Losowość - Randomness

Pseudolosowo wygenerowana mapa bitowa .

W mowie potocznej losowość jest pozornym lub rzeczywistym brakiem wzorca lub przewidywalności zdarzeń. Losowa sekwencja zdarzeń, symboli lub kroków często nie ma kolejności i nie przebiega zgodnie z zrozumiałym wzorem lub kombinacją. Poszczególne zdarzenia losowe są z definicji nieprzewidywalne, ale jeśli znany jest rozkład prawdopodobieństwa , częstotliwość różnych wyników w powtarzających się zdarzeniach (lub „próbach”) jest przewidywalna. Na przykład, rzucając dwiema kostkami , wynik każdego konkretnego rzutu jest nieprzewidywalny, ale suma 7 będzie miała tendencję do występowania dwa razy częściej niż 4. W tym ujęciu losowość nie jest przypadkowa; jest miarą niepewności wyniku. Losowość odnosi się do pojęć przypadku, prawdopodobieństwa i entropii informacyjnej .

Dziedziny matematyki, prawdopodobieństwa i statystyki używają formalnych definicji losowości. W statystyce zmienna losowa to przypisanie wartości liczbowej do każdego możliwego wyniku przestrzeni zdarzeń . To powiązanie ułatwia identyfikację i obliczenie prawdopodobieństwa zdarzeń. Zmienne losowe mogą występować w losowych sekwencjach . Proces losowy jest ciągiem zmiennych losowych, których wyniki nie są zgodne z deterministycznego wzór, ale śledzić ewolucję opisaną przez rozkładów prawdopodobieństwa . Te i inne konstrukty są niezwykle przydatne w teorii prawdopodobieństwa i różnych zastosowaniach losowości .

Losowość jest najczęściej używana w statystyce do oznaczenia dobrze zdefiniowanych właściwości statystycznych. Metody Monte Carlo , które opierają się na danych wejściowych losowych (takich jak generatory liczb losowych lub generatory liczb pseudolosowych ), są ważnymi technikami w nauce, szczególnie w dziedzinie nauk obliczeniowych . Analogicznie, metody quasi-Monte Carlo wykorzystują generatory liczb quasi-losowych .

Dobór losowy , gdy jest ściśle powiązany z prostą próbą losową , jest metodą wybierania elementów (często nazywanych jednostkami) z populacji, w której prawdopodobieństwo wybrania określonej pozycji jest proporcją tych elementów w populacji. Na przykład przy misce zawierającej tylko 10 czerwonych kulek i 90 niebieskich kulek mechanizm losowego wyboru wybrałby czerwoną kulkę z prawdopodobieństwem 1/10. Zauważ, że losowy mechanizm wyboru, który wybrał 10 kulek z tej miski, niekoniecznie dawał 1 czerwony i 9 niebieskich. W sytuacjach, gdy populacja składa się z elementów, które można rozróżnić, mechanizm wyboru losowego wymaga równego prawdopodobieństwa wyboru dowolnego elementu. Oznacza to, że jeśli proces selekcji jest taki, że każdy członek populacji, powiedzmy badani, ma takie samo prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany, wtedy możemy powiedzieć, że proces selekcji jest losowy.

Zgodnie z teorią Ramseya czysta losowość jest niemożliwa, zwłaszcza w przypadku dużych struktur. Matematyk Theodore Motzkin zasugerował, że „choć zaburzenie jest ogólnie bardziej prawdopodobne, całkowite zaburzenie jest niemożliwe”. Niezrozumienie tego może prowadzić do licznych teorii spiskowych . Cristian S. Calude stwierdził, że „biorąc pod uwagę niemożliwość prawdziwej losowości, wysiłek skierowany jest na badanie stopni losowości”. Można udowodnić, że istnieje nieskończona hierarchia (pod względem jakości lub siły) form losowości.

Historia

Antyczny fresk przedstawiający graczy w kości w Pompejach .

W starożytności pojęcia przypadku i przypadkowości splatały się z przeznaczeniem. Wiele starożytnych ludów rzucało kośćmi, aby decydować o losie, co później przekształciło się w gry losowe. Większość starożytnych kultur wykorzystywała różne metody wróżenia, próbując ominąć losowość i los.

Chińczycy 3000 lat temu byli prawdopodobnie pierwszymi ludźmi, którzy sformalizowali szanse i szanse. Greccy filozofowie szeroko dyskutowali o losowości, ale tylko w formach nieilościowych. Dopiero w XVI wieku włoscy matematycy zaczęli formalizować kursy związane z różnymi grami losowymi. Wynalezienie rachunku różniczkowego pozytywnie wpłynęło na formalne badanie losowości. W wydaniu swojej książki The Logic of Chance z 1888 r. John Venn napisał rozdział poświęcony koncepcji losowości, w którym zawarł swój pogląd na losowość cyfr liczby pi , używając ich do skonstruowania błądzenia losowego w dwóch wymiarach.

Na początku XX wieku nastąpił gwałtowny rozwój formalnej analizy losowości, ponieważ wprowadzono różne podejścia do matematycznych podstaw prawdopodobieństwa. Od połowy do końca XX wieku idee algorytmicznej teorii informacji wprowadziły do ​​dziedziny nowe wymiary poprzez koncepcję algorytmicznej przypadkowości .

Chociaż losowość przez wiele stuleci była często postrzegana jako przeszkoda i uciążliwość, w XX wieku informatycy zaczęli zdawać sobie sprawę, że celowe wprowadzanie losowości do obliczeń może być skutecznym narzędziem do projektowania lepszych algorytmów. W niektórych przypadkach takie randomizowane algorytmy przewyższają nawet najlepsze metody deterministyczne.

W nauce

Wiele dziedzin naukowych zajmuje się losowością:

W naukach fizycznych

W XIX wieku ideę losowych ruchów cząsteczek naukowcy wykorzystali w rozwoju mechaniki statystycznej do wyjaśnienia zjawisk termodynamiki i właściwości gazów .

Według kilku standardowych interpretacji mechaniki kwantowej zjawiska mikroskopowe są obiektywnie losowe. Oznacza to, że w eksperymencie, który kontroluje wszystkie parametry istotne przyczynowo, niektóre aspekty wyniku wciąż różnią się losowo. Na przykład, jeśli pojedynczy niestabilny atom zostanie umieszczony w kontrolowanym środowisku, nie można przewidzieć, ile czasu zajmie rozpad atomowi — tylko prawdopodobieństwo rozpadu w określonym czasie. Zatem mechanika kwantowa nie określa wyników poszczególnych eksperymentów, a jedynie prawdopodobieństwa. Teorie ukrytych zmiennych odrzucają pogląd, że natura zawiera nieredukowalną losowość: teorie te zakładają, że w procesach, które wydają się losowe, za kulisami działają właściwości o określonym rozkładzie statystycznym, określając wynik w każdym przypadku.

W biologii

Nowoczesny syntezy ewolucyjny przypisuje obserwowany różnorodność życia wyrywkowym genetycznymi mutacjami następnie przez naturalną selekcję . Ten ostatni zachowuje pewne losowe mutacje w puli genów z powodu systematycznie zwiększanej szansy na przeżycie i reprodukcję, jaką te zmutowane geny dają osobom, które je posiadają.

Kilku autorów twierdzi również, że ewolucja (a czasem rozwój) wymaga specyficznej formy losowości, a mianowicie wprowadzenia jakościowo nowych zachowań. Zamiast wyboru jednej możliwości spośród kilku wcześniej podanych, ta losowość odpowiada powstawaniu nowych możliwości.

Cechy organizmu powstają do pewnego stopnia deterministycznie (np. pod wpływem genów i środowiska), a do pewnego stopnia losowo. Na przykład, gęstość od piegi , które pojawiają się na skórze osoby, jest sterowany przez geny i ekspozycji na światło; natomiast dokładna lokalizacja poszczególnych piegów wydaje się przypadkowa.

Jeśli chodzi o zachowanie, losowość jest ważna, jeśli zwierzę ma zachowywać się w sposób nieprzewidywalny dla innych. Na przykład owady w locie mają tendencję do poruszania się z przypadkowymi zmianami kierunku, co utrudnia ścigającym drapieżnikom przewidywanie ich trajektorii.

W matematyce

Matematyczna teoria prawdopodobieństwa zrodziła się z prób sformułowania matematycznych opisów zdarzeń losowych, pierwotnie w kontekście hazardu , ale później w związku z fizyką. Statystyka służy do wywnioskowania podstawowego rozkładu prawdopodobieństwa zbioru obserwacji empirycznych. Na potrzeby symulacji konieczne jest posiadanie dużej podaży liczb losowych — lub środków do ich generowania na żądanie.

Algorytmiczna teoria informacji bada między innymi, co stanowi ciąg losowy . Główną ideą jest to, że ciąg bitów jest losowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest krótszy niż jakikolwiek program komputerowy, który może wygenerować ten ciąg ( losowość Kołmogorowa ), co oznacza, że ​​losowe ciągi to takie, których nie można skompresować . Pionierami w tej dziedzinie są Andrey Kołmogorov i jego uczeń Per Martin-Löf , Ray Solomonoff i Gregory Chaitin . W przypadku pojęcia ciągu nieskończonego matematycy na ogół przyjmują pół-eponimiczną definicję Per Martina-Löfa: Ciąg nieskończony jest losowy wtedy i tylko wtedy, gdy wytrzymuje wszystkie rekurencyjnie przeliczalne zestawy wartości zerowych. Inne pojęcia ciągów losowych to m.in. losowość rekurencyjna i losowość Schnorra, które opierają się na rekurencyjnie obliczalnych martyngałach. Jak pokazał Yongge Wang , te pojęcia losowości są generalnie różne.

Losowość występuje w liczbach takich jak log(2) i pi . Cyfry dziesiętne liczby pi stanowią nieskończoną sekwencję i „nigdy nie powtarzają się w sposób cykliczny”. Liczby takie jak pi są również uważane za normalne :

Pi z pewnością wydaje się zachowywać w ten sposób. W pierwszych sześciu miliardach miejsc po przecinku liczby pi każda z cyfr od 0 do 9 pojawia się około sześćset milionów razy. Jednak takie wyniki, przypuszczalnie przypadkowe, nie dowodzą normalności nawet w przypadku podstawy 10, a tym bardziej normalności w innych podstawach liczbowych.

W statystykach

W statystyce losowość jest powszechnie używana do tworzenia prostych losowych próbek . Dzięki temu ankiety całkowicie losowych grup osób dostarczają realistycznych danych, które odzwierciedlają populację. Typowe sposoby na to, to wyciągnięcie imion z kapelusza lub użycie losowej tabeli cyfr (duża tabela losowych cyfr).

W informatyce

W informatyce nieistotne lub pozbawione znaczenia dane są uważane za szum. Hałas składa się z licznych zakłóceń przejściowych o statystycznie losowym rozkładzie czasu.

W teorii komunikacji losowość w sygnale nazywana jest „szumem” i przeciwstawia się tej składowej jego zmienności, którą można przypisać przyczynowo źródłu, czyli sygnałowi.

Jeśli chodzi o rozwój sieci losowych, losowość komunikacji opiera się na dwóch prostych założeniach Paula Erdősa i Alfréda Rényi , którzy stwierdzili, że istnieje stała liczba węzłów i ta liczba pozostała stała przez całe życie sieci i że wszystkie węzły były równe i losowo połączone ze sobą.

W finansach

Hipoteza błądzenia losowego zdania, że ceny aktywów w zorganizowanym rynku evolve w sposób losowy, w tym sensie, że wartość oczekiwana ich zmiana jest zero, ale rzeczywista wartość może okazać się pozytywne lub negatywne. Mówiąc bardziej ogólnie, na ceny aktywów wpływa szereg nieprzewidywalnych wydarzeń w ogólnym środowisku gospodarczym.

W polityce

Losowy wybór może być oficjalną metodą rozstrzygnięcia remisowych wyborów w niektórych jurysdykcjach. Jego zastosowanie w polityce pochodzi dawno temu. Wiele urzędów w starożytnych Atenach wybrano losowo zamiast współczesnego głosowania.

Losowość i religia

Losowość może być postrzegana jako sprzeczna z deterministycznymi ideami niektórych religii, takich jak te, w których wszechświat jest tworzony przez wszechwiedzące bóstwo, które jest świadome wszystkich przeszłych i przyszłych wydarzeń. Jeśli uważa się, że wszechświat ma cel, losowość może być postrzegana jako niemożliwa. Jest to jedno z uzasadnień religijnego sprzeciwu wobec ewolucji , który stwierdza, że do wyników losowej zmienności genetycznej stosuje się nielosową selekcję.

Filozofie hinduistyczne i buddyjskie stwierdzają, że każde wydarzenie jest wynikiem wcześniejszych wydarzeń, co znajduje odzwierciedlenie w koncepcji karmy . Jako taka koncepcja ta jest sprzeczna z ideą losowości, a wszelkie pogodzenie między nimi wymagałoby wyjaśnienia.

W niektórych kontekstach religijnych do wróżenia używa się procedur, które są powszechnie postrzegane jako randomizery. Kleromancja wykorzystuje rzucanie kości lub kości, aby ujawnić to, co jest postrzegane jako wola bogów.

Aplikacje

W większości zastosowań matematycznych, politycznych, społecznych i religijnych losowość jest używana ze względu na wrodzoną „sprawiedliwość” i brak stronniczości.

Polityka : Demokracja ateńska opierała się na koncepcji izonomii (równości praw politycznych) i wykorzystywała złożone maszyny do przydziału, aby zapewnić sprawiedliwe przydziały stanowisk w komisjach rządzących, które rządziły Atenami. Przydział jest teraz ograniczona do wyboru jurorów w anglosaskich systemach prawnych, w sytuacji, gdy „uczciwość” jest przybliżona przez randomizacją , takich jak wybór jurorów i wojskowych projektów loterii.

Gry : Liczby losowe zostały po raz pierwszy zbadane w kontekście hazardu , a wiele urządzeń losujących, takich jak kości do gry , tasowanie kart do gry i koła ruletki , zostało po raz pierwszy opracowanych do użytku w grach hazardowych. Umiejętność uczciwego generowania liczb losowych ma kluczowe znaczenie dla hazardu elektronicznego, dlatego metody wykorzystywane do ich tworzenia są zwykle regulowane przez rządowe Rady Kontroli Gier . Losowe rysunki są również wykorzystywane do wyłonienia zwycięzców loterii . W rzeczywistości losowość była używana w grach losowych na przestrzeni dziejów i do wybierania osób do niechcianego zadania w uczciwy sposób (patrz rysowanie słomek ).

Sport : Niektóre sporty, w tym futbolu amerykańskiego , stosowanie rzutów monet losowo wybrać warunki dla gier lub począwszy nasiennych wiązanej zespołów do postseason zaawansowania . National Basketball Association korzysta z ważonego loterii do zespołów porządkowych w swoim projekcie.

Matematyka : Liczby losowe są również stosowane tam, gdzie ich użycie jest matematycznie ważne, na przykład do próbkowania w sondażach i do próbkowania statystycznego w systemach kontroli jakości . Rozwiązania obliczeniowe niektórych typów problemów w dużym stopniu wykorzystują liczby losowe, na przykład w metodzie Monte Carlo i algorytmach genetycznych .

Medycyna : Losowa alokacja interwencji klinicznej jest stosowana w celu zmniejszenia błędu systematycznego w kontrolowanych badaniach (np. randomizowanych badaniach kontrolowanych ).

Religia : Chociaż nie ma być przypadkowa, różne formy wróżbiarstwa, takie jak kleromancja, widzą to, co wydaje się być przypadkowym wydarzeniem, jako sposób, w jaki boska istota może przekazać swoją wolę (więcej informacji można znaleźć również w sekcji Wolna wola i Determinizm ).

Pokolenie

Kulka w ruletce może być wykorzystana jako źródło pozornej przypadkowości, ponieważ jej zachowanie jest bardzo wrażliwe na warunki początkowe.

Powszechnie przyjmuje się, że istnieją trzy mechanizmy odpowiedzialne za (pozornie) losowe zachowanie w systemach:

  1. Losowość pochodząca z otoczenia (na przykład ruchy Browna , ale także sprzętowe generatory liczb losowych ).
  2. Losowość pochodząca z warunków początkowych. Ten aspekt jest badany przez teorię chaosu i jest obserwowany w układach, których zachowanie jest bardzo wrażliwe na małe zmiany warunków początkowych (takich jak maszyny pachinko i kości ).
  3. Losowość wewnętrznie generowana przez system. Nazywa się to również pseudolosowością i jest rodzajem używanym w generatorach liczb pseudolosowych . Istnieje wiele algorytmów (opartych na arytmetyce lub automatach komórkowych ) do generowania liczb pseudolosowych. Zachowanie systemu można określić, znając stan nasion i używany algorytm. Te metody są często szybsze niż uzyskanie „prawdziwej” losowości ze środowiska.

Wiele zastosowań losowości doprowadziło do powstania wielu różnych metod generowania losowych danych. Metody te mogą się różnić w zależności od tego, jak nieprzewidywalne lub statystycznie losowe są i jak szybko mogą generować liczby losowe.

Przed pojawieniem się obliczeniowych generatorów liczb losowych generowanie dużych ilości wystarczająco losowych liczb (co jest ważne w statystyce) wymagało wiele pracy. Wyniki były czasami zbierane i dystrybuowane w postaci tabel liczb losowych .

Pomiary i testy

Istnieje wiele praktycznych miar losowości ciągu binarnego. Należą do nich miary oparte na częstotliwości, przekształceniach dyskretnych , złożoności lub ich kombinacji, takie jak testy Kaka, Phillipsa, Yuena, Hopkinsa, Beth i Dai, Munda oraz Marsaglia i Zaman.

Kwantowa nielokalność została wykorzystana do potwierdzenia obecności autentycznej lub silnej formy losowości w danym ciągu liczb.

Nieporozumienia i błędy logiczne

Z powodu usterki elektrycznej pokazany selektor wejść wzmacniacza audio przełącza się szybko i pozornie losowo . Może to jednak przebiegać według schematu, który człowiek mógłby rozpoznać tylko po superwizji w stylu naukowym.

Popularne wyobrażenia o losowości są często błędne i często opierają się na błędnym rozumowaniu lub intuicji.

Błąd: liczba jest „należna”

Argument ten brzmi: „W losowym wyborze liczb, ponieważ wszystkie liczby w końcu się pojawiają, te, które jeszcze się nie pojawiły, są »należne«, a zatem istnieje większe prawdopodobieństwo, że wkrótce się pojawią”. Ta logika jest poprawna tylko wtedy, gdy jest stosowana w systemie, w którym pojawiające się liczby są usuwane z systemu, na przykład gdy karty do gry są dobierane i nie wracają do talii. W tym przypadku, gdy walet zostanie usunięty z talii, następne losowanie jest mniej prawdopodobne, że będzie to walet, a bardziej prawdopodobne, że będzie to jakaś inna karta. Jeśli jednak walet zostanie zwrócony do talii, a talia zostanie dokładnie przetasowana, wylosowanie waleta jest równie prawdopodobne, jak w przypadku każdej innej karty. To samo dotyczy każdego innego procesu, w którym obiekty są wybierane niezależnie i żadne nie są usuwane po każdym wydarzeniu, takim jak rzut kostką, rzut monetą lub większość schematów wyboru liczb na loterii . Prawdziwie losowe procesy, takie jak te, nie mają pamięci, co uniemożliwia przeszłym wynikom wpływanie na przyszłe wyniki. W rzeczywistości nie ma skończonej liczby prób, które mogą zagwarantować sukces.

Błąd: liczba jest „przeklęta” lub „błogosławiona”

W losowej sekwencji liczb można powiedzieć, że liczba jest przeklęta, ponieważ w przeszłości pojawiała się rzadziej, a więc uważa się, że będzie się pojawiać rzadziej w przyszłości. Można założyć, że liczba jest błogosławiona, ponieważ występowała częściej niż inne w przeszłości, dlatego uważa się, że w przyszłości będzie się pojawiać częściej. Ta logika jest słuszna tylko wtedy, gdy randomizacja może być stronnicza, na przykład jeśli podejrzewa się, że kostka jest załadowana, to jej brak wystarczającej liczby szóstek byłby dowodem tego załadowania. Jeśli wiadomo, że kość jest uczciwa, poprzednie rzuty nie mogą wskazać przyszłych wydarzeń.

W naturze zdarzenia rzadko występują z częstotliwością znaną a priori , więc obserwowanie wyników w celu ustalenia, które zdarzenia są bardziej prawdopodobne, ma sens. Jednak błędne jest stosowanie tej logiki do systemów zaprojektowanych i znanych z tego, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, takich jak przetasowane karty, kości i koła ruletki.

Błąd: szanse nigdy nie są dynamiczne

Na początku scenariusza można obliczyć prawdopodobieństwo określonego zdarzenia. Jednak, gdy tylko uzyska się więcej informacji o scenariuszu, może być konieczne ponowne obliczenie prawdopodobieństwa.

W przypadku problemu Monty Hall , gdy gospodarz ujawnia jedne drzwi, w których znajduje się koza, dostarcza to nowych informacji, które należy uwzględnić przy obliczaniu prawdopodobieństw.

Na przykład, gdy ktoś mówi, że kobieta ma dwoje dzieci, może być zainteresowany tym, czy któreś z nich jest dziewczynką, a jeśli tak, jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko też jest dziewczynką. Rozpatrując te dwa zdarzenia niezależnie, można by oczekiwać, że prawdopodobieństwo, że drugie dziecko jest płci żeńskiej wynosi ½ (50%), ale budując przestrzeń prawdopodobieństwa ilustrującą wszystkie możliwe wyniki, można by zauważyć, że prawdopodobieństwo to w rzeczywistości wynosi tylko ⅓ (33%) .

Oczywiście, przestrzeń prawdopodobieństwa ilustruje cztery sposoby posiadania tych dwojga dzieci: chłopca-chłopca, dziewczynkę-chłopca, chłopca-dziewczynę i dziewczynkę-dziewczynę. Ale kiedy już wiadomo, że przynajmniej jedno z dzieci jest płci żeńskiej, wyklucza to scenariusz chłopca z chłopcem, pozostawiając tylko trzy sposoby na posiadanie dwojga dzieci: chłopca-dziewczynę, dziewczynkę-chłopiec, dziewczynkę-dziewczynę. Z tego widać, że tylko w ⅓ z tych scenariuszy drugie dziecko również będzie dziewczynką (więcej informacji znajdziesz w paradoksie Chłopiec lub dziewczynka ).

Ogólnie rzecz biorąc, używając przestrzeni prawdopodobieństwa, jest mniej prawdopodobne, że przeoczymy możliwe scenariusze lub zaniedbamy znaczenie nowych informacji. Ta technika może być wykorzystana do zapewnienia wglądu w inne sytuacje, takie jak problem Monty Halla , scenariusz teleturnieju, w którym samochód jest ukryty za jednymi z trzech drzwi, a dwie kozy są ukryte jako nagrody za miny za pozostałymi. Gdy zawodnik wybierze drzwi, gospodarz otwiera jedne z pozostałych drzwi, aby odsłonić kozę, eliminując te drzwi jako opcję. Mając tylko dwoje drzwi (jedno z samochodem, drugie z inną kozą), gracz musi zdecydować, czy zachować swoją decyzję, czy zmienić i wybrać drugie drzwi. Intuicyjnie można by pomyśleć, że gracz wybiera między dwojgiem drzwi z równym prawdopodobieństwem, a możliwość wyboru innych drzwi nie ma znaczenia. Jednak analiza przestrzeni prawdopodobieństwa ujawniłaby, że zawodnik otrzymał nowe informacje, a przejście na drugie drzwi zwiększyłoby jego szanse na wygraną.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne