Rektyfikacja (geometria) - Rectification (geometry)
W geometrii euklidesowej , rektyfikacja , znany również jako krytyczną obcięcia lub kompletnych obcinania jest proces obcinania Polytope zaznaczając punkty przecięcia wszystkich swoich krawędziach i odcinał wierzchołków w tych punktach. Powstały polytope będzie ograniczony przez fasetki figury wierzchołkowej i wyprostowane fasetki oryginalnego polytope.
Operator sprostowania jest czasami oznaczany literą r z symbolem Schläfli . Na przykład, R {4,3} jest rektyfikowane modułu , zwanego również sześcio-ośmiościan , jak również reprezentowane . A rektyfikowany prostopadłościan rr{4,3} jest rombowobotaścianem , a także reprezentowany jako .
Notacja wielościanu Conwaya używa jako tego operatora a for ambo . W teorii grafów operacja ta tworzy graf przyśrodkowy .
Rektyfikacja dowolnego regularnego samodwustronnego wielościanu lub kafelkowania spowoduje powstanie innego regularnego wielościanu lub kafelkowania w kolejności kafelkowania 4, na przykład czworościan {3,3} staje się ośmiościanem {3,4}. W szczególnym przypadku kwadratowe kafelkowanie {4,4} zamieni się w inne kwadratowe kafelkowanie {4,4} w ramach operacji prostowania.
Przykład rektyfikacji jako ostateczne skrócenie do krawędzi
Sprostowanie jest ostatnim punktem procesu obcinania. Na przykład na sześcianie ta sekwencja pokazuje cztery kroki kontinuum skrócenia między formą regularną a wyprostowaną:
Rektyfikacje wyższego stopnia
Rektyfikacja wyższego stopnia może być wykonana na wielowymiarowych regularnych polytopach. Najwyższy stopień prostowania tworzy podwójny polytop . Rektyfikacja obcina krawędzie do punktów. Birektyfikacja przycina twarze do punktów. Trirektyfikacja obcina komórki do punktów i tak dalej.
Przykład birektyfikacji jako ostatecznego obcięcia twarzy
Ta sekwencja pokazuje birektyfikowany sześcian jako ostatnią sekwencję od sześcianu do podwójnego, w którym oryginalne ściany są obcięte do jednego punktu:
W wielokątach
Dual wielokąta jest taki sam, jak jego wyprostowana forma. Nowe wierzchołki są umieszczane w środku krawędzi oryginalnego wielokąta.
W wielościanach i kafelkach płaskich
Każda bryła platoniczna i jej podwójna mają ten sam wielościan rektyfikowany. (Nie dotyczy to politopów w wyższych wymiarach).
Okazuje się, że rektyfikowany wielościan daje się wyrazić jako przecięcie oryginalnej platońskiej bryły z odpowiednio przeskalowaną koncentryczną wersją jej dwoistości. Z tego powodu jego nazwa jest kombinacją nazw oryginału i dwójki:
- Rektyfikowanego czworościanu , którego podwójny jest czworościan, jest tetratetrahedron , lepiej znany jako ośmiokąta .
- Rektyfikowanego ośmiościan , którego podwójny jest kostka , jest sześcio-ośmiościan .
- Rektyfikowanego dwudziestościan , którego podwójny jest dwunastościan , jest icosidodecahedron .
- Rektyfikowane płytki kwadratowe to płytki kwadratowe .
- Rektyfikowana dachówka trójkątna lub sześciokątna to dachówka trójheksagonalna .
Przykłady
Rodzina | Rodzic | Sprostowanie | Podwójny |
---|---|---|---|
[p,q] |
|||
[3,3] |
Czworościan |
Oktaedr |
Czworościan |
[4,3] |
Sześcian |
sześcian sześcienny |
Oktaedr |
[5,3] |
Dwunastościan |
Ikozyd-dwunastościan |
dwudziestościan |
[6,3] |
Płytki sześciokątne |
Płytki triheksagonalne |
Trójkątne płytki |
[7,3] |
Zamówienie-3 heptagonalne kafelki |
Dachówka trójheptagonalna |
Zamówienie-7 trójkątne płytki |
[4,4] |
Kwadratowe kafelki |
Kwadratowe kafelki |
Kwadratowe kafelki |
[5,4] |
Zamówienie-4 pięciokątne kafelki |
Płytki tetrapentagonalne |
Zamówienie-5 kwadratowych płytek |
W nieregularnych wielościanach
Jeśli wielościan nie jest regularny, punkty środkowe krawędzi otaczające wierzchołek mogą nie być współpłaszczyznowe. Jednak forma rektyfikacji jest nadal możliwa w tym przypadku: każdy wielościan ma graf wielościanowy jako swój 1-szkielet , a z tego grafu można utworzyć graf środkowy , umieszczając wierzchołek na każdym punkcie środkowym krawędzi oryginalnego grafu i łącząc dwa z tych nowych wierzchołków przez krawędź, gdy należą do kolejnych krawędzi wzdłuż wspólnej ściany. Powstały graf przyśrodkowy pozostaje wielościenny, więc według twierdzenia Steinitza można go przedstawić jako wielościan.
Conway oznaczenie wielościan równoważne naprawy jest ambo reprezentowana przez . Zastosowanie dwukrotnego aa , (prostowanie rektyfikacji) jest operacją rozwinięcia Conwaya , e , która jest taka sama jak operacja kantelacji Johnsona , t 0,2 wygenerowana z regularnych wielościennych i kafelków.
W 4-politopach i teselacjach plastra miodu 3D
Każdy regularny 4-politop wypukły ma formę rektyfikowaną jako jednolity 4-politop .
Zwykły 4-politop {p,q,r} ma komórki {p,q}. Jego prostowanie będzie miało dwa typy komórek, wyprostowany wielościan {p,q} pozostały z pierwotnych komórek i wielościan {q,r} jako nowe komórki utworzone przez każdy ze ściętych wierzchołków.
Jednak wyprostowane {p,q,r} nie jest tym samym, co wyprostowane {r,q,p}. Kolejne obcięcie, zwane bitruncation , jest symetryczne między 4-politopem a jego dualem. Zobacz temat Uniform 4-polytope#Geometric derivations .
Przykłady
Rodzina | Rodzic | Sprostowanie | Birektyfikacja (podwójna rektyfikacja) |
Trirektyfikacja (podwójna) |
---|---|---|---|---|
[ p , q , r ] |
{ p , q , r } |
r{ p , q , r } |
2r{ p , q , r } |
3r{ p , q , r } |
[3,3,3] |
5-ogniwowy |
rektyfikowany 5-ogniwowy |
rektyfikowany 5-ogniwowy |
5-ogniwowy |
[4,3,3] |
teserakt |
rektyfikowany tesseract |
Rektyfikacja 16-ogniwowa ( 24-ogniwowa ) |
16-ogniwowy |
[3,4,3] |
24-komorowy |
rektyfikowane 24-ogniwowe |
rektyfikowane 24-ogniwowe |
24-komorowy |
[5,3,3] |
120-ogniwowy |
rektyfikowane 120-ogniwowe |
rektyfikowane 600-ogniwowe |
600-ogniwowy |
[4,3,4] |
Sześcienny plaster miodu |
Rektyfikowany sześcienny plaster miodu |
Rektyfikowany sześcienny plaster miodu |
Sześcienny plaster miodu |
[5,3,4] |
Zamówienie-4 dwunastościenne |
Porządek rektyfikowany-4 dwunastościan |
Zamówienie rektyfikowane-5 sześciennych |
Zamówienie-5 sześciennych |
Stopnie rektyfikacji
Pierwsza korekta obcina krawędzie do punktów. Jeśli wielotop jest regularny , forma ta jest reprezentowana przez rozszerzoną notację symbolu Schläfliego t 1 {p,q,...} lub r {p,q,...}.
Druga rektyfikacja, czyli birektyfikacja , obcina twarze w dół do punktów. Jeśli jest regularny, ma notację t 2 {p,q,...} lub 2 r {p,q,...}. W przypadku wielościanów birektyfikacja tworzy podwójny wielościan .
Rektyfikacje wyższego stopnia mogą być konstruowane dla wielowymiarowych politopów. Ogólnie rzecz biorąc, n-rektyfikacja obcina n ścian do punktów.
Jeśli n-politop jest (n-1)-rektyfikowany, jego fasetki są redukowane do punktów, a politop staje się jego dualem .
Notacje i fasety
Dla każdego stopnia sprostowania istnieją różne równoważne notacje. Te tabele zawierają nazwy według wymiaru i dwa typy faset dla każdej z nich.
Wielokąty regularne
Fasety to krawędzie, reprezentowane jako {2}.
Nazwa {s} |
Schemat Coxetera | t-notacja Schläfli symbol |
Pionowy symbol Schläfli | ||
---|---|---|---|---|---|
Nazwa | Aspekt-1 | Aspekt-2 | |||
Rodzic | t 0 {p.} | {P} | {2} | ||
Sprostowane | t 1 {s} | {P} | {2} |
Wielościany regularne i kafelki
Fasety to regularne wielokąty.
nazwa {p,q} |
Schemat Coxetera | t-notacja Schläfli symbol |
Pionowy symbol Schläfli | ||
---|---|---|---|---|---|
Nazwa | Aspekt-1 | Aspekt-2 | |||
Rodzic | = | t 0 {p,q} | {p, q} | {P} | |
Sprostowane | = | t 1 {P, Q} | r{p,q} = | {P} | {Q} |
Birektyfikowane | = | T 2 {P, Q} | {q,p} | {Q} |
Regular Uniform 4-politopy i plastry miodu
Fasety są wielościanami regularnymi lub rektyfikowanymi.
nazwa {p,q,r} |
Schemat Coxetera | t-notacja Schläfli symbol |
Rozszerzony symbol Schläfli | ||
---|---|---|---|---|---|
Nazwa | Aspekt-1 | Aspekt-2 | |||
Rodzic | t 0 {p,q,r} | {p,q,r} | {p, q} | ||
Sprostowane | t 1 {p,q,r} | = r{p,q,r} | = r{p,q} | {q,r} | |
Birektyfikowane ( podwójnie rektyfikowane) |
t 2 {p,q,r} | = r{r,q,p} | {q,r} | = r{q,r} | |
Trirektyfikowany (podwójny) |
t 3 {p,q,r} | {r,q,p} | {r,q} |
Regularne 5-politopy i 4-miejscowe plastry miodu
Fasety to regularne lub rektyfikowane 4-politopy.
nazwa {p,q,r,s} |
Schemat Coxetera | t-notacja Schläfli symbol |
Rozszerzony symbol Schläfli | ||
---|---|---|---|---|---|
Nazwa | Aspekt-1 | Aspekt-2 | |||
Rodzic | t 0 {p,q,r,s} | {p,q,r,s} | {p,q,r} | ||
Sprostowane | t 1 {p,q,r,s} | = r{p,q,r,s} | = r{p,q,r} | {q, r, s} | |
Birektyfikowany (Birektyfikowany podwójny) |
t 2 {p,q,r,s} | = 2r{p,q,r,s} | = r{r,q,p} | = r{q,r,s} | |
Trirektyfikowany (rektyfikowany podwójny) |
t 3 {p,q,r,s} | = r{s,r,q,p} | {r,q,p} | = r{s,r,q} | |
Czterorektyfikowane (podwójne) |
t 4 {p,q,r,s} | {s,r,q,p} | {s, p, q} |
Zobacz też
- Podwójny politop
- Wielościan kwaziregularny
- Lista regularnych polytopów
- Obcięcie (geometria)
- Notacja wielościanu Conwaya
Bibliografia
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3 wydanie, 1973), wydanie Dover, ISBN 0-486-61480-8 (str. 145-154 Rozdział 8: Obcięcie)
-
Norman Johnson Uniform Polytopes , Rękopis (1991)
- NW Johnson : Teoria jednolitych politopów i plastrów miodu , Ph.D. Rozprawa, Uniwersytet w Toronto, 1966
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Symetrie rzeczy 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (rozdział 26)
Zewnętrzne linki
- Olszewski, Jerzy. „Rektyfikacja” . Słowniczek dotyczący nadprzestrzeni . Zarchiwizowane z oryginału w dniu 4 lutego 2007 r.
Nasionko | Obcięcie | Sprostowanie | Bitrunkacja | Podwójny | Ekspansja | Omniskrócenie | Alternatywy | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
t 0 {p,q} {p,q} |
t 01 {p,q} t{p,q} |
t 1 {p,q} r{p,q} |
t 12 {p,q} 2t{p,q} |
t 2 {p,q} 2r{p,q} |
t 02 {p,q} rr{p,q} |
t 012 {p,q} tr{p,q} |
ht 0 {p,q} h{q,p} |
ht 12 {p,q} s{q,p} |
ht 012 {p,q} sr{p,q} |