Reszta - Remainder

W matematyce , reszta to kwota „left over” po wykonaniu jakieś obliczenia. W arytmetyce , reszta to liczba całkowita „pozostawiona” po podzieleniu jednej liczby całkowitej przez drugą w celu uzyskania ilorazu liczb całkowitych ( dzielenie liczb całkowitych ). W algebrze wielomianów, reszta to wielomian „pozostawiony” po podzieleniu jednego wielomianu przez drugi. Operacja modulo jest operacją, która daje taką resztę po otrzymaniu dywidendy i dzielnika.

Ewentualnie reszta to także to, co pozostaje po odjęciu jednej liczby od drugiej, chociaż jest to dokładniej nazywane różnicą . To użycie można znaleźć w niektórych podstawowych podręcznikach; potocznie zastępuje się go wyrażeniem „reszta” jak w „Oddaj mi dwa dolary, a resztę zatrzymaj”. Jednak termin „reszta” jest nadal używany w tym sensie, gdy funkcja jest aproksymowana przez rozwinięcie szeregu , gdzie wyrażenie błędu („reszta”) jest określane jako reszta terminu .

Dzielenie liczb całkowitych

Mając liczbę całkowitą a i niezerową liczbę całkowitą d , można wykazać, że istnieją unikalne liczby całkowite q i r , takie, że a = qd  +  r oraz 0 ≤  r  < | d | . Liczba Q jest nazywany iloraz , a R jest nazywany pozostałość .

(Aby uzyskać dowód tego wyniku, zobacz dzielenie euklidesowe . Algorytmy opisujące, jak obliczyć resztę, zobacz algorytm dzielenia .)

Reszta, jak zdefiniowano powyżej, nazywana jest najmniej dodatnią resztą lub po prostu resztą . Liczba całkowita a jest albo wielokrotnością d , albo leży w przedziale między kolejnymi wielokrotnościami d , czyli q⋅d i ( q + 1) d (dla dodatniego q ).

W niektórych przypadkach wygodnie jest przeprowadzić dzielenie tak, aby a było jak najbardziej zbliżone do całkowitej wielokrotności d , to znaczy, że możemy napisać

a = k⋅d + s , gdzie | s | ≤ | d /2| dla pewnej liczby całkowitej k .

W tym przypadku s nazywa się najmniejszą bezwzględną resztą . Jak z ilorazu i pozostałej części K i S są jednoznacznie określone, z wyjątkiem przypadku, gdy d = 2, n i y = ± n . Dla tego wyjątku mamy:

a = k⋅d + n = ( k + 1) dn .

Unikalną resztę można w tym przypadku uzyskać zgodnie z pewną konwencją — na przykład zawsze przyjmując dodatnią wartość s .

Przykłady

W podziale 43 na 5 mamy:

43 = 8 × 5 + 3,

więc 3 jest najmniej pozytywną resztą. Mamy też to:

43 = 9 × 5-2,

a -2 to najmniejsza reszta bezwzględna. W podziale 82 na 5 mamy:

82 = 16 × 5 + 2

Te definicje są również ważne, jeśli d jest ujemne, na przykład przy dzieleniu 43 przez -5,

43 = (−8) × (−5) + 3,

a 3 to najmniej dodatnia reszta, podczas gdy

43 = (-9) × (-5) + (-2)

a -2 to najmniejsza reszta bezwzględna.

W podziale 42 na 5 mamy:

42 = 8 × 5 + 2,

a ponieważ 2 < 5/2, 2 jest zarówno najmniejszą resztą dodatnią, jak i najmniejszą resztą bezwzględną.

W tych przykładach (ujemną) najmniej bezwzględną resztę otrzymuje się z najmniej dodatniej reszty przez odjęcie 5, co oznacza d . Tak jest ogólnie. Podczas dzielenia przez d obie reszty są dodatnie, a zatem równe, albo mają przeciwne znaki. Jeśli dodatnia reszta to r 1 , a ujemna to r 2 , wtedy

R 1 = r 2 + d .

Dla liczb zmiennoprzecinkowych

Gdy a i dliczbami zmiennoprzecinkowymi , z d niezerowym, a można podzielić przez d bez reszty, przy czym iloraz jest inną liczbą zmiennoprzecinkową. Jeśli jednak iloraz jest ograniczony do liczby całkowitej, koncepcja reszty jest nadal konieczna. Można udowodnić, że istnieje unikalny iloraz całkowity q i jednoznaczna reszta zmiennoprzecinkowa r takie, że a  =  qd  +  r gdzie 0 ≤  r  < | d |.

Rozszerzenie definicji reszty dla liczb zmiennoprzecinkowych, jak opisano powyżej, nie ma teoretycznego znaczenia w matematyce; jednak wiele języków programowania implementuje tę definicję, patrz operacja modulo .

W językach programowania

Chociaż nie ma trudności związanych z definicjami, istnieją problemy z implementacją, które pojawiają się, gdy liczby ujemne są zaangażowane w obliczanie reszt. Różne języki programowania przyjęły różne konwencje. Na przykład:

  • Pascal wybiera wynik operacji mod dodatni, ale nie pozwala, aby d było ujemne lub zerowe (więc a = ( a div d ) × d + a mod d nie zawsze jest poprawne).
  • C99 wybiera resztę z tym samym znakiem co dywidenda a . (Przed C99 język C pozwalał na inne wybory).
  • Perl , Python (tylko nowoczesne wersje) wybierz resztę z tym samym znakiem co dzielnik d .
  • Haskell i Scheme oferują dwie funkcje, reszta i moduloCommon Lisp i PL/I mają mod i rem , natomiast Fortran ma mod i modulo ; w każdym przypadku pierwszy zgadza się podpisania z dywidendą, a drugi z dzielnikiem.

Dzielenie wielomianowe

Podział euklidesowy wielomianów jest bardzo podobny do podziału euklidesowego liczb całkowitych i prowadzi do reszt wielomianowych. Jego istnienie opiera się na następującym twierdzeniu: Biorąc pod uwagę dwa jednowymiarowe wielomiany a ( x ) i b ( x ) (gdzie b ( x ) jest niezerowym wielomianem) zdefiniowanym nad ciałem (w szczególności liczbami rzeczywistymi lub liczbami zespolonymi ), istnieją dwa wielomiany q ( x ) ( iloraz ) i r ( x ) ( reszta ), które spełniają:

gdzie

gdzie „deg(...)” oznacza stopień wielomianu (stopień stałego wielomianu, którego wartość zawsze wynosi 0, można zdefiniować jako ujemny, tak aby warunek stopnia był zawsze ważny, gdy jest to reszta). Co więcej, q ( x ) i r ( x ) są jednoznacznie określone przez te relacje.

Różni się to od euklidesowego podziału liczb całkowitych tym, że w przypadku liczb całkowitych warunek stopnia jest zastępowany przez granice pozostałej r (nieujemne i mniejsze niż dzielnik, co zapewnia, że r jest niepowtarzalne). Podobieństwo między podziałem euklidesowym dla liczb całkowitych i dla wielomianów motywuje poszukiwanie najbardziej ogólnego układu algebraicznego, w którym obowiązuje dzielenie euklidesowe. Pierścienie, dla których istnieje takie twierdzenie, nazywane są domenami euklidesowymi , ale w tej ogólności unikalność ilorazu i reszty nie jest gwarantowana.

Dzielenie wielomianowe prowadzi do wyniku znanego jako twierdzenie o resztach wielomianowych : Jeśli wielomian f ( x ) jest dzielony przez xk , reszta jest stałą r = f ( k ).

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Smith 1958 , s. 97
  2. ^ „The Definitive Higher Math Guide to Long Division i jej warianty dla liczb całkowitych (Podział euklidesowy — Terminologia)” . Skarbiec matematyczny . 2019-02-24 . Źródło 2020-08-27 .
  3. ^ Ruda 1988 , s. 30. Ale jeśli reszta wynosi 0, nie jest dodatnia, nawet jeśli nazywa się ją „resztą dodatnią”.
  4. ^ Ruda 1988 , s. 32
  5. ^ Pascal ISO 7185:1990 6.7.2.2
  6. ^ „Specyfikacja C99 (ISO/IEC 9899:TC2)” (PDF) . 6.5.5 Operatory multiplikatywne. 2005-05-06 . Źródło 16 sierpnia 2018 .CS1 maint: lokalizacja ( link )
  7. ^
  8. ^ Larson i Hostetler 2007 , s. 154
  9. ^ Rotman 2006 , s. 267
  10. ^ Larson & Hostetler 2007 , s. 157
  11. ^ Weisstein, Eric W. „Twierdzenie o reszcie wielomianowej” . mathworld.wolfram.com . Źródło 2020-08-27 .

Bibliografia

Dalsza lektura

  • Davenport, Harold (1999). Arytmetyka wyższa: wprowadzenie do teorii liczb . Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. P. 25. Numer ISBN 0-521-63446-6.
  • Katz, Victor, wyd. (2007). Matematyka Egiptu, Mezopotamii, Chin, Indii i islamu: podręcznik . Princeton: Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. Numer ISBN 9780691114859.
  • Schwartzman, Steven (1994). „reszta (rzeczownik)” . Słowa matematyki: etymologiczny słownik terminów matematycznych używanych w języku angielskim . Waszyngton: Matematyczne Stowarzyszenie Ameryki. Numer ISBN 9780883855119.
  • Zuckerman, Martin M. Arytmetyka: proste podejście . Lanham, MD: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.