Stosunek - Ratio

Stosunek szerokości do wysokości telewizora o standardowej rozdzielczości

W matematyce , o wskaźnik wskazuje, ile razy jedna liczba zawiera inny. Na przykład, jeśli w misce z owocami jest osiem pomarańczy i sześć cytryn, to stosunek pomarańczy do cytryn wynosi osiem do sześciu (czyli 8∶6, co odpowiada stosunkowi 4∶3). Podobnie stosunek cytryn do pomarańczy wynosi 6∶8 (lub 3∶4), a stosunek pomarańczy do całkowitej ilości owoców wynosi 8∶14 (lub 4∶7).

Liczby w stosunku mogą być wielkościami dowolnego rodzaju, takimi jak liczba osób lub przedmiotów, lub takimi jak pomiary długości, wagi, czasu itp. W większości kontekstów obie liczby są ograniczone do wartości dodatnich.

Stosunek może być określony albo dając zarówno stanowiące numery, zapisane jako „ do b ” lub „ to : b ” lub podając tylko wartość ich iloraz a/b. Równe ilorazy odpowiadają równym stosunkom.

W konsekwencji stosunek może być traktowany jako uporządkowana para liczb, ułamek z pierwszą liczbą w liczniku i drugą w mianowniku lub jako wartość oznaczona przez ten ułamek. Stosunki liczebności, podane przez (niezerowe) liczby naturalne , są liczbami wymiernymi , a czasami mogą być liczbami naturalnymi. Kiedy dwie wielkości są mierzone tą samą jednostką, jak to często bywa, ich stosunek jest liczbą bezwymiarową . Iloraz dwóch wielkości mierzonych w różnych jednostkach nazywany jest stawką .

Notacja i terminologia

Stosunek liczb A i B można wyrazić jako:

  • stosunek A do B
  • AB
  • A ma się do B (gdy następuje „tak jak C ma się do D  ”; patrz poniżej)
  • frakcja z A w liczniku B w mianowniku, która stanowi iloraz (tj podzielona przez B, a ). Może to być wyrażone jako ułamek prosty, ułamek dziesiętny, procent itp.

Dwukropek (:) często używane zamiast symbolu wskaźnikowej Unicode U + 2236 (:).

Liczby A i B są czasami nazywane warunki stosunku z będąc poprzednik i B będąc konsekwencji .

Oświadczenie wyrażające równość dwóch wskaźników : B i C : D nazywana jest proporcja , napisany jako A : B = C : D lub A : BC : D . Ta ostatnia forma, gdy mówi się lub pisze w języku angielskim, jest często wyrażana jako

( A ma się do B ) tak jak ( C ma się do D ).

A , B , C i D nazywane są terminami proporcji. A i D nazywane są jego skrajnościami , a B i C jego średnimi . Równość trzech lub więcej stosunków, takich jak AB = CD = EF , nazywana jest proporcją ciągłą .

Stosunki są czasami używane z trzema lub nawet większą liczbą terminów, np. proporcja długości krawędzi „ dwa na cztery ” o długości dziesięciu cali wynosi zatem

(pomiary niestrugane; pierwsze dwie liczby są nieznacznie zmniejszane, gdy drewno jest strugane na gładko)

dobra mieszanka betonowa (w jednostkach objętości) jest czasami podawana jako

W przypadku (dość suchej) mieszanki 4/1 objętości cementu do wody można by powiedzieć, że stosunek cementu do wody wynosi 4∶1, że cementu jest 4 razy więcej niż wody lub że jest ćwierć (1/4) więcej wody niż cementu.

Znaczenie takiej proporcji stosunków z więcej niż dwoma składnikami jest takie, że stosunek dowolnych dwóch składników po lewej stronie jest równy stosunkowi odpowiednich dwóch składników po prawej stronie.

Historia i etymologia

Możliwe jest prześledzenie pochodzenia słowa „ratio” ze starożytnej greki λόγος ( logos ). Wcześni tłumacze przetłumaczyli to na łacinę jako ratio („powód”; jak w słowie „racjonalny”). Bardziej nowoczesna interpretacja znaczenia Euklidesa jest bardziej zbliżona do obliczania lub liczenia. Średniowieczni pisarze używali słowa proportio ( „proporcja”), aby wskazać ratio i proporcjonalność ( „proporcjonalność”) na równość stosunków.

Euclid zebrał wyniki pojawiające się w Elementach z wcześniejszych źródeł. W pitagorejczykami opracowano teorię stosunku i proporcji, jak stosowane do numerów. Pitagorejska koncepcja liczby obejmowała tylko to, co dziś nazwalibyśmy liczbami wymiernymi, poddając w wątpliwość słuszność teorii w geometrii, w której, jak odkryli pitagorejczycy, istnieją stosunki niewspółmierne (odpowiadające liczbom niewymiernym ). Odkrycie teorii stosunków, która nie zakłada współmierności, jest prawdopodobnie spowodowane Eudoksosem z Knidos . Ekspozycja teorii proporcji, która pojawia się w VII księdze Elementów, odzwierciedla wcześniejszą teorię stosunków współmiernych.

Istnienie wielu teorii wydaje się niepotrzebnie skomplikowane, gdyż wskaźniki są w dużej mierze utożsamiane z ilorazami i ich wartościami perspektywicznymi. Jest to jednak stosunkowo niedawny rozwój, o czym świadczy fakt, że współczesne podręczniki do geometrii wciąż używają odrębnej terminologii i notacji dla stosunków i ilorazów. Przyczyny tego są dwojakie: po pierwsze, wspomniana wcześniej niechęć do przyjmowania liczb niewymiernych jako liczb rzeczywistych, po drugie, brak powszechnie stosowanej symboliki zastępującej już ustaloną terminologię stosunków opóźniał pełną akceptację ułamków jako alternatywy do XVI wiek.

Definicje Euklidesa

Księga V Elementów Euklidesa zawiera 18 definicji, z których wszystkie odnoszą się do stosunków. Ponadto Euclid używa pomysłów, które były w tak powszechnym użyciu, że nie zawierał dla nich definicji. Pierwsze dwie definicje mówią, że część ilości jest inną wielkością, która ją „mierzy” i odwrotnie, wielokrotność ilości jest inną wielkością, którą mierzy. We współczesnej terminologii oznacza to, że wielokrotność ilości to ilość pomnożona przez liczbę całkowitą większą niż jeden – a część ilości (czyli część alikwotowa ) to część, która po pomnożeniu przez liczbę całkowitą większą niż jeden daje Ilość.

Euclid nie określa się terminem „środek”, jak tutaj stosowane, jednakże, można wywnioskować, że jeśli ilość jest traktowana jako jednostkę pomiaru, oraz drugą ilość podaje się całkowitej liczbie takich jednostek, pierwsza paczka środków do druga. Definicje te są powtórzone, niemal słowo w słowo, jako definicje 3 i 5 w księdze VII.

Definicja 3 ogólnie opisuje, czym jest stosunek. Nie jest to rygorystyczne w sensie matematycznym i niektórzy przypisują go redaktorom Euklidesa, a nie samemu Euclidowi. Euclid definiuje stosunek jako między dwiema wielkościami tego samego typu , więc zgodnie z tą definicją określone są stosunki dwóch długości lub dwóch obszarów, ale nie stosunek długości i powierzchni. Definicja 4 czyni to bardziej rygorystycznym. Stwierdza, że ​​istnieje stosunek dwóch wielkości, gdy istnieje wielokrotność każdej z nich, która przekracza drugą. We współczesnej notacji istnieje stosunek między wielkościami p i q , jeśli istnieją liczby całkowite m i n takie, że mp > q i nq > p . Ten stan jest znany jako właściwość Archimedesa .

Definicja 5 jest najbardziej złożona i trudna. Określa, co to znaczy, że dwa stosunki są równe. Dzisiaj można to zrobić po prostu stwierdzając, że stosunki są równe, gdy iloraz terminów są równe, ale taka definicja byłaby bez znaczenia dla Euklidesa. We współczesnym zapisie definicja równości Euklidesa jest taka, że ​​dane wielkości p , q , r i s , pqr  ∶ s wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich m i n , np < mq , np = mq lub np > mq zgodnie z odpowiednio nr < ms , nr = ms lub nr > ms . Ta definicja ma powinowactwa z cięciami Dedekinda, ponieważ n i q są dodatnie, np oznacza mq jakoP/Q oznacza liczbę wymierną m/n(dzieląc oba wyrazy przez nq ).

Definicja 6 mówi, że ilości, które mają ten sam stosunek, są proporcjonalne lub proporcjonalne . Euclid używa greckiego ἀναλόγον (analogu), który ma ten sam rdzeń co λόγος i jest spokrewniony z angielskim słowem „analog”.

Definicja 7 definiuje, co to znaczy, że jeden stosunek jest mniejszy lub większy od drugiego i opiera się na ideach zawartych w definicji 5. We współczesnym zapisie mówi się, że dane wielkości p , q , r i s , pq > rs jeśli istnieją liczby całkowite dodatnie m i n tak, że np > mq i nrms .

Podobnie jak w przypadku definicji 3, definicja 8 jest uważana przez niektórych za późniejsze wstawienie przez redaktorów Euklidesa. Definiuje trzy terminy p , q i r jako proporcjonalne, gdy pqqr . Jest to rozszerzone do 4 wyrazów p , q , r oraz s jako pqqrrs , i tak dalej. Ciągi, które mają tę właściwość, że stosunki kolejnych wyrazów są równe, nazywamy postępami geometrycznymi . Definicje 9 i 10 stosuje się, mówiąc, że jeżeli p , q i r są proporcjonalne następnie p : r jest duplikatem stosunek z p : P i jeśli p , q , r i s jest proporcjonalna następnie s : y jest stosunek trzykrotnego z pq .

Liczba terminów i użycie ułamków

Ogólnie rzecz biorąc, porównanie wielkości stosunku dwóch jednostek można wyrazić jako ułamek wyprowadzony ze stosunku. Na przykład, w stosunku 2∶3, ilość, wielkość, objętość lub ilość pierwszej jednostki odpowiada ilości drugiej jednostki.

Jeśli są 2 pomarańcze i 3 jabłka, stosunek pomarańczy do jabłek wynosi 2∶3, a stosunek pomarańczy do całkowitej liczby kawałków owoców wynosi 2∶5. Te proporcje można również wyrazić w postaci ułamkowej: pomarańczy jest o 2/3 więcej niż jabłek, a 2/5 kawałków owoców to pomarańcze. Jeżeli koncentrat soku pomarańczowego ma być rozcieńczony wodą w stosunku 1:4, to jedną część koncentratu miesza się z czterema częściami wody, co daje łącznie pięć części; ilość koncentratu soku pomarańczowego to 1/4 ilości wody, a ilość koncentratu soku pomarańczowego to 1/5 całości płynu. Zarówno w proporcjach, jak i ułamkach ważne jest, aby jasno określić, co jest porównywane, a początkujący często popełniają błędy z tego powodu.

Ułamki można również wywnioskować ze wskaźników zawierających więcej niż dwie jednostki; jednak stosunek z więcej niż dwoma jednostkami nie może być całkowicie przekształcony w pojedynczy ułamek, ponieważ ułamek może porównywać tylko dwie wielkości. Oddzielny ułamek może być użyty do porównania ilości dowolnych dwóch jednostek objętych tym stosunkiem: na przykład ze stosunku 2∶3∶7 możemy wywnioskować, że ilość drugiej jednostki jest wielkością trzeciej jednostki.

Proporcje i wskaźniki procentowe

Jeśli pomnożymy wszystkie wielkości biorące udział w stosunku przez tę samą liczbę, stosunek pozostaje ważny. Na przykład stosunek 3∶2 jest taki sam jak 12∶8. Zwykle albo sprowadza się wyrazy do najmniejszego wspólnego mianownika , albo wyraża je w częściach na sto ( procent ).

Jeżeli mieszanina zawiera substancje A, B, C i D w stosunku 5∶9∶4∶2, to na każde 9 części B przypada 5 części A, 4 części C i 2 części D. Jako 5+9 +4+2=20, całkowita mieszanina zawiera 5/20 z A (5 części z 20), 9/20 z B, 4/20 z C i 2/20 z D. Jeśli podzielimy wszystkie liczby przez razem i pomnożyć przez 100, przeliczyliśmy na wartości procentowe : 25% A, 45% B, 20% C i 10% D (odpowiednik zapisu współczynnika 25∶45∶20∶10).

Jeśli dwie lub więcej proporcji obejmuje wszystkie ilości w konkretnej sytuacji, mówi się, że „całość” zawiera sumę części: na przykład koszyk z owocami zawierający dwa jabłka i trzy pomarańcze i żaden inny owoc nie jest wytwarzany z dwóch części jabłek i trzech części pomarańczy. W tym przypadku , czyli 40% całości to jabłka, a , czyli 60% całości to pomarańcze. To porównanie określonej ilości do „całości” nazywamy proporcją.

Jeśli stosunek składa się tylko z dwóch wartości, może być przedstawiony jako ułamek, w szczególności jako ułamek dziesiętny. Na przykład starsze telewizory mają proporcje 4∶3 , co oznacza, że ​​szerokość wynosi 4/3 wysokości (można to również wyrazić jako 1,33∶1 lub tylko 1,33 zaokrąglone do dwóch miejsc po przecinku). Nowsze telewizory szerokoekranowe mają proporcje 16∶9, czyli 1,78 zaokrąglone do dwóch miejsc po przecinku. Jednym z popularnych formatów filmów szerokoekranowych jest 2,35∶1 lub po prostu 2,35. Reprezentowanie współczynników jako ułamków dziesiętnych upraszcza ich porównanie. Porównując 1,33, 1,78 i 2,35 widać, który format oferuje szerszy obraz. Takie porównanie działa tylko wtedy, gdy porównywane wartości są spójne, na przykład zawsze wyrażanie szerokości w stosunku do wysokości.

Zmniejszenie

Stosunki można zmniejszyć (podobnie jak ułamki), dzieląc każdą wielkość przez wspólne czynniki wszystkich wielkości. Jeśli chodzi o ułamki, za najprostszą uważa się tę, w której liczby w stosunku są najmniejszymi możliwymi liczbami całkowitymi.

Zatem stosunek 40∶60 jest w znaczeniu równoważny stosunkowi 2∶3, przy czym ten drugi otrzymuje się z pierwszego dzieląc obie wielkości przez 20. Matematycznie zapisujemy 40∶60 = 2∶3, czyli równoważnie 40∶60∷ 2∶3. Słowny odpowiednik to „40 do 60, jak 2 do 3.”

Stosunek, który ma liczby całkowite dla obu wielkości i którego nie można już dalej zmniejszać (za pomocą liczb całkowitych), ma najprostszą formę lub najniższe terminy.

Czasami przydatne jest zapisanie stosunku w postaci 1∶ x lub x ∶1, gdzie x niekoniecznie jest liczbą całkowitą, aby umożliwić porównanie różnych stosunków. Na przykład stosunek 4∶5 można zapisać jako 1∶1,25 (dzieląc obie strony przez 4) Alternatywnie można go zapisać jako 0,8∶1 (dzieląc obie strony przez 5).

Tam, gdzie kontekst wyjaśnia znaczenie, stosunek w tej formie jest czasami zapisywany bez 1 i symbolu stosunku (∶), chociaż matematycznie sprawia to, że jest to czynnik lub mnożnik .

Irracjonalne proporcje

Stosunki mogą być również ustalane między wielkościami niewspółmiernymi (ilościami, których stosunek, jako wartość ułamka, jest liczbą niewymierną ). Najwcześniejszym odkryto przykład stwierdzone przez Pitagorejczyków jest stosunek długości przekątnej d długości boku s z kwadratu , który jest pierwiastkiem kwadratowym z 2 formalnie Innym przykładem jest stosunek a koła 'S obwód do jego średnicy, który nazywa się π i jest nie tylko liczbą algebraicznie niewymierną , ale transcendentalną niewymierną .

Dobrze znany jest również złoty stosunek dwóch (przeważnie) długości a i b , który jest określony przez proporcję

lub równoważnie

Przyjmując stosunki jako ułamki i mając wartość x , otrzymujemy równanie

lub

która ma pozytywny, nieracjonalne rozwiązania , co najmniej jedną z i b muszą być irracjonalna, aby były w złotego. Przykładem wystąpienia złotego podziału w matematyce jest graniczna wartość stosunku dwóch kolejnych liczb Fibonacciego : chociaż wszystkie te stosunki są stosunkami dwóch liczb całkowitych, a więc są wymierne, granica ciągu tych stosunków wymiernych wynosi irracjonalny złoty podział.

Podobnie stosunek srebra do a i b jest określony przez proporcję

odpowiadającej

Równanie ma pozytywny, nieracjonalne rozwiązanie to ponownie co najmniej jedną z dwóch wielkości i b w stosunku srebra musi być nieracjonalne.

Szanse

Szanse (jak w hazardzie) są wyrażone jako iloraz. Na przykład, kurs „7 do 3 przeciwko” (7∶3) oznacza, że ​​istnieje siedem szans na to, że zdarzenie nie wydarzy się na każde trzy szanse, że się wydarzy. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 30%. Oczekuje się, że w każdych dziesięciu próbach będą trzy zwycięstwa i siedem przegranych.

Jednostki

Wskaźniki mogą być niemianowana , jak w przypadku dotyczą one ilości w jednostkach tego samego wymiaru , nawet jeśli ich jednostki miary są początkowo różne. Na przykład stosunek 1 minuta 40 sekund może zostać zmniejszony poprzez zmianę pierwszej wartości na 60 sekund, tak aby stosunek wynosił 60 sekund 40 sekund . Gdy jednostki są takie same, można je pominąć, a stosunek można zmniejszyć do 3∶2.

Z drugiej strony istnieją wskaźniki bezwymiarowe, zwane również stawkami . W chemii stosunki stężeń masowych są zwykle wyrażane jako ułamki wagowe/objętościowe. Na przykład stężenie 3% wag./obj. zwykle oznacza 3 g substancji na każde 100 ml roztworu. Nie można tego przeliczyć na stosunek bezwymiarowy, jak we frakcjach masa/masa lub objętość/objętość.

Współrzędne trójkątne

Lokalizacje punktów względem trójkąta o wierzchołkach A , B i C oraz bokach AB , BC i CA są często wyrażane w postaci współczynnika rozszerzonego jako współrzędne trójkątne .

We współrzędnych barycentrycznych punkt o współrzędnych α, β, γ jest punktem, w którym nieważka blacha w kształcie i rozmiarze trójkąta dokładnie zrównoważyłaby się, gdyby na wierzchołkach zostały umieszczone ciężarki, ze stosunkiem ciężarków w A a B to αβ , stosunek wag w B i C wynosi βγ , a zatem stosunek wag w A i C wynosi αγ .

We współrzędnych trójliniowych punkt o współrzędnych x  : y  : z ma prostopadłe odległości do boku BC (w poprzek z wierzchołkiem A ) i do boku CA (w poprzek z wierzchołkiem B ) w stosunku x  ∶ y , odległości do boku CA i boku AB (w poprzek z C ) w stosunku y  ∶ z , a zatem odległości do boków BC i AB w stosunku x  ∶ z .

Ponieważ wszystkie informacje są wyrażone w postaci stosunków (poszczególne liczby oznaczone jako α, β, γ, x, y i z same w sobie nie mają znaczenia), analiza trójkąta przy użyciu współrzędnych barycentrycznych lub trójliniowych ma zastosowanie niezależnie od wielkości trójkąta .

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki