Rektyfikacja (geometria) - Rectification (geometry)

Wyprostowanego kostka jest sześcio-ośmiościan - krawędzie zredukowane do wierzchołków, a wierzchołki rozszerzony na nowe twarze
Birectified kostka jest ośmiościan - twarze są zredukowane do punktów i nowe twarze są skoncentrowane na orginału.
Usunięte sześcienny plastra miodu - krawędzie zmniejszona do wierzchołków, a wierzchołki rozszerzył się nowych komórek.

W geometrii euklidesowej , rektyfikacja , znany również jako krytyczną obcięcia lub kompletnych obcinania jest proces obcinania Polytope zaznaczając punkty przecięcia wszystkich swoich krawędziach i odcinał wierzchołków w tych punktach. Powstały polytope będzie ograniczony przez fasetki figury wierzchołkowej i wyprostowane fasetki oryginalnego polytope.

Operator sprostowania jest czasami oznaczany literą r z symbolem Schläfli . Na przykład, R {4,3} jest rektyfikowane modułu , zwanego również sześcio-ośmiościan , jak również reprezentowane . A rektyfikowany prostopadłościan rr{4,3} jest rombowobotaścianem , a także reprezentowany jako .

Notacja wielościanu Conwaya używa jako tego operatora a for ambo . W teorii grafów operacja ta tworzy graf przyśrodkowy .

Rektyfikacja dowolnego regularnego samodwustronnego wielościanu lub kafelkowania spowoduje powstanie innego regularnego wielościanu lub kafelkowania w kolejności kafelkowania 4, na przykład czworościan {3,3} staje się ośmiościanem {3,4}. W szczególnym przypadku kwadratowe kafelkowanie {4,4} zamieni się w inne kwadratowe kafelkowanie {4,4} w ramach operacji prostowania.

Przykład rektyfikacji jako ostateczne skrócenie do krawędzi

Sprostowanie jest ostatnim punktem procesu obcinania. Na przykład na sześcianie ta sekwencja pokazuje cztery kroki kontinuum skrócenia między formą regularną a wyprostowaną:

Sekwencja obcinania kostki.svg

Rektyfikacje wyższego stopnia

Rektyfikacja wyższego stopnia może być wykonana na wielowymiarowych regularnych polytopach. Najwyższy stopień prostowania tworzy podwójny polytop . Rektyfikacja obcina krawędzie do punktów. Birektyfikacja przycina twarze do punktów. Trirektyfikacja obcina komórki do punktów i tak dalej.

Przykład birektyfikacji jako ostatecznego obcięcia twarzy

Ta sekwencja pokazuje birektyfikowany sześcian jako ostatnią sekwencję od sześcianu do podwójnego, w którym oryginalne ściany są obcięte do jednego punktu:

Birektyfikowana sekwencja kostki.png

W wielokątach

Dual wielokąta jest taki sam, jak jego wyprostowana forma. Nowe wierzchołki są umieszczane w środku krawędzi oryginalnego wielokąta.

W wielościanach i kafelkach płaskich

Każda bryła platoniczna i jej podwójna mają ten sam wielościan rektyfikowany. (Nie dotyczy to politopów w wyższych wymiarach).

Okazuje się, że rektyfikowany wielościan daje się wyrazić jako przecięcie oryginalnej platońskiej bryły z odpowiednio przeskalowaną koncentryczną wersją jej dwoistości. Z tego powodu jego nazwa jest kombinacją nazw oryginału i dwójki:

  1. Rektyfikowanego czworościanu , którego podwójny jest czworościan, jest tetratetrahedron , lepiej znany jako ośmiokąta .
  2. Rektyfikowanego ośmiościan , którego podwójny jest kostka , jest sześcio-ośmiościan .
  3. Rektyfikowanego dwudziestościan , którego podwójny jest dwunastościan , jest icosidodecahedron .
  4. Rektyfikowane płytki kwadratowe to płytki kwadratowe .
  5. Rektyfikowana dachówka trójkątna lub sześciokątna to dachówka trójheksagonalna .

Przykłady

Rodzina Rodzic Sprostowanie Podwójny
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
[p,q]
Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png
[3,3] Jednolite wielościan-33-t0.png
Czworościan
Jednolity wielościan-33-t1.png
Oktaedr
Jednolite wielościan-33-t2.png
Czworościan
[4,3] Jednolite wielościan-43-t0.svg
Sześcian
Jednolite wielościan-43-t1.svg
sześcian sześcienny
Jednolite wielościan-43-t2.svg
Oktaedr
[5,3] Jednolite wielościan-53-t0.svg
Dwunastościan
Jednolite wielościan-53-t1.svg
Ikozyd-dwunastościan
Jednolite wielościan-53-t2.svg
dwudziestościan
[6,3] Jednolite kafelki 63-t0.svg
Płytki sześciokątne
Jednolite płytki 63-t1.svg
Płytki triheksagonalne
Jednolite płytki 63-t2.svg
Trójkątne płytki
[7,3] Siedmioboczna kafelki.svg
Zamówienie-3 heptagonalne kafelki
Triheptagonal tileing.svg
Dachówka trójheptagonalna
Zamówienie-7 trójkątne kafelki.svg
Zamówienie-7 trójkątne płytki
[4,4] Jednolite kafelki 44-t0.svg
Kwadratowe kafelki
Jednolite kafelki 44-t1.svg
Kwadratowe kafelki
Jednolite płytki 44-t2.svg
Kwadratowe kafelki
[5,4] H2-5-4-podwójny.svg
Zamówienie-4 pięciokątne kafelki
H2-5-4-rektyfikowany.svg
Płytki tetrapentagonalne
H2-5-4-primal.svg
Zamówienie-5 kwadratowych płytek

W nieregularnych wielościanach

Jeśli wielościan nie jest regularny, punkty środkowe krawędzi otaczające wierzchołek mogą nie być współpłaszczyznowe. Jednak forma rektyfikacji jest nadal możliwa w tym przypadku: każdy wielościan ma graf wielościanowy jako swój 1-szkielet , a z tego grafu można utworzyć graf środkowy , umieszczając wierzchołek na każdym punkcie środkowym krawędzi oryginalnego grafu i łącząc dwa z tych nowych wierzchołków przez krawędź, gdy należą do kolejnych krawędzi wzdłuż wspólnej ściany. Powstały graf przyśrodkowy pozostaje wielościenny, więc według twierdzenia Steinitza można go przedstawić jako wielościan.

Conway oznaczenie wielościan równoważne naprawy jest ambo reprezentowana przez . Zastosowanie dwukrotnego aa , (prostowanie rektyfikacji) jest operacją rozwinięcia Conwaya , e , która jest taka sama jak operacja kantelacji Johnsona , t 0,2 wygenerowana z regularnych wielościennych i kafelków.

W 4-politopach i teselacjach plastra miodu 3D

Każdy regularny 4-politop wypukły ma formę rektyfikowaną jako jednolity 4-politop .

Zwykły 4-politop {p,q,r} ma komórki {p,q}. Jego prostowanie będzie miało dwa typy komórek, wyprostowany wielościan {p,q} pozostały z pierwotnych komórek i wielościan {q,r} jako nowe komórki utworzone przez każdy ze ściętych wierzchołków.

Jednak wyprostowane {p,q,r} nie jest tym samym, co wyprostowane {r,q,p}. Kolejne obcięcie, zwane bitruncation , jest symetryczne między 4-politopem a jego dualem. Zobacz temat Uniform 4-polytope#Geometric derivations .

Przykłady

Rodzina Rodzic Sprostowanie Birektyfikacja
(podwójna rektyfikacja)
Trirektyfikacja
(podwójna)
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
[ p , q , r ]
Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
{ p , q , r }
CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
r{ p , q , r }
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel r.pngCDel node.png
2r{ p , q , r }
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.png
3r{ p , q , r }
[3,3,3] Schlegel model szkieletowy 5-cell.png
5-ogniwowy
Schlegel półstały rektyfikowany 5-cell.png
rektyfikowany 5-ogniwowy
Schlegel półstały rektyfikowany 5-cell.png
rektyfikowany 5-ogniwowy
Schlegel model szkieletowy 5-cell.png
5-ogniwowy
[4,3,3] Schlegel model szkieletowy 8-cell.png
teserakt
Schlegel półstały rektyfikowany 8-cell.png
rektyfikowany tesseract
Schlegel półstały rektyfikowany 16-cell.png
Rektyfikacja 16-ogniwowa
( 24-ogniwowa )
Schlegel model szkieletowy 16-cell.png
16-ogniwowy
[3,4,3] Schlegel model szkieletowy 24-komorowy.png
24-komorowy
Schlegel półstały kantelowany 16-cell.png
rektyfikowane 24-ogniwowe
Schlegel półstały kantelowany 16-cell.png
rektyfikowane 24-ogniwowe
Schlegel model szkieletowy 24-komorowy.png
24-komorowy
[5,3,3] Szkielet Schlegla 120-cell.png
120-ogniwowy
Rektyfikacja 120-ogniwowego schlegel halfsolid.png
rektyfikowane 120-ogniwowe
Rektyfikacja 600-ogniwowego schlegel halfsolid.png
rektyfikowane 600-ogniwowe
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
600-ogniwowy
[4,3,4] Częściowy sześcienny plaster miodu.png
Sześcienny plaster miodu
rektyfikowany sześcienny plaster miodu.jpg
Rektyfikowany sześcienny plaster miodu
rektyfikowany sześcienny plaster miodu.jpg
Rektyfikowany sześcienny plaster miodu
Częściowy sześcienny plaster miodu.png
Sześcienny plaster miodu
[5,3,4] Hiperboliczny ortogonalny dwunastościenny plaster miodu.png
Zamówienie-4 dwunastościenne
Zamówienie sprostowane 4 dodecahedral honeycomb.png
Porządek rektyfikowany-4 dwunastościan
H3 435 Centrum CC 0100.png
Zamówienie rektyfikowane-5 sześciennych
Hyperb gcubic hc.png
Zamówienie-5 sześciennych

Stopnie rektyfikacji

Pierwsza korekta obcina krawędzie do punktów. Jeśli wielotop jest regularny , forma ta jest reprezentowana przez rozszerzoną notację symbolu Schläfliego t 1 {p,q,...} lub r {p,q,...}.

Druga rektyfikacja, czyli birektyfikacja , obcina twarze w dół do punktów. Jeśli jest regularny, ma notację t 2 {p,q,...} lub 2 r {p,q,...}. W przypadku wielościanów birektyfikacja tworzy podwójny wielościan .

Rektyfikacje wyższego stopnia mogą być konstruowane dla wielowymiarowych politopów. Ogólnie rzecz biorąc, n-rektyfikacja obcina n ścian do punktów.

Jeśli n-politop jest (n-1)-rektyfikowany, jego fasetki są redukowane do punktów, a politop staje się jego dualem .

Notacje i fasety

Dla każdego stopnia sprostowania istnieją różne równoważne notacje. Te tabele zawierają nazwy według wymiaru i dwa typy faset dla każdej z nich.

Wielokąty regularne

Fasety to krawędzie, reprezentowane jako {2}.

Nazwa
{s}
Schemat Coxetera t-notacja
Schläfli symbol
Pionowy symbol Schläfli
Nazwa Aspekt-1 Aspekt-2
Rodzic Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.png t 0 {p.} {P} {2}
Sprostowane CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.png t 1 {s} {P} {2}

Wielościany regularne i kafelki

Fasety to regularne wielokąty.

nazwa
{p,q}
Schemat Coxetera t-notacja
Schläfli symbol
Pionowy symbol Schläfli
Nazwa Aspekt-1 Aspekt-2
Rodzic Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1-pq.pngWęzły CDel 10lu.png t 0 {p,q} {p, q} {P}
Sprostowane CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png = Węzeł CDel 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png t 1 {P, Q} r{p,q} = {P} {Q}
Birektyfikowane CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png = CDel node.pngCDel split1-pq.pngWęzły CDel 01ld.png T 2 {P, Q} {q,p} {Q}

Regular Uniform 4-politopy i plastry miodu

Fasety są wielościanami regularnymi lub rektyfikowanymi.

nazwa
{p,q,r}
Schemat Coxetera t-notacja
Schläfli symbol
Rozszerzony symbol Schläfli
Nazwa Aspekt-1 Aspekt-2
Rodzic Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png t 0 {p,q,r} {p,q,r} {p, q}
Sprostowane CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png t 1 {p,q,r} = r{p,q,r} = r{p,q} {q,r}
Birektyfikowane
( podwójnie rektyfikowane)
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel r.pngCDel node.png t 2 {p,q,r} = r{r,q,p} {q,r} = r{q,r}
Trirektyfikowany
(podwójny)
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.png t 3 {p,q,r} {r,q,p} {r,q}

Regularne 5-politopy i 4-miejscowe plastry miodu

Fasety to regularne lub rektyfikowane 4-politopy.

nazwa
{p,q,r,s}
Schemat Coxetera t-notacja
Schläfli symbol
Rozszerzony symbol Schläfli
Nazwa Aspekt-1 Aspekt-2
Rodzic Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngCDel node.png t 0 {p,q,r,s} {p,q,r,s} {p,q,r}
Sprostowane CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngCDel node.png t 1 {p,q,r,s} = r{p,q,r,s} = r{p,q,r} {q, r, s}
Birektyfikowany
(Birektyfikowany podwójny)
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngCDel node.png t 2 {p,q,r,s} = 2r{p,q,r,s} = r{r,q,p} = r{q,r,s}
Trirektyfikowany
(rektyfikowany podwójny)
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.pngCDel s.pngCDel node.png t 3 {p,q,r,s} = r{s,r,q,p} {r,q,p} = r{s,r,q}
Czterorektyfikowane
(podwójne)
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngWęzeł CDel 1.png t 4 {p,q,r,s} {s,r,q,p} {s, p, q}

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

Operatory wielościanów
Nasionko Obcięcie Sprostowanie Bitrunkacja Podwójny Ekspansja Omniskrócenie Alternatywy
Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.pngCDel q.pngWęzeł CDel n2.png Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel h.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel q.pngWęzeł CDel h.png Węzeł CDel h.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel q.pngWęzeł CDel h.png
Jednolite wielościan-43-t0.svg Jednolite wielościan-43-t01.svg Jednolite wielościan-43-t1.svg Jednolite wielościan-43-t12.svg Jednolite wielościan-43-t2.svg Jednolite wielościan-43-t02.png Jednolite wielościan-43-t012.png Jednolite wielościan-33-t0.png Jednolite wielościan-43-h01.svg Jednolite wielościan-43-s012.png
t 0 {p,q}
{p,q}
t 01 {p,q}
t{p,q}
t 1 {p,q}
r{p,q}
t 12 {p,q}
2t{p,q}
t 2 {p,q}
2r{p,q}
t 02 {p,q}
rr{p,q}
t 012 {p,q}
tr{p,q}
ht 0 {p,q}
h{q,p}
ht 12 {p,q}
s{q,p}
ht 012 {p,q}
sr{p,q}