dalej przemiennego podgrup A ₄ S ₄ .

Detale

Chiralna i pełna (lub achiralna symetria czworościenna i symetria pirytoedryczna ) są symetriami punktowymi dyskretnymi (lub równoważnymi symetriami na sferze ). Są wśród krystalograficznych grup punktowych na układ regularny .

Osie wirowania

C 3	C 3	C 2
2	2	3

Widziane w rzucie stereograficznym krawędzie sześcianu czworokątnego tworzą w płaszczyźnie 6 okręgów (lub centralnie promienistych linii). Każde z tych 6 okręgów reprezentuje linię lustrzaną w symetrii czworościennej. Przecięcie tych okręgów spotyka się w kolejności 2 i 3 punkty wirowania.

Prostokątny	Projekcje stereograficzne
	4-krotnie	3-krotnie	2-krotnie
Chiralna symetria czworościenna, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ], =
Symetria pirytoedryczna, T h , (3*2), [4,3 + ],
Achiralna symetria czworościenna, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3], =

Chiralna symetria czworościenna

Czworościenna grupa rotacyjna T z domeną podstawową ; dla czworościanu triakis , patrz poniżej, ten ostatni jest jedną pełną twarzą

Tetrahedron mogą być umieszczone w różnych pozycjach od 12 obrotów sam. Są one zilustrowane powyżej w formacie wykresu cyklu , wraz z obrotem krawędzi o 180° (niebieskie strzałki) i wierzchołkiem 120° (czerwone strzałki), które permutują czworościan przez te pozycje.

W sześcianie tetrakis jedna pełna twarz jest podstawową domeną; inne bryły o tej samej symetrii można uzyskać, dostosowując orientację ścian, np. spłaszczając wybrane podzbiory ścian, aby połączyć każdy podzestaw w jedną ścianę lub zastępując każdą ścianę wieloma ścianami lub zakrzywioną powierzchnią.

T , 332 , [3,3] ⁺ , lub 23 , rzędu 12 – chiralna lub rotacyjna symetria czworościenna . Istnieją trzy ortogonalne podwójne osie rotacji, takie jak chiralna dwuścienna symetria D ₂ lub 222, z dodatkowo czteremapotrójnymiosiami, wyśrodkowanymi pomiędzy trzema prostopadłymi kierunkami. Ta grupa jest izomorficzna z A ₄ , naprzemienną grupą na 4 elementach; w rzeczywistości jest to grupa parzystych permutacji czterech potrójnych osi: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Te zajęcia conjugacy T są:

• tożsamość
• 4 × obrót o 120° zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrząc od wierzchołka): (234), (143), (412), (321)
• 4 × obrót o 120° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (jak wyżej)
• 3 × obrót o 180°

Obroty o 180° wraz z identycznością tworzą podgrupę normalną typu Dih ₂ , z grupą ilorazową typu Z ₃ . Trzy elementy tego ostatniego to tożsamość, „obrót w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara” i „obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara”, odpowiadający permutacjom trzech ortogonalnych osi podwójnych, zachowując orientację.

A ₄ jest najmniejszą grupą pokazującą, że odwrotność twierdzenia Lagrange'a nie jest generalnie prawdziwa: biorąc pod uwagę skończoną grupę G i dzielnik d liczby | G |, niekoniecznie istnieje podgrupa G o rzędzie d : grupa G = A ₄ nie ma podgrupy rzędu 6. Chociaż jest to właściwość dla grupy abstrakcyjnej w ogóle, wynika to wyraźnie z grupy izometrycznej chiralnej symetria czworościenna: ze względu na chiralność podgrupa musiałaby być C ₆ lub D ₃ , ale żadna z nich nie ma zastosowania.

Podgrupy chiralnej symetrii czworościennej

Podgrupy chiralnej symetrii czworościennej

Schoe.	Coxeter		Kula.	HM	Generatory	Struktura	Cyc	Zamówienie	Indeks
T	[3,3] +	=	332	23	2	4		12	1
D 2	[2,2] +	=	222	222	3	D 4		4	3
C 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	4
C 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	6
C 1	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	12

Achiralna symetria czworościenna

Pełna grupa czworościenna T _d z podstawową dziedziną

T _d , *332 , [3,3] lub 4 3m, rzędu 24 – symetria achiralna lub pełna czworościenna , zwana również grupą trójkątów (2,3,3) . Ta grupa ma takie same osie obrotu jak T, ale z sześcioma płaszczyznami lustrzanymi, każda przez dwie 3-krotne osie. Osie podwójne są teraz osiami S ₄ ( 4 ). T _d i O są izomorficzne jako grupy abstrakcyjne: obie odpowiadają S ₄ , grupie symetrycznej na 4 obiektach. T _d jest sumą T i zbiorem otrzymanym przez połączenie każdego elementu O \ T z inwersją. Zobacz także izometrie czworościanu foremnego .

Te zajęcia conjugacy T _d są:

• tożsamość
• 8 × obrót o 120° (C ₃ )
• 3 × obrót o 180° (C ₂ )
• 6 × odbicie w płaszczyźnie przez dwie osie obrotu (C _s )
• 6 × odchylenie wirnika o 90° (S ₄ )

Podgrupy achiralnej symetrii czworościennej

Czworościenne podgrupy achiralne

Schoe.	Coxeter		Kula.	HM	Generatory	Struktura	Cyc	Zamówienie	Indeks
T d	[3,3]		*332	4 3m	3	S 4		24	1
C 3v	[3]		*33	3m	2	D 6 = S 3		6	4
C 2v	[2]		*22	mm2	2	D 4		4	6
C s	[ ]		*	2 lub m	1	Z 2 = D 2		2	12
D 2d	[2 + ,4]		2*2	4 2m	2	D 8		8	3
S 4	[2 + ,4 + ]		2×	4	1	Z 4		4	6
T	[3,3] +		332	23	2	4		12	2
D 2	[2,2] +		222	222	2	D 4		4	6
C 3	[3] +		33	3	1	Z 3 = A 3		3	8
C 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
C 1	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	24

Symetria pirytoedryczna

Grupa pirytoedryczna T _h z domeną podstawową

Szwy w siatkówce mają symetrię pirytoedryczną

T _h , 3*2 , [4,3 ⁺ ] lub m 3 , rzędu 24 – symetria pirytoedryczna . Ta grupa ma takie same osie obrotu jak T, z płaszczyznami lustrzanymi w dwóch ortogonalnych kierunkach. Osie 3-krotne są teraz osiami S ₆ ( 3 ) i istnieje centralna symetria inwersyjna. T _h jest izomorficzny z T × Z ₂ : każdy element T _h jest albo elementem T, albo elementem połączonym z inwersją. Oprócz tych dwóch podgrup normalnych istnieje również podgrupa normalna D _2h ( prostopadłościan ) typu Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Jest to bezpośredni produkt normalnej podgrupy T (patrz wyżej) z C _i . Grupa ilorazowa jest taka sama jak powyżej: typu Z ₃ . Trzy elementy tego ostatniego to tożsamość „obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara” i „obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara”, odpowiadający permutacjom trzech ortogonalnych 2-krotnych osi, zachowując orientację.

Jest to symetria sześcianu z na każdej ścianie segmentem dzielącym ścianę na dwa równe prostokąty, tak że segmenty linii sąsiednich ścian nie spotykają się na krawędzi. Symetrie odpowiadają równym permutacjom przekątnych ciała i tym samym w połączeniu z inwersją. Jest to również symetria pirytoościanu , który jest niezwykle podobny do opisanego sześcianu, z każdym prostokątem zastąpionym przez pięciokąt z jedną osią symetrii i 4 równymi bokami i 1 innym bokiem (ten odpowiadający odcinkowi linii dzielącej ścianę sześcianu) ; tj. ściany sześcianu wybrzuszają się na linii podziału i stają się tam węższe. Jest to podgrupa pełnej dwudziestościennej grupy symetrii (jako grupa izometryczna, a nie tylko abstrakcyjna), z 4 z 10 3-krotnych osi.

Klasy sprzężenia T _h obejmują klasy T, z dwiema klasami po 4 połączone i każda z inwersją:

• tożsamość
• 8 × obrót o 120° (C ₃ )
• 3 × obrót o 180° (C ₂ )
• inwersja (S ₂ )
• 8 × odchylenie wirnika o 60° (S ₆ )
• 3 × odbicie w płaszczyźnie (C _s )

Podgrupy symetrii pirytoedrycznej

Podgrupy pirytoedryczne

Schoe.	Coxeter		Kula.	HM	Generatory	Struktura	Cyc	Zamówienie	Indeks
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	2	4 x 2		24	1
D 2h	[2,2]		*222	mmm	3	D 4 × D 2		8	3
C 2v	[2]		*22	mm2	2	D 4		4	6
C s	[ ]		*	2 lub m	1	D 2		2	12
C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m²	2	Z 2 × D 2		4	6
S 2	[2 + ,2 + ]		×	1	1	Z 2		2	12
T	[3,3] +		332	23	2	4		12	2
D 3	[2,3] +		322	3	2	D 6		6	4
D 2	[2,2] +		222	222	3	D 8		4	6
C 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	8
C 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
C 1	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	24

Bryły o chiralnej symetrii czworościennej

Dwudziestościan zabarwiony na wzór czworościanu aroganckiego ma symetrię chiralną.

Bryły o pełnej symetrii czworościennej

Klasa	Nazwa	Zdjęcie	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
Bryła platońska	czworościan		4	6	4
Bryła Archimedesa	ścięty czworościan		8	18	12
kataloński stały	triakis czworościan		12	18	8
Prawie brakujący Johnson solid	Ścięty czworościan triakis		16	42	28
	Czworokątny dwunastościan		28	54	28
Jednolity wielościan gwiazdowy	Tetrahemihexahedron		7	12	6

Zobacz też

• Symetria ośmiościenna
• Symetria dwudziestościenna
• Binarna grupa tetraedryczna
• Materiały edukacyjne związane z grupą Symmetric S4 na Wikiversity

Bibliografia

• Peter R. Cromwell, Wielościany (1997), s. 295
• Symetrie rzeczy 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN  978-1-56881-220-5
• Kalejdoskopy: Wybrane pisma HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
• NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Rozdział 11: Skończone grupy symetrii , 11,5 sferyczne grupy Coxetera

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Grupa czworościenna” . MatematykaŚwiat .