Zwykły polytope - Regular polytope

Przykłady regularnych polytopów
Zwykły pięciokąt.svg
Regularne pięciokąta jest wielokątem , dwuwymiarowy Polytope z 5 krawędzi , reprezentowanej przez symbol schläfliego {5}.
POV-Ray-Dodecahedron.svg
Regularne dwunastościan jest wielościanem , trójwymiarowy Polytope, 12 pięciokątnych powierzchni , reprezentowanej przez symbol schläfliego {5,3}.
Szkielet Schlegla 120-cell.png
Regularne 120 komórek jest polychoron , czterowymiarowego Polytope, 120 dodecahedral komórek , reprezentowanej przez symbol schläfliego {5,3,3}. (pokazany tutaj jako diagram Schlegla )
Sześcienny plaster miodu.png
Regularny sześcienny plaster miodu to teselacja , nieskończony trójwymiarowy politop, reprezentowany przez symbol Schläfliego {4,3,4}.
Octeract Petrie polygon.svg
W tym rzucie ortogonalnym ( wielokąt Petriego ) można pokazać 256 wierzchołków i 1024 krawędzi sześcianu 8

W matematyce , o regularnym Polytope jest Polytope którego symetria grupa działa przechodni na jego flagi , co daje mu najwyższy stopień symetrii. Wszystkie jego elementy lub j- ściany (dla wszystkich 0 ≤  j  ≤  n , gdzie n jest wymiarem wielościanu) — komórki, ściany itd. — są również przechodnie na symetriach wielokąta i są regularnymi wielokątami o wymiarze ≤  n .

Wielokąty foremne to uogólnione analogi wielokątów foremnych (np. kwadrat lub pięciokąt foremny) i wielościany foremne (np. sześcian ) w dowolnej liczbie wymiarów . Silna symetria regularnych politopów nadaje im walor estetyczny, który interesuje zarówno niematematyków, jak i matematyków.

Klasycznie, regularny polytope w n wymiarach może być zdefiniowany jako posiadający regularne fasetki [( n  − 1)-ściany] i regularne figury wierzchołków . Te dwa warunki są wystarczające, aby zapewnić, że wszystkie ściany są podobne i wszystkie wierzchołki są takie same. Zauważ jednak, że ta definicja nie działa dla abstrakcyjnych polytopes .

Regularny polytope może być reprezentowany przez symbol Schläfliego w postaci {a, b, c, ...., y, z}, z regularnymi fasetami jak {a, b, c, ..., y} i regularnymi figury wierzchołkowe jako {b, c, ..., y, z}.

Klasyfikacja i opis

Regularne politopy są klasyfikowane przede wszystkim według ich wymiarowości.

Można je dalej klasyfikować według symetrii . Na przykład sześcian i ośmiościan foremny mają tę samą symetrię, co dwunastościan foremny i dwudziestościan foremny . Rzeczywiście, grupy symetrii są czasami nazywane po regularnych politopach, na przykład symetrie czworościenne i dwudziestościenne.

W każdym wymiarze istnieją trzy specjalne klasy regularnych polytope:

W dwóch wymiarach istnieje nieskończenie wiele wielokątów foremnych . W trzech i czterech wymiarach oprócz tych trzech jest jeszcze kilka regularnych wielościanów i 4-politopów . W pięciu i wyższych wymiarach są to jedyne. Zobacz także listę zwykłych polytopów .

Idea politopu jest czasami uogólniana, obejmując pokrewne rodzaje obiektów geometrycznych. Niektóre z nich mają regularne przykłady, co omówiono poniżej w części poświęconej odkryciom historycznym.

Symbole Schläfli

Zwięzłe, symboliczne przedstawienie regularnych polytopes zostało opracowane przez Ludwiga Schläfli w XIX wieku, a nieco zmodyfikowana forma stała się standardem. Notację najlepiej wyjaśnić, dodając jeden wymiar na raz.

  • Wypukły regularnego wieloboku o n bokach jest oznaczana jako { n }. Tak więc trójkąt równoboczny to {3}, kwadrat {4} i tak dalej w nieskończoność. Regularne wielokąta gwiazda który nakręca m razy w środku jest oznaczona przez wartość ułamkową { n / m }, gdzie n i mwspólnie pierwsza tak regularny pentagram o {5/2}.
  • A regularne wielościan posiadający powierzchnie { n } i p twarze łączenia wokół Wierzchołek oznaczony jest jako { n , p }. Dziewięć wielościanów regularnych to {3, 3} {3, 4} {4, 3} {3, 5} {5, 3} {3, 5/2} {5/2, 3} {5, 5/2 } i {5/2, 5}. { p } jest figurą wierzchołkową wielościanu.
  • Regularny 4-politop mający komórki { n , p } z q komórkami łączącymi się wokół krawędzi jest oznaczony przez { n , p , q }. Figura wierzchołkowa 4-politopu to a { p , q }.
  • Regularny 5-politop to { n , p , q , r }. I tak dalej.

Dualizm regularnych polytopes

Podwójny regularnego Polytope jest również regularne Polytope. Symbol Schläfliego dla podwójnego wielotopu jest po prostu oryginalnym symbolem zapisanym wstecz: {3, 3} jest samo-dual, {3, 4} jest dualny do {4, 3}, {4, 3, 3} do {3, 3, 4} i tak dalej.

Figura wierzchołek regularnego Polytope jest podwójny aspekt z dualnym Polytope użytkownika. Na przykład figura wierzchołkowa {3, 3, 4} to {3, 4}, której liczba podwójna to {4, 3} — komórka {4, 3, 3}.

Te miary i poprzeczne polytopes w każdym wymiarze jest podwójny do siebie.

Jeśli symbol Schläfli jest palindromiczny , tzn. czyta to samo w przód iw tył, to wielościan jest samo-dual. Samopodwójne regularne politopy to:

Regularne prostoty

Wykresy 1-simplex do 4-simplex.
1-simplex t0.svg 2-simplex t0.svg 3-simplex t0.svg 4-simplex t0.svg
Odcinek Trójkąt Czworościan Pentachoron
  Zwykły trójkąt.svg Czworościan.svg Schlegel model szkieletowy 5-cell.png

Zacznij od punktu A . Zaznacz punkt B w odległości r od niego i połącz, aby utworzyć odcinek linii . Zaznacz punkt C w drugim, ortogonalnym wymiarze w odległości r od obu i połącz z A i B, tworząc trójkąt równoboczny . Zaznacz punkt D w trzecim, prostopadłym wymiarze w odległości r od wszystkich trzech i połącz, aby utworzyć czworościan foremny . I tak dalej dla wyższych wymiarów.

Są to regularne simplices lub sympleksów . Ich nazwy to, w kolejności wymiarowej:

0. Punkt
1. Odcinek linii
2. Trójkąt równoboczny (trygon regularny)
3. Czworościan regularny
4. Zwykły pentachoron lub 4-simplex
5. Zwykły heksateron lub 5-simplex
... n -simpleks ma n +1 wierzchołków.

Zmierz politopy (hipersześciany)

Wykresy z 2-cube do 4-cube.
Wykres krzyżowy 2.svg Wykres sześcienny orto vcenter.png Hypercubestar.svg
Kwadrat Sześcian Tesseract
Kvadrato.svg Sześcian.svg Schlegel model szkieletowy 8-cell.png

Zacznij od punktu A . Wydłuż linię do punktu B w odległości r i połącz, aby utworzyć segment linii. Przedłuż drugą linię o długości r , prostopadłą do AB , od B do C i podobnie od A do D , aby utworzyć kwadrat ABCD . Przedłuż linie o długości r odpowiednio z każdego rogu, prostopadle do obu AB i BC (tj. do góry). Zaznacz nowe punkty E , F , G , H , aby utworzyć sześcian ABCDEFGH . I tak dalej dla wyższych wymiarów.

Są to politopy miar lub hipersześciany . Ich nazwy są w kolejności wymiarowości:

0. Punkt
1. Odcinek linii
2. Kwadrat (czworokąt regularny)
3. Kostka (zwykły sześcian )
4. Tesseract (zwykły oktachoron) lub 4-sześcian
5. Penteract (zwykły dekateron) lub 5-sześcian
... n -sześcian ma 2 n wierzchołków.

Politopy krzyżowe (ortopleksy)

Wykresy 2-ortoplex do 4-ortoplex.
2-ortoplex.svg 3-ortoplex.svg 4-ortoplex.svg
Kwadrat Oktaedr 16-ogniwowy
Kvadrato.svg Oktaedron.svg Schlegel model szkieletowy 16-cell.png

Zacznij od punktu O . Wydłuż linię w przeciwnych kierunkach do punktów A i B w odległości r od O i 2 r od siebie. Narysuj linię COD o długości 2 r , pośrodku O i prostopadłą do AB . Połącz końce, tworząc kwadratowy ACBD . Narysuj linię EOF o tej samej długości i wyśrodkowaną na 'O', prostopadłą do AB i CD (tj. w górę iw dół). Połącz końce z kwadratem, tworząc ośmiościan foremny . I tak dalej dla wyższych wymiarów.

Są to politopy krzyżowe lub ortopleksy . Ich nazwy to, w kolejności wymiarowej:

0. Punkt
1. Odcinek linii
2. Kwadrat (czworokąt regularny)
3. Regularny ośmiościan
4. Zwykły heksadekachoron ( 16-komorowy ) lub 4-ortoplex
5. Regularny triacontakaiditeron ( Pentacross ) lub 5-ortoplexho
... n- ortoplex ma 2n wierzchołków.

Historia odkrycia

Wielokąty wypukłe i wielościany

Najwcześniejsze zachowane matematyczne ujęcie wielokątów foremnych i wielościanów pochodzi od starożytnych matematyków greckich . Znano im pięć brył platońskich . Pitagoras znał co najmniej trzy z nich, a Theaetetus (ok. 417 pne – 369 pne) opisał wszystkie pięć. Później Euclid napisał systematyczne studium matematyki, publikując je pod tytułem Elementy , które stworzyły logiczną teorię geometrii i teorię liczb . Jego prace kończyły się matematycznymi opisami pięciu brył platońskich .

Bryły platońskie
Czworościan.jpg Sześcian.jpg Oktaedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg Icosahedron.jpg
Czworościan Sześcian Oktaedr Dwunastościan dwudziestościan

Wielokąty gwiaździste i wielościany

Nasze rozumienie pozostawało niezmienne przez wiele stuleci po Euklidzie. Dalszą historię regularnych polytopes można scharakteryzować stopniowym poszerzaniem podstawowej koncepcji, pozwalając na uwzględnienie w swojej liczbie coraz większej liczby obiektów. Thomas Bradwardine (Bradwardinus) był pierwszym, który zarejestrował poważne badania wielokątów gwiezdnych. W sztuce renesansu pojawiają się różne wielościany gwiaździste, ale dopiero w 1619 Johannes Kepler zbadał mały gwiaździsty dwunastościan i wielki gwiaździsty dwunastościan , zdał sobie sprawę, że te dwa są regularne. Louis Poinsot odkrył wielki dwunastościan i wielki dwudziestościan w 1809 r., a Augustin Cauchy udowodnił, że lista jest kompletna w 1812 r. Te wielościany są znane jako wielościany Keplera-Poinsota .

Wielościany Keplera-Poinsota
MałyStellated Dwunastościan.jpg WielkiStellated Dwunastościan.jpg Wielki Dwunastościan.jpg WielkiIcosahedron.jpg
Mały
dwunastościan gwiaździsty
Świetny
dwunastościan gwiaździsty
Świetny dwunastościan Wielki dwudziestościan

Wielowymiarowe politopy

Rzut 3D obracającego się tesseraktu. Ten tesserakt jest początkowo zorientowany tak, że wszystkie krawędzie są równoległe do jednej z czterech osi przestrzeni współrzędnych. Obrót odbywa się w płaszczyźnie xw.

Dopiero w XIX wieku szwajcarski matematyk Ludwig Schläfli zbadał i scharakteryzował regularne wielościany w wyższych wymiarach. Jego starania zostały po raz pierwszy opublikowane w całości w Schläfli (1901) , sześć lat pośmiertnie, chociaż fragmenty zostały opublikowane w Schläfli (1855) i Schläfli (1858) . Między rokiem 1880 a 1900 wyniki Schläfliego zostały niezależnie odkryte przez co najmniej dziewięciu innych matematyków — więcej szczegółów patrz Coxeter (1948 , s. 143–144) . Schläfli nazwał taką figurę „polischem” (w języku angielskim „polyscheme” lub „polyschema”). Termin „politop” został wprowadzony przez Reinholda Hoppe , jednego z odkrywców Schläfliego, w 1882 roku, a po raz pierwszy użyty w języku angielskim przez Alicię Boole Stott jakieś dwadzieścia lat później. Termin „polihedroidy” był również używany we wcześniejszej literaturze (Hilbert, 1952).

Coxeter (1948) jest prawdopodobnie najbardziej wszechstronnym drukowanym opracowaniem wyników Schläfliego i podobnych do tej pory. Schläfli wykazał, że istnieje sześć regularnych wielokątów wypukłych w 4 wymiarach . Pięć z nich można uznać za analogiczne do brył platońskich: 4-simplex (lub pentachoron) z czworościanem , hipersześcian (lub teserakt ) z sześcianem , 4-ortoplex (lub heksadekachoron lub 16-komórka ) z ośmiościanem , komórka 120 do dwunastościanu , a komórka 600 do dwudziestościanu . Szósta, 24 komórek , można zauważyć w postaci przejściowego pomiędzy hipersześcianu i 16 komórek, analogicznie do sposobu że sześcio-ośmiościan i rombowe dwunastościan są formy przejściowe pomiędzy kostką i ośmiokąta.

W pięciu i więcej wymiarów, istnieją dokładnie trzy regularne polytopes, które odpowiadają czworościanu, sześcianu i ośmiościanu: są to regularne simplices , miara polytopes i poprzeczne polytopes . Opisy tych można znaleźć na liście regularnych polytopów . Interesujące są również regularne 4-politopy gwiazd , częściowo odkryte przez Schläfliego.

Pod koniec XIX wieku matematycy, tacy jak Arthur Cayley i Ludwig Schläfli, opracowali teorię regularnych polytopes w czterech i wyższych wymiarach, takich jak tesseract i 24-cell .

Te ostatnie są trudne (choć nie niemożliwe) do wizualizacji, ale nadal zachowują przyjemną estetycznie symetrię ich niższych wymiarowych kuzynów. Tesserakt zawiera 8 komórki sześcienne. Składa się z dwóch sześcianów w równoległych hiperpłaszczyznach z odpowiadającymi im wierzchołkami połączonymi krzyżowo w taki sposób, że 8 poprzecznych krawędzi jest równych długości i prostopadłych do 12+12 krawędzi znajdujących się na każdym sześcianie. Odpowiednie ściany dwóch sześcianów są połączone, tworząc pozostałe 6 ścian sześciennych tesseraktu . 24 komórek mogą być uzyskane z tesserakt przez połączenie 8 wierzchołki każdej z jej powierzchni sześciennych dodatkowej wierzchołka, z wytworzeniem czterowymiarowy analog piramidy. Obie figury, jak również inne 4-wymiarowe figury, mogą być bezpośrednio wizualizowane i przedstawiane za pomocą 4-wymiarowych stereografów.

Jeszcze trudniej sobie wyobrazić bardziej nowoczesne abstrakcyjne, regularne politopy, takie jak 57-komorowy lub 11-komorowy . Z matematycznego punktu widzenia obiekty te mają jednak te same walory estetyczne, co ich bardziej znane dwu- i trójwymiarowe pokrewne.

Na początku XX wieku definicja regularnego politopu była następująca.

  • Wielokąt foremny to wielokąt, którego krawędzie są równe i wszystkie kąty są równe.
  • Wielościan foremny to wielościan, którego ściany są przystającymi wielokątami foremnymi, a figury wierzchołków są przystające i regularne.
  • I tak dalej, regularny n -politop to n- wymiarowy politop, którego ( n − 1)-wymiarowe ściany są regularne i przystające, a figury wierzchołków są regularne i przystające.

To jest definicja „rekurencyjna”. Określa regularność figur o wyższym wymiarze w kategoriach regularnych figur o niższym wymiarze. Istnieje równoważna (nierekurencyjna) definicja, która stwierdza, że ​​wielokąt jest regularny, jeśli ma wystarczający stopień symetrii.

  • N -polytope jest regularny, jeżeli każdy zestaw składa się z wierzchołkiem, krawędź zawierające, 2-wymiarowa powierzchnia zawiera krawędź, i tak dalej, aż do n -1 wymiary, mogą być mapowane do innego takiego zestawu przez symetrii politop.

Na przykład sześcian jest regularny, ponieważ jeśli wybierzemy wierzchołek sześcianu i jedną z trzech krawędzi, na których się znajduje, i jedną z dwóch ścian zawierających krawędź, wtedy ta trójka lub flaga (wierzchołek, krawędź, face) można odwzorować na dowolną inną flagę tego typu poprzez odpowiednią symetrię sześcianu. W ten sposób możemy bardzo zwięźle zdefiniować regularny politop:

  • Regularny polytope to taki, którego grupa symetrii jest przechodnia na swoich flagach.

W XX wieku dokonano kilku ważnych zmian. W symetrii grupy klasycznego regularnych polytopes zostały uogólnione na to, co nazywa się teraz grupy Coxeter . Grupy Coxetera obejmują również grupy symetrii regularnych teselacji przestrzeni lub płaszczyzny. Na przykład grupą symetrii nieskończonej szachownicy byłaby grupa Coxetera [4,4].

Apeirotopes — nieskończone politopy

W pierwszej połowie XX wieku Coxeter i Petrie odkryli trzy nieskończone struktury {4, 6}, {6, 4} i {6, 6}. Nazwali je wielościanami regularnymi skośnymi, ponieważ wydawały się spełniać definicję wielościanu foremnego — wszystkie wierzchołki, krawędzie i ściany są jednakowe, wszystkie kąty są takie same, a figura nie ma wolnych krawędzi. Obecnie nazywane są nieskończonymi wielościanami lub apeirohedrami. Regularne kafelki płaszczyzny {4, 4}, {3, 6} i {6, 3} mogą być również uważane za nieskończone wielościany.

W latach 60. Branko Grünbaum zaapelował do społeczności geometrycznej o rozważenie bardziej abstrakcyjnych typów regularnych polytopes , które nazwał polystromata . Rozwinął teorię polystromata, pokazując przykłady nowych obiektów, które nazwał regularnymi apeirotopami , czyli regularnymi polytopes o nieskończenie wielu twarzach. Prostym przykładem skośnego apeirogonu byłby zygzak. Wygląda na to, że spełnia definicję wielokąta foremnego — wszystkie krawędzie mają tę samą długość, wszystkie kąty są takie same, a figura nie ma luźnych końców (bo nigdy nie można ich dosięgnąć). Co ważniejsze, być może istnieją symetrie zygzaka, które mogą mapować dowolną parę wierzchołków i dołączonej krawędzi do dowolnej innej. Od tego czasu nadal odkrywano inne regularne apeirogony i wyższe apeirotopy.

Regularne złożone politopy

Liczba zespolona ma część rzeczywistą, czyli bit, który wszyscy znamy, oraz część urojoną, która jest wielokrotnością pierwiastka kwadratowego z minus jeden. Złożona przestrzeń Hilberta ma swoje współrzędne x, y, z itd. jako liczby zespolone. To skutecznie podwaja liczbę wymiarów. Wielotop zbudowany w takiej jednolitej przestrzeni nazywany jest wielotopem złożonym .

Streszczenie polytopes

Hemicube pochodzi od kostki zrównując wierzchołkach przeciwległych krawędziach, i twarze. Ma 4 wierzchołki, 6 krawędzi i 3 powierzchnie.

Grünbaum odkrył również 11-komórkę , czterowymiarowy, samodualistyczny obiekt, którego fasety nie są dwudziestościanami, ale są „hemi-ikosościanami” — to znaczy mają kształt, jaki uzyskuje się, jeśli weźmie się pod uwagę, że przeciwległe ściany dwudziestościanu są rzeczywiście ta sama twarz ( Grünbaum 1976 ). Półścian ma tylko 10 trójkątnych ścian i 6 wierzchołków, w przeciwieństwie do dwudziestościanu, który ma 20 i 12.

Ta koncepcja może być łatwiejsza do zrozumienia dla czytelnika, jeśli weźmie się pod uwagę związek sześcianu i półsześcianu. Zwykły sześcian ma 8 rogów, można je opisać od A do H, przy czym A naprzeciw H, B naprzeciw G i tak dalej. W półsześcianie A i H byłyby traktowane jako ten sam róg. Tak samo B i G, i tak dalej. Krawędź AB stałaby się tą samą krawędzią co GH, a ściana ABEF stałaby się tą samą ścianą co CDGH. Nowy kształt ma tylko trzy ściany, 6 krawędzi i 4 rogi.

11-komórka nie może być utworzona z regularną geometrią w płaskiej (euklidesowej) hiperprzestrzeni, ale tylko w dodatnio zakrzywionej (eliptycznej) hiperprzestrzeni.

Kilka lat po odkryciu 11-ogniw przez Grünbauma , HSM Coxeter niezależnie odkrył ten sam kształt. Wcześniej odkrył podobny politop, 57-komórkę (Coxeter 1982, 1984).

W 1994 Grünbaum rozważał politopy w sposób abstrakcyjny jako kombinatoryczne zbiory punktów lub wierzchołków i nie przejmował się tym, czy ściany są płaskie. W miarę jak on i inni udoskonalali te idee, takie zestawy zaczęto nazywać abstrakcyjnymi polytopes . Abstrakcyjny polytope jest zdefiniowany jako częściowo uporządkowany zbiór (poset), którego elementami są ściany polytope (wierzchołki, krawędzie, ściany itp.) uporządkowane przez zawieranie . Na zbiór nakładane są pewne ograniczenia, które są podobne do właściwości spełnianych przez klasyczne politopy regularne (w tym bryły platońskie). Ograniczenia są jednak na tyle luźne, że regularne teselacje, hemikuby, a nawet obiekty tak dziwne jak 11-komorowe lub obce, są przykładami regularnych politopów.

Geometryczny polytope jest rozumiany jako realizacja abstrakcyjnego polytope, tak że istnieje odwzorowanie jeden-do-jednego z elementów abstrakcyjnych na geometryczny. Tak więc każdy politop geometryczny można opisać odpowiednim posetem abstrakcyjnym, chociaż nie wszystkie politopy abstrakcyjne mają właściwe realizacje geometryczne.

Od tego czasu teoria została dalej rozwinięta, głównie przez McMullen i Schulte (2002) , ale inni badacze również wnieśli swój wkład.

Regularność abstrakcyjnych polytopes

Regularność ma podobne, choć inne znaczenie dla abstrakcyjnych polytopes , ponieważ kąty i długości krawędzi nie mają znaczenia.

Podana we wstępie definicja prawidłowości w zakresie przechodniości flag dotyczy abstrakcyjnych polytopes.

Każdy klasyczny regularny polytope ma abstrakcyjny odpowiednik, który jest regularny, uzyskany przez zbiór ścian. Ale nieregularne klasyczne wielokąty mogą mieć regularne abstrakcyjne odpowiedniki, ponieważ abstrakcyjne wielokąty nie dbają na przykład o kąty i długości krawędzi. A regularny abstrakcyjny polytope może nie być możliwy do zrealizowania jako klasyczny polytope.

Na przykład wszystkie wielokąty są regularne w świecie abstrakcyjnym, podczas gdy w świecie klasycznym tylko te o równych kątach i krawędziach są regularne.

Figura wierzchołkowa abstrakcyjnych polytopes

Pojęcie figury wierzchołkowej jest również definiowane inaczej dla abstrakcyjnego polytope'a . Figura wierzchołkowa danego abstrakcyjnego n- politopu w danym wierzchołku V jest zbiorem wszystkich abstrakcyjnych ścian, które zawierają V , łącznie z samym V. Bardziej formalnie jest to sekcja abstrakcyjna

F n / V = { F | VFF n }

gdzie F n jest ścianą maksymalną, tj. umowną n – ścianą, która zawiera wszystkie inne ściany. Zauważ, że każda i -face, i  ≥ 0 oryginalnego polytope staje się ( i  - 1)-ścianką wierzchołka figury.

W przeciwieństwie do przypadku wielokątów euklidesowych, abstrakcyjny wielokąt z regularnymi fasetami i figurami wierzchołków może, ale nie musi, być regularny – na przykład kwadratowa piramida, której wszystkie fasetki i figury wierzchołków są regularnymi abstrakcyjnymi wielokątami.

Klasyczna figura wierzchołkowa będzie jednak realizacją abstrakcyjnej.

Konstrukcje

Wielokąty

Tradycyjnym sposobem konstruowania wielokąta foremnego, a właściwie każdej innej figury na płaszczyźnie, jest kompas i liniał mierniczy . Konstruowanie w ten sposób niektórych wielokątów foremnych jest bardzo proste (najłatwiejszym jest być może trójkąt równoboczny), niektóre są bardziej złożone, a inne niemożliwe ("nie można ich skonstruować"). Kilka najprostszych wielokątów regularnych, których nie można skonstruować, to wielokąty n- boczne, w których n jest równe 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21,...

Konstrukcyjność w tym sensie odnosi się tylko do idealnych konstrukcji z idealnymi narzędziami. Oczywiście dość dokładne przybliżenia można konstruować różnymi metodami; podczas gdy teoretycznie możliwe konstrukcje mogą być niepraktyczne.

Wielościany

Elementy Euklidesa dały jaką ilość konstrukcji linijki i kompasu dla pięciu brył platońskich. Jednak czysto praktyczne pytanie, jak można narysować linię prostą w przestrzeni, nawet za pomocą linijki, może prowadzić do pytania, co to właściwie znaczy „konstruować” wielościan foremny. (Oczywiście można zadać to samo pytanie o wielokąty.)

Angielskie słowo „construct” ma konotację systematycznego budowania skonstruowanej rzeczy. Najpopularniejszym sposobem budowy wielościanu foremnego jest rozkładana siatka . Aby uzyskać rozłożoną siatkę wielościanu, bierze się powierzchnię wielościanu i przecina ją wzdłuż krawędzi tak, aby można było ją ułożyć płasko. Daje to plan sieci rozwiniętego wielościanu. Ponieważ bryły platońskie mają tylko trójkąty, kwadraty i pięciokąty jako twarze, a wszystko to można zbudować za pomocą linijki i cyrkla, istnieją metody linijki i kompasu do rysowania tych rozkładanych sieci. To samo dotyczy wielościanów gwiaździstych, chociaż tutaj musimy uważać, aby wykonać siatkę tylko dla widocznej powierzchni zewnętrznej.

Jeżeli siatka ta jest rysowana na tekturze lub podobnym materiale do składania (na przykład blacha), można ją wyciąć, złożyć wzdłuż nieprzeciętych krawędzi, połączyć wzdłuż odpowiednich krawędzi cięcia, tworząc w ten sposób wielościan, dla którego była siatka. zaprojektowany. Dla danego wielościanu może być wiele rozkładanych siatek. Na przykład jest 11 dla sześcianu, a ponad 900 000 dla dwunastościanu.

Liczne zabawki dla dzieci, na ogół skierowane do nastolatków lub dzieci, pozwalają na eksperymentowanie z regularnymi wielokątami i wielościanami. Na przykład klikko udostępnia zestawy plastikowych trójkątów, kwadratów, pięciokątów i sześciokątów, które można łączyć krawędź do krawędzi na wiele różnych sposobów. Dziecko bawiące się taką zabawką mogłoby na nowo odkryć bryły platońskie (lub bryły archimedesowe ), zwłaszcza gdyby otrzymało niewielkie wskazówki od znającego się na rzeczy dorosłego.

Teoretycznie do budowy wielościanów regularnych można wykorzystać prawie każdy materiał. Mogą być wyrzeźbione z drewna, wymodelowane z drutu, uformowane z witrażu. Ograniczeniem jest wyobraźnia.

Wyższe wymiary

Rzut perspektywiczny ( diagram Schlegla ) dla tesseract
Animowany, wycięty przekrój 24 celi .

W wyższych wymiarach trudniej jest powiedzieć, co rozumie się przez „konstruowanie” obiektów. Oczywiście w trójwymiarowym wszechświecie niemożliwe jest zbudowanie fizycznego modelu obiektu posiadającego 4 lub więcej wymiarów. Istnieje kilka podejść zwykle podejmowanych w celu rozwiązania tej kwestii.

Pierwsze podejście, odpowiednie dla czterech wymiarów, wykorzystuje stereografię czterowymiarową. Głębokość w trzecim wymiarze jest reprezentowana przez poziome przemieszczenie względne, głębokość w czwartym wymiarze za pomocą pionowego względnego przemieszczenia między lewym i prawym obrazem stereografu.

Drugie podejście polega na osadzeniu obiektów z wyższych wymiarów w przestrzeni trójwymiarowej przy użyciu metod analogicznych do sposobów rysowania obiektów trójwymiarowych na płaszczyźnie. Na przykład siatki rozkładane wymienione w poprzedniej sekcji mają odpowiedniki o wyższych wymiarach. Można nawet wyobrazić sobie budowę modelu tej rozkładanej siatki, jak na kartce papieru rysuje się rozkładaną siatkę wielościanu. Niestety, nigdy nie byliśmy w stanie wykonać niezbędnego fałdowania trójwymiarowej struktury, aby uzyskać czterowymiarowy polytop z powodu ograniczeń fizycznego wszechświata. Innym sposobem "rysowania" kształtów o wyższych wymiarach w 3 wymiarach jest pewien rodzaj rzutowania, na przykład odpowiednik rzutowania prostokątnego lub perspektywicznego . Słynna książka Coxetera o politopach ( Coxeter 1948 ) zawiera kilka przykładów takich rzutów ortogonalnych. Zauważ, że zanurzenie nawet 4-wymiarowej polichory bezpośrednio w dwóch wymiarach jest dość mylące. Łatwiejsze do zrozumienia są trójwymiarowe modele rzutów. Takie modele od czasu do czasu można znaleźć w muzeach nauki lub na wydziałach matematyki uniwersytetów (takich jak Université Libre de Bruxelles ).

Przecięcie czterowymiarowego (lub wyższego) regularnego polytope z trójwymiarową hiperpłaszczyzną będzie polytope (niekoniecznie regularnym). Jeśli hiperpłaszczyzna zostanie przesunięta przez kształt, trójwymiarowe plastry można połączyć, animować w rodzaj czterowymiarowego obiektu, w którym czwarty wymiar jest uważany za czas. W ten sposób możemy zobaczyć (jeśli nie w pełni uchwycić) pełną czterowymiarową strukturę czterowymiarowych politopów regularnych poprzez takie przekroje poprzeczne. Jest to analogiczne do sposobu, w jaki skan CAT ponownie składa dwuwymiarowe obrazy, tworząc trójwymiarową reprezentację skanowanych narządów. Ideałem byłby jakiś animowany hologram , jednak nawet prosta animacja, taka jak ta pokazana, może już dać pewien ograniczony wgląd w strukturę polytope.

Innym sposobem, w jaki trójwymiarowy widz może zrozumieć strukturę czterowymiarowego politopu, jest „zanurzenie” w obiekcie, być może za pomocą jakiejś formy technologii wirtualnej rzeczywistości . Aby zrozumieć, jak to może działać, wyobraź sobie, co można by zobaczyć, gdyby przestrzeń była wypełniona sześcianami. Widz znajdowałby się wewnątrz jednego z sześcianów i mógłby widzieć sześciany przed, za, nad, pod, po lewej i prawej stronie. Gdyby można było podróżować w tych kierunkach, można by zbadać układ sześcianów i zrozumieć jego strukturę geometryczną. Nieskończony szereg kostek nie jest Polytope w tradycyjnym sensie. W rzeczywistości jest to teselacja przestrzeni trójwymiarowej ( euklidesowej ). Jednak 4-politop można uznać za teselację trójwymiarowej przestrzeni nieeuklidesowej , a mianowicie teselację powierzchni czterowymiarowej kuli (4-wymiarowe kafelki sferyczne ).

Regularny dwunastościenny plaster miodu {5,3,4} przestrzeni hiperbolicznej rzutowany na 3 przestrzeń.

Lokalnie ta przestrzeń wydaje się być taka, którą znamy, a zatem system wirtualnej rzeczywistości można by w zasadzie zaprogramować tak, aby umożliwiał eksplorację tych „tesselacji”, to znaczy czterowymiarowych regularnych politopów. Wydział matematyki na UIUC ma kilka zdjęć, co można by zobaczyć, czy osadzony w teselacji z hiperbolicznej przestrzeni z dodekaedrach. Taka teselacja stanowi przykład nieskończonego abstrakcyjnego politopu foremnego.

Zwykle w przypadku abstrakcyjnych politopów regularnych matematyk uważa, że ​​obiekt jest „skonstruowany”, jeśli znana jest struktura jego grupy symetrii . Wynika to z ważnego twierdzenia w badaniu abstrakcyjnych wielościów regularnych, które zapewnia technikę, która pozwala na skonstruowanie abstrakcyjnego wielokąta regularnego z jego grupy symetrii w standardowy i prosty sposób.

Regularne politopy w przyrodzie

Aby zapoznać się z przykładami wielokątów w przyrodzie, zobacz:

Każda z brył platońskich występuje naturalnie w takiej czy innej formie:

Zobacz też

Bibliografia

Uwagi

Bibliografia

  • Coxeter, HSM (1973). Regularne Polytopes (3rd ed.). Dover. Numer ISBN 0-486-61480-8.
  • — (1974). Regularne złożone politopy . Cambridge University Press. Numer ISBN 052120125X.
  • — (1991). Regularne złożone Polytopes (2nd ed.). Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-39490-1.
  • Cromwell, Peter R. (1999). Wielościany . Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-66405-9.
  • Euklidesa (1956). Elementy . Tłumaczone przez Heath, TL Cambridge University Press.
  • Grünbaum, B. (1976). Regularność wykresów, kompleksów i projektów . Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes, Colloquium Internationale CNRS, Orsay. 260 . s. 191-197.
  • Grünbaum B. (1993). „Wielościany z pustymi twarzami”. W Bisztriczkim T.; i in. (wyd.). POLYTOPY: abstrakcyjne, wypukłe i obliczeniowe . Nauki matematyczne i fizyczne, NATO Advanced Study Institute. 440 . Akademik Kluwera. s. 43–70. Numer ISBN 0792330161.
  • McMullen, P .; Schulte, S. (2002). Streszczenie regularne Polytopes . Cambridge University Press.
  • Sanford, V. (1930). Krótka historia matematyki . Prasa nadrzeczna.
  • Schläfli, L. (1855). „Réduction d'une intégrale multiple, qui comprend l'arc de cercle et l'aire du triangle sphérique comme cas particuliers”. Dziennik Matematyki . 20 : 359–394.
  • Schläfli, L. (1858). "Na całce wielokrotnej ∫^ n dxdy... dz, której granice to p_1= a_1x+ b_1y+…+ h_1z> 0, p_2> 0,..., p_n> 0 i x^ 2+ y^ 2+…+ z^ 2< 1". Kwartalnik Matematyki Czystej i Stosowanej . 2 : 269–301. 3 (1860) s. 54–68, 97–108.
  • Schläfli, L. (1901). „Theorie der vielfachen Kontinuität”. Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft . 38 : 1-237.
  • Smith, JV (1982). Krystalografia geometryczna i strukturalna (wyd. 2). Wileya. Numer ISBN 0471861685.
  • Van der Waerden, BL (1954). Przebudzenie nauki . Tłumaczone przez Drezno, Arnold. P Noordhoff.
  • DMY Sommerville (2020) [1930]. „X. Regularne Polytopes” . Wprowadzenie do geometrii n wymiarów . Kurier Dover. s. 159–192. Numer ISBN 978-0-486-84248-6.

Linki zewnętrzne

Rodzina A n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Wielokąt foremny Trójkąt Kwadrat p-gon Sześciokąt Pięciokąt
Jednolity wielościan Czworościan Ośmiościankostka Demicube DwunastościanIcosahedron
Jednolita polichoron 5-ogniwowy 16-ogniwowyTesseract Demitesseract 24 ogniwa 120-ogniwowy600-ogniwowy
Jednolity 5-politop 5-simplex 5-ortopleks5-kostka 5-demicube
Jednolity 6-politop 6-simplex 6-ortopleks6-kostka 6-demicube 1 222 21
Jednolity 7-politop 7-simplex 7-ortopleks7-kostka 7-demicube 1 322 313 21
Jednolity 8-polytope 8-simplex 8-ortoplex8-kostka 8-demicube 1 422 414 21
Jednolity 9-politop 9-simplex 9-ortopleks9-kostka 9-demicube
Jednolity 10-polytope 10-simplex 10-ortopleks10-kostka 10-demicube
Jednolity n - polytope n - simpleks n - ortoplexn - sześcian n - demicube 1 k22 k1k 21 n - pięciokątny politop
Tematy: Rodziny PolytopeRegularny polytopeLista regularnych polytopów i związków