Krzywa płaszczyzny kwarcowej - Quartic plane curve

Wielomian stopnia czwartego jest płaszczyzna algebraiczna krzywa czwartego stopnia . Można go zdefiniować za pomocą dwuwymiarowego równania kwarcowego:

${\ Displaystyle Ax ^ {4} + przez ^ {4} + Cx ^ {3} y + Dx ^ {2} y ^ {2} + Exy ^ {3} + Fx ^ {3} + Gy ^ {3} +Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}$

z co najmniej jednym z A, B, C, D, E nie równym zero. To równanie ma 15 stałych. Można go jednak pomnożyć przez dowolną niezerową stałą bez zmiany krzywej; tak więc wybierając odpowiednią stałą mnożenia, każdy ze współczynników może być ustawiony na 1, pozostawiając tylko 14 stałych. Dlatego przestrzeń krzywych kwarcowych można utożsamiać z rzeczywistą przestrzenią rzutową . Z twierdzenia Cramera o krzywych algebraicznych wynika również , że istnieje dokładnie jedna krzywa kwartyczna, która przechodzi przez zestaw 14 różnych punktów w pozycji ogólnej , ponieważ kwartyka ma 14 stopni swobody . ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ {14}}$

Krzywa kwarcowa może mieć maksymalnie:

• Cztery połączone komponenty
• Dwadzieścia osiem bi-tangensów
• Trzy zwykłe podwójne punkty .

Można również rozważyć krzywe kwarcowe nad innymi ciałami (lub nawet pierścieniami ), na przykład liczby zespolone . W ten sposób otrzymujemy powierzchnie Riemanna , które są obiektami jednowymiarowymi nad C , ale są dwuwymiarowe nad R . Przykładem jest kwartyka Kleina . Dodatkowo można przyjrzeć się krzywym w płaszczyźnie rzutowej , podanymi przez wielomiany jednorodne.

Przykłady

Różne kombinacje współczynników w powyższym równaniu dają początek różnym ważnym rodzinom krzywych wymienionych poniżej.

Krzywa ampersand

Krzywa handlowe i jest wielomian stopnia czwartego wyraża się równaniem:

${\ Displaystyle \ (y ^ {2}-x ^ {2}) (x-1) (2x-3) = 4 (x ^ {2} + Y ^ {2} -2 x) ^ {2}.}$

Ma rodzaj zero, z trzema zwykłymi podwójnymi punktami, wszystkie w rzeczywistej płaszczyźnie.

Krzywa fasoli

Krzywa fasoli jest wielomian stopnia czwartego z równania:

${\ Displaystyle x ^ {4} + x ^ {2} r ^ {2} + r ^ {4} = x (x ^ {2} + r ^ {2}). \,}$

Krzywa fasoli ma rodzaj zero. Na początku ma jedną osobliwość , zwykły punkt potrójny.

Krzywa dwupłatkowa

Dwupłatkową jest wielomian stopnia czwartego równaniem

${\ Displaystyle (x ^ {2}-a ^ {2}) (xa) ^ {2} + (y ^ {2} - a ^ {2}) ^ {2} = 0 \,}$

gdzie a określa rozmiar krzywej. Przedtrzonowiec ma tylko dwa guzki jako osobliwości, a zatem jest krzywizną rodzaju jeden.

Krzywa łuku

Łuk krzywa jest wielomian stopnia czwartego z równaniem:

${\ Displaystyle x ^ {4} = x ^ {2} yy ^ {3}. \,}$

Krzywa łukowa ma pojedynczy punkt potrójny przy x =0, y =0, a zatem jest krzywą wymierną, z rodzajem zero.

Krzywa krzyżowa

Krzywa w kształcie krzyża lub przekrój krzywa jest wielomian stopnia czwartego się równaniem

${\ Displaystyle x ^ {2} y ^ {2} - b ^ {2} x ^ {2} - a ^ {2} y ^ {2} = 0 \,}$

gdzie a i b to dwa parametry określające kształt krzywej. Krzywa w kształcie krzyża jest powiązana standardową transformacją kwadratową x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y z elipsą a ² x ² + b ² y ² = 1, a zatem jest wymierną płaską krzywą algebraiczną rodzaju zero. Krzywa krzyża ma trzy podwójne punkty na rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej , przy x =0 i y =0, x =0 i z =0 oraz y =0 i z =0.

Ponieważ krzywa jest wymierna, można ją sparametryzować funkcjami wymiernymi. Na przykład, jeśli a = 1 i b = 2, to

${\ Displaystyle x = - {\ Frac {t ^ {2} -2 t + 5} {t ^ {2} -2 t-3}} \ quad y = {\ Frac {t ^ {2} -2 t + 5 }{2t-2}}}$

parametryzuje punkty na krzywej poza wyjątkowymi przypadkami, w których mianownik wynosi zero.

Ilustracja odwrotnych twierdzeń Pitagorasa i regularnych twierdzeń Pitagorasa

Odwrotny Pitagorasa otrzymano z powyższego równania przez podstawienie X z AC , Y z BC i każdy i b z płyty , w którym , B są to punkty końcowe przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABC , a D jest stopka prostopadła spadła z C , wierzchołka kąta prostego, do przeciwprostokątnej:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} AC ^ {2} BC ^ {2} - CD ^ {2} AC ^ {2} - CD ^ {2} BC ^ {2} i = 0 \ \ AC ^ {2} }BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\ \dlatego \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}} }\end{wyrównany}}}$

Sekcja spiralna

Przekroje spiralne można zdefiniować jako dwukołowe krzywe kwarcowe, które są symetryczne względem osi x i y . Przekroje spiralne należą do rodziny przekrojów torycznych i obejmują rodzinę hipopotamów oraz rodzinę owali Cassini . Nazwa pochodzi od σπειρα, co w starożytnej grece oznacza torus.

Równanie kartezjańskie można zapisać jako

${\ Displaystyle (x ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {2} = dx ^ {2} + Ey ^ {2} + F}$

i równanie we współrzędnych biegunowych jako

${\ Displaystyle r ^ {4} = dr ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + E ^ {2} \ sin ^ {2} \ teta + f. \,}$

Trójlistna koniczyna (trifolium)

Trzy koniczyna lub Trifolium jest wielomian stopnia czwartego

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

Rozwiązując dla y , krzywą można opisać za pomocą następującej funkcji:

${\ Displaystyle y = \ pm {\ sqrt {\ Frac {-2 x ^ {2} -3 x \ pm {\ sqrt {16 x ^ {3} + 9 x ^ {2}}}} {2}}}}$

gdzie dwa wystąpienia ± są od siebie niezależne, dając do czterech różnych wartości y dla każdego x .

Równanie parametryczne krzywej to

${\ Displaystyle x = \ cos (3t) \ cos t, \ quad y = \ cos (3 t) \ sin t. \,}$

We współrzędnych biegunowych ( x = r  cos φ, y = r  sin φ) równanie to

${\displaystyle r=\cos(3\varphi).\,}$

Jest to szczególny przypadek krzywej róży z k = 3. Ta krzywa ma potrójny punkt na początku (0, 0) i ma trzy podwójne styczne.

Zobacz też

• kwartyka trójskładnikowa
• Bitangenty kwartyki

Bibliografia