Teoria reprezentacji - Representation theory

Teoria reprezentacji bada, w jaki sposób struktury algebraiczne „działają” na obiekty. Prostym przykładem jest to, jak symetrie wielokątów foremnych , składające się z odbić i obrotów, przekształcają wielokąt.

Teoria reprezentacji jest gałęzią matematyki , że badania abstrakcyjnych algebra ogólna przez reprezentujących ich elementy jak liniowych przekształceń w przestrzeni wektorowej , a badania modułów ponad tych abstrakcyjnych struktur algebraicznych. W istocie, reprezentacja powoduje streszczenie algebraiczną celem bardziej konkretne od opisu jego elementów w macierzy i ich algebraicznym operacji (na przykład, oprócz matrycy , mnożenia macierzy ). Teoria macierzy i operatorów liniowych jest dobrze zrozumiana, więc reprezentacje bardziej abstrakcyjnych obiektów w kategoriach znanych obiektów algebry liniowej pomagają zebrać właściwości, a czasem upraszczają obliczenia na bardziej abstrakcyjnych teoriach.

Obiekty algebraiczne podlegające takiemu opisowi obejmują grupy , algebry asocjacyjne i algebry Liego . Najważniejszą z nich (i historycznie pierwszą) jest teoria reprezentacji grup , w której elementy grupy są reprezentowane przez macierze odwracalne w taki sposób, że operacją grup jest mnożenie macierzy.

Teoria reprezentacji jest użyteczną metodą, ponieważ redukuje problemy z algebry abstrakcyjnej do problemów z algebry liniowej , przedmiotu, który jest dobrze zrozumiany. Co więcej, przestrzeń wektorowa, na której reprezentowana jest grupa (na przykład), może być nieskończenie wymiarowa, a pozwalając, aby była na przykład przestrzenią Hilberta , metody analizy można zastosować do teorii grup. Teoria reprezentacji jest również ważna w fizyce, ponieważ na przykład opisuje, w jaki sposób grupa symetrii układu fizycznego wpływa na rozwiązania równań opisujących ten układ.

Teoria reprezentacji jest wszechobecna w różnych dziedzinach matematyki z dwóch powodów. Po pierwsze, zastosowania teorii reprezentacji są zróżnicowane: oprócz wpływu na algebrę, teoria reprezentacji:

Po drugie, istnieją różne podejścia do teorii reprezentacji. Te same obiekty można badać metodami z geometrii algebraicznej , teorii modułów , analitycznej teorii liczb , geometrii różniczkowej , teorii operatorów , kombinatoryki algebraicznej i topologii .

Sukces teorii reprezentacji doprowadził do wielu uogólnień. Jednym z najbardziej ogólnych jest teoria kategorii . Obiekty algebraiczne, do których stosuje się teoria reprezentacji, można rozpatrywać jako szczególne rodzaje kategorii, a reprezentacje jako funktory od kategorii obiektów do kategorii przestrzeni wektorowych . Opis ten wskazuje na dwa oczywiste uogólnienia: po pierwsze, obiekty algebraiczne można zastąpić bardziej ogólnymi kategoriami; po drugie, docelową kategorię przestrzeni wektorowych można zastąpić innymi dobrze znanymi kategoriami.

Definicje i pojęcia

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem F . Na przykład załóżmy, że V jest R n lub C n , a średnia n wymiarową przestrzeń wektorów kolumny przez rzeczywiste lub liczb złożonych odpowiednio. W tym przypadku idea teorii reprezentacji polega na konkretnym wykonaniu algebry abstrakcyjnej przy użyciu macierzy n × n liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Istnieją trzy główne rodzaje obiektów algebraicznych, dla których można to zrobić: grupy , algebry asocjacyjne i algebry Liego .

Ten uogólnia w każdym polu F i do każdej przestrzeni wektor V na F , z liniowych map wymianie matryc i kompozycji zastępującej mnożenia macierzy: jest grupa GL ( V , M ) z automorfizmy z V , asocjacyjnego Algebra Koniec F ( V ) wszystkich endomorfizmy V i odpowiadające im algebry Liego gl ( V , F ).

Definicja

Istnieją dwa sposoby na określenie, czym jest reprezentacja. Pierwsza wykorzystuje ideę akcji , uogólniając sposób, w jaki macierze działają na wektory kolumnowe przez mnożenie macierzy. Reprezentacją grupy G lub algebry (asocjacyjnej lub Liego) A na przestrzeni wektorowej V jest odwzorowanie

o dwóch właściwościach. Po pierwsze, dla dowolnego g w G (lub a w A ), mapa

jest liniowa (nad F ). Po drugie, jeśli wprowadzimy zapis g · v dla ( g , v ), to dla dowolnego g 1 , g 2 w G i v w V :

gdzie e jest element neutralny z G i g 1 g 2 jest produktem w G . Wymóg dla algebr asocjacyjnych jest analogiczny, z tym wyjątkiem, że algebry asocjacyjne nie zawsze mają element tożsamościowy, w którym to przypadku równanie (1) jest ignorowane. Równanie (2) jest abstrakcyjnym wyrażeniem asocjatywności mnożenia macierzy. Nie dotyczy to komutatora macierzy, a także nie ma elementu tożsamości dla komutatora. Stąd w przypadku algebr Liego jedynym wymaganiem jest to, że dla dowolnych x 1 , x 2 w A i v w V :

gdzie [ x 1 , x 2 ] to nawias Lie , który uogólnia komutator macierzowy MNNM .

Drugi sposób definiowania reprezentacji skupia się na odwzorowaniu φ wysyłając g w G do odwzorowania liniowego φ ( g ): VV , który spełnia

i podobnie w pozostałych przypadkach. To podejście jest zarówno bardziej zwięzłe, jak i bardziej abstrakcyjne. Z tego punktu widzenia:

  • reprezentacją grupy G na przestrzeni wektorowej V jest homomorfizm grupy φ : G → GL( V , F );
  • reprezentacją algebry asocjacyjnej A na przestrzeni wektorowej V jest homomorfizm algebry φ : A → End F ( V );
  • reprezentacją algebry Liego 𝖆 na przestrzeni wektorowej V jest homomorfizm algebry Liego φ : 𝖆 → gl ( V , F ).

Terminologia

Przestrzeń wektor V jest nazywany reprezentacji przestrzeni o cp i jej wymiar (jeśli skończonych) nazywa się wymiar reprezentacji (czasami stopni , tak jak w). Powszechną praktyką jest również odwoływanie się do samego V jako reprezentacji, gdy homomorfizm φ jest jasny z kontekstu; w przeciwnym razie notacja ( V , φ ) może być użyta do oznaczenia reprezentacji.

Gdy V ma skończony wymiar n , można wybrać podstawę dla V do identyfikacji V z F n , a tym samym odzyskać reprezentację macierzową z wpisami w polu F .

Reprezentacja efektywna lub wierna to reprezentacja ( V , φ ), dla której homomorfizm φ jest injektywny .

Mapy ekwiwariantne i izomorfizmy

Jeśli V i W są przestrzeniami wektorowymi nad F , wyposażonymi w reprezentacje φ i ψ grupy G , to odwzorowanie ekwiwariantne od V do W jest odwzorowaniem liniowym α : VW takim, że

wszystkie g z G i V w V . W kategoriach φ : G → GL( V ) i ψ : G → GL( W ), oznacza to

dla wszystkich g w G , czyli następujący diagram komutuje :

Schemat przemienny mapy ekwiwariantnej.png

Podobnie definiuje się mapy ekwiwariantne dla reprezentacji algebry asocjacyjnej lub Liego. Jeśli α jest odwracalne, to mówi się, że jest izomorfizmem , w którym to przypadku V i W (a dokładniej φ i ψ ) są reprezentacjami izomorficznymi , również sformułowanymi jako reprezentacje równoważne . Mapa ekwiwariantna jest często nazywana przeplatającą się mapą reprezentacji. Również w przypadku grupy G jest to czasami nazywane G- mapą.

Reprezentacje izomorficzne są, ze względów praktycznych, „takie same”; dostarczają tych samych informacji o reprezentowanej grupie lub algebrze. Teoria reprezentacji stara się zatem klasyfikować reprezentacje aż do izomorfizmu .

Subreprezentacje, ilorazy i reprezentacje nieredukowalne

Jeśli jest reprezentacją (powiedzmy) grupy , i jest liniową podprzestrzenią, która jest zachowana przez działanie w tym sensie, że dla wszystkich i , ( Serre nazywa te stabilne pod ), to nazywa się podreprezentacją : przez zdefiniowanie

gdzie jest ograniczeniem do , jest reprezentacją i włączeniem jest mapą ekwiwariantną. Przestrzeń ilorazu można również przekształcić w reprezentację . Jeśli ma dokładnie dwie podreprezentacje, mianowicie trywialną podprzestrzeń {0} i samą siebie, wtedy mówi się, że reprezentacja jest nieredukowalna ; jeśli ma odpowiednią nietrywialną podreprezentację, mówi się, że reprezentacja jest redukowalna . Definicja reprezentacji nieredukowalnej implikuje lemat Schura : odwzorowanie ekwiwariantne

między nieredukowalnymi reprezentacjami jest albo mapa zerowa, albo izomorfizm, ponieważ jej jądro i obraz są podreprezentacjami. W szczególności, w przypadku , pokazuje, że equivariant endomorfizm w postaci asocjacyjna podział Algebra na polu bazowego F . Jeśli F jest algebraicznie domknięta , jedynymi ekwiwariantnymi endomorfizmami reprezentacji nieredukowalnej są skalarne wielokrotności identyczności. Reprezentacje nieredukowalne są budulcem teorii reprezentacji dla wielu grup: jeśli reprezentacja nie jest nieredukowalna, to jest zbudowana z podreprezentacji i ilorazu, które są w pewnym sensie „prostsze”; na przykład, jeśli jest skończenie wymiarowa, to zarówno podreprezentacja, jak i iloraz mają mniejszy wymiar. Istnieją kontrprzykłady, w których reprezentacja ma podreprezentację, ale ma tylko jeden nietrywialny nieredukowalny składnik. Na przykład grupa dodatków ma dwuwymiarową reprezentację

Grupa ta ma wektor ustalony przez ten homomorfizm, ale podprzestrzeń dopełnienia odwzorowuje na

dając tylko jedną nieredukowalną subreprenację. Odnosi się to do wszystkich grup jednomocnych str . 112 .

Sumy bezpośrednie i nierozkładalne reprezentacje

Jeśli ( V , φ ) i ( W , ψ ) są reprezentacjami (powiedzmy) grupy G , a następnie bezpośrednie suma z V i W jest przedstawieniem w kanonicznym sposób za pomocą równania

Bezpośredni sumą dwóch przedstawień niesie nie więcej informacji o grupie G niż dwie reprezentacje zrobić indywidualnie. Jeśli reprezentacja jest bezpośrednią sumą dwóch właściwych nietrywialnych podreprezentacji, mówi się, że jest rozkładalna. W przeciwnym razie mówi się, że jest nierozkładalny.

Całkowita redukowalność

W sprzyjających okolicznościach każda reprezentacja skończenie wymiarowa jest bezpośrednią sumą reprezentacji nieredukowalnych: mówi się, że takie reprezentacje są półproste . W tym przypadku wystarczy zrozumieć tylko nieredukowalne reprezentacje. Przykłady, w których występuje to zjawisko „ całkowitej redukowalności ”, obejmują grupy skończone (patrz twierdzenie Maschkego ), grupy zwarte i półproste algebry Liego.

W przypadkach, w których nie zachodzi całkowita redukowalność, należy zrozumieć, jak nierozkładalne reprezentacje mogą być budowane z nieredukowalnych reprezentacji jako rozszerzenia ilorazu przez podreprezentację.

Iloczyny tensorowe reprezentacji

Załóżmy i są reprezentacjami grupy . Następnie możemy utworzyć reprezentację G działającego na przestrzeni wektorowej iloczynu tensorowego w następujący sposób:

.

Jeśli i są reprezentacjami algebry Liego, to poprawną formułą do użycia jest

.

Ten produkt może być rozpoznany jako koprodukt na kogebrze . Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn tensorowy reprezentacji nieredukowalnych nie jest nieredukowalny; proces dekompozycji iloczynu tensorowego jako bezpośredniej sumy reprezentacji nieredukowalnych jest znany jako teoria Clebscha-Gordana .

W przypadku teorii reprezentacji grupy SU(2) (lub równoważnie jej złożonej algebry Liego ) rozkład jest łatwy do rozpracowania. Reprezentacje nieredukowalne są oznaczone parametrem, który jest nieujemną liczbą całkowitą lub pół liczbą całkowitą; przedstawienie ma wtedy wymiar . Załóżmy, że bierzemy iloczyn tensorowy reprezentacji dwóch reprezentacji, z etykietami i gdzie zakładamy . Następnie iloczyn tensorowy rozkłada się jako suma bezpośrednia jednej kopii każdej reprezentacji z etykietą , gdzie waha się od do w przyrostach o 1. Jeśli na przykład , to występują wartości 0, 1 i 2. Tak więc reprezentacja iloczynu tensorowego wymiaru rozkłada się jako bezpośrednia suma reprezentacji jednowymiarowej na reprezentację trójwymiarową i reprezentację pięciowymiarową .

Branże i tematy

Teoria reprezentacji wyróżnia się liczbą gałęzi, które ma, oraz różnorodnością podejść do badania reprezentacji grup i algebr. Chociaż wszystkie teorie mają wspólne omówione już podstawowe pojęcia, różnią się znacznie w szczegółach. Różnice są co najmniej 3-krotne:

  1. Teoria reprezentacji zależy od typu reprezentowanego obiektu algebraicznego. Istnieje kilka różnych klas grup, algebr asocjacyjnych i algebr Liego, a ich teorie reprezentacji mają indywidualny charakter.
  2. Teoria reprezentacji zależy od natury przestrzeni wektorowej, na której reprezentowany jest obiekt algebraiczny. Najważniejszym rozróżnieniem są reprezentacje skończenie wymiarowe i nieskończenie wymiarowe. W przypadku nieskończonej-wymiarowej, dodatkowe struktury są ważne (na przykład, czy przestrzeń jest przestrzeń Hilberta , przestrzeń Banacha , itd.). W przypadku skończenie wymiarowym można również narzucić dodatkowe struktury algebraiczne.
  3. Teoria reprezentacji zależy od rodzaju pola, nad którym zdefiniowana jest przestrzeń wektorowa. Najważniejszymi przypadkami są ciała liczb zespolonych, ciała liczb rzeczywistych, ciała skończone oraz ciała liczb p-adycznych . Dodatkowe trudności pojawiają się dla ciał o charakterystyce dodatniej oraz dla ciał, które nie są algebraicznie domknięte .

Grupy skończone

Reprezentacje grupowe są bardzo ważnym narzędziem w badaniu grup skończonych. Pojawiają się one również w zastosowaniach teorii grup skończonych w geometrii i krystalografii . Reprezentacje grup skończonych wykazują wiele cech ogólnej teorii i wskazują drogę do innych gałęzi i tematów teorii reprezentacji.

Na polu charakterystycznym zero reprezentacja skończonej grupy G ma szereg wygodnych własności. Po pierwsze, reprezentacje G są półproste (całkowicie redukowalne). Jest to konsekwencją twierdzenia MASCHKE użytkownika , który stanowi, że każdy subrepresentation V z G -representation W ma G -invariant dopełniacza. Jednym z dowodów jest wybranie dowolnego rzutu π od W do V i zastąpienie go przez jego średnią π G zdefiniowaną przez

π G jest ekwiwariantem, a jego jądro jest wymaganym dopełnieniem.

Skończenie wymiarowe reprezentacje G można zrozumieć za pomocą teorii znaków : charakter reprezentacji φ : G → GL( V ) jest funkcją klasy χ φ : GF zdefiniowaną przez

gdzie jest ślad . Nieredukowalna reprezentacja G jest całkowicie zdeterminowana przez jej charakter.

Twierdzenie MASCHKE trzyma bardziej ogólnie, do dziedzin pozytywnej charakterystycznym p , takich jak skończonych dziedzinach , jak długo prime p jest względnie pierwsze w kolejności od G . Gdy p i | G | mają wspólny czynnik , istnieją G -reprezentacje , które nie są półproste , które są badane w podgałęzie zwanej modułową teorią reprezentacji .

Techniki uśredniania pokazują również, że jeśli F jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną, to każda reprezentacja G zachowuje iloczyn skalarny na V w tym sensie, że

dla wszystkich g w G i v , w w W . Stąd każda reprezentacja G jest unitarna .

Reprezentacje unitarne są automatycznie półproste, ponieważ wynik Maschkego można udowodnić, biorąc dopełnienie ortogonalne podreprezentacji. Podczas badania reprezentacji grup, które nie są skończone, reprezentacje unitarne zapewniają dobre uogólnienie rzeczywistych i złożonych reprezentacji skończonej grupy.

Wyniki, takie jak twierdzenie Maschkego i własność unitarna, która opiera się na uśrednianiu, można uogólnić na bardziej ogólne grupy, zastępując średnią całką, pod warunkiem, że można zdefiniować odpowiednie pojęcie całki. Można to zrobić dla zwartych grup topologicznych (w tym zwartych grup Liego), używając miary Haara , a uzyskana teoria jest znana jako abstrakcyjna analiza harmoniczna .

Na dowolnych polach inną klasą skończonych grup, które mają dobrą teorię reprezentacji, są skończone grupy typu Lie . Ważnymi przykładami są liniowe grupy algebraiczne nad ciałami skończonymi. Teoria reprezentacji liniowych grup algebraicznych i grup Liego rozszerza te przykłady na grupy nieskończenie wymiarowe, przy czym te ostatnie są ściśle związane z reprezentacjami algebry Liego . Znaczenie teorii znaków dla grup skończonych ma odpowiednik w teorii wag dla reprezentacji grup Liego i algebr Liego.

Reprezentacje skończonej grupy G są również bezpośrednio powiązane z reprezentacjami algebry poprzez algebra grup F [ G ], która jest przestrzenią wektorową nad F z elementami G jako bazą, wyposażoną w operację mnożenia zdefiniowaną przez operację grupową, liniowość , oraz wymaganie, aby operacja grupowa i mnożenie skalarne przemijały.

Reprezentacje modułowe

Reprezentacje modułowe skończonej grupy G to reprezentacje nad ciałem, którego charakterystyka nie jest względnie pierwsza do | G |, tak że twierdzenie Maschkego już nie obowiązuje (ponieważ | G | nie jest odwracalne w F i dlatego nie można przez nie dzielić). Niemniej jednak Richard Brauer rozszerzył wiele teorii postaci na reprezentacje modularne i ta teoria odegrała ważną rolę we wczesnym postępie w kierunku klasyfikacji skończonych grup prostych , szczególnie w przypadku grup prostych, których charakterystyka nie była podatna na metody czysto teoretyczne, ponieważ ich sylow 2 - podgrupy były „za małe”.

Oprócz zastosowania w teorii grup, reprezentacje modułowe pojawiają się naturalnie w innych gałęziach matematyki , takich jak geometria algebraiczna , teoria kodowania , kombinatoryka i teoria liczb .

Reprezentacje unitarne

Jednolita przedstawieniem grupy G oznacza liniowy przedstawienie φ z G na rzeczywistym (zwykle) lub kompleks Hilberta przestrzeń V tak, że cp ( g ) jest jednolitym operatora dla każdego gG . Takie reprezentacje są szeroko stosowane w mechanice kwantowej od lat 20. XX wieku, w szczególności dzięki wpływowi Hermanna Weyla , co zainspirowało rozwój teorii, w szczególności poprzez analizę reprezentacji grupy Poincaré przez Eugene'a Wignera . Jednym z pionierów w konstruowaniu ogólnej teorii reprezentacji unitarnych (dla dowolnej grupy G, a nie tylko dla poszczególnych grup użytecznych w zastosowaniach) był George Mackey , a obszerną teorię rozwinęli Harish-Chandra i inni w latach 50. i 60. XX wieku.

Głównym celem jest opisanie „ podwójności unitarnej ”, przestrzeni nieredukowalnych unitarnych reprezentacji G . Teoria jest najlepiej rozwinięta w przypadku, gdy G jest lokalnie zwartą (Hausdorffa) grupą topologiczną, a reprezentacje są silnie ciągłe . Dla G abeliana dualność unitarna jest tylko przestrzenią znaków , podczas gdy dla G zwartej twierdzenie Petera-Weyla pokazuje, że nieredukowalne unitarne reprezentacje są skończenie wymiarowe, a unitarny dual jest dyskretny. Na przykład, jeśli G jest grupą kołową S 1 , to znaki są podane przez liczby całkowite, a unitarna liczba dualna to Z .

W przypadku niezwartego G pytanie, które reprezentacje są jednolite, jest subtelne. Chociaż nieredukowalne reprezentacje unitarne muszą być „dopuszczalne” (jak moduły Harish-Chandra ) i łatwo jest wykryć, które dopuszczalne reprezentacje mają niezdegenerowaną niezmienną formę półtoraliniową , trudno jest określić, kiedy ta forma jest dodatnio określona. Skuteczny opis dualizmu unitarnego, nawet dla stosunkowo dobrze wychowanych grup, takich jak rzeczywiste redukcyjne grupy Liego (omówione poniżej), pozostaje ważnym otwartym problemem w teorii reprezentacji. Zostało to rozwiązane dla wielu konkretnych grup, takich jak SL(2, R ) i grupa Lorentza .

Analiza harmoniczna

Dualizm między grupą kołową S 1 i liczbami całkowitymi Z , lub ogólniej, między torusem T n i Z n jest dobrze znany w analizie jako teoria szeregów Fouriera , a transformacja Fouriera podobnie wyraża fakt, że przestrzeń znaków na rzeczywistej przestrzeni wektorowej jest podwójna przestrzeń wektorowa . Tak więc teoria reprezentacji unitarnej i analiza harmoniczna są ze sobą ściśle powiązane, a abstrakcyjna analiza harmoniczna wykorzystuje tę zależność, rozwijając analizę funkcji na lokalnie zwartych grupach topologicznych i powiązanych przestrzeniach.

Głównym celem jest dostarczenie ogólnej postaci transformaty Fouriera i twierdzenia Plancherela . Odbywa się to przez konstruowanie środka NA jednolity podwójne i izomorfizm pomiędzy stałą obecność na G w przestrzeni L 2 ( G ) o kwadratowych zabudowy funkcji na G i ich reprezentacji w przestrzeni L 2 działa na jednolity podwójnego. Pontrjagin dwoistość i Peter-Weyl Twierdzenie to osiągnąć za Abelowych i zwartej G odpowiednio.

Inne podejście polega na rozważeniu wszystkich reprezentacji jednostkowych, a nie tylko tych nieredukowalnych. Tworzą one kategorię , a dualizm Tannaka-Krein zapewnia sposób na odzyskanie zwartej grupy z jej kategorii unitarnych reprezentacji.

Jeśli grupa nie jest ani abelowa, ani zwarta, nie jest znana żadna ogólna teoria z analogiem twierdzenia Plancherela lub inwersji Fouriera, chociaż Alexander Grothendieck rozszerzył dualność Tannaki-Kreina na związek między liniowymi grupami algebraicznymi a kategoriami tannakiańskimi .

Analiza harmoniczna została również rozszerzona z analizy funkcji na grupie G do funkcji na przestrzeniach jednorodnych dla G . Teoria ta jest szczególnie dobrze rozwinięta dla przestrzeni symetrycznych i dostarcza teorii form automorficznych (omówione poniżej).

Grupy kłamstw

Grupa Liego to grupa, która jest również gładką rozmaitością . Wiele klasycznych grup macierzy nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi to grupy Liego. Wiele grup ważnych w fizyce i chemii to grupy Liego, a ich teoria reprezentacji ma kluczowe znaczenie dla zastosowania teorii grup w tych dziedzinach.

Teorię reprezentacji grup Liego można najpierw rozwinąć, biorąc pod uwagę grupy zwarte, do których mają zastosowanie wyniki teorii reprezentacji zwartej. Teoria ta może być rozszerzona na skończenie wymiarowe reprezentacje półprostych grup Liego za pomocą unitarnej sztuczki Weyla : każda półprosta rzeczywista grupa Liego G ma kompleksowość, która jest złożoną grupą Liego G c , a ta złożona grupa Liego ma maksymalnie zwartą podgrupę K . Skończenie wymiarowe reprezentacje G ściśle odpowiadają reprezentacjom K .

Ogólna grupa Lie jest iloczynów produkt z nierozwiązywalnym grupy Lie i półprosty grupy Lie (The rozkładu Levi ). Klasyfikacja reprezentacji rozwiązywalnych grup Liego jest generalnie niewykonalna, ale często łatwa w praktycznych przypadkach. Reprezentacje produktów półpośrednich można następnie analizować za pomocą ogólnych wyników zwanych teorią Mackeya , która jest uogólnieniem metod stosowanych w klasyfikacji reprezentacji grupy Poincaré Wignera .

Algebry kłamstwa

Lie algebra nad polem F jest przestrzenią liniową nad F wyposażony w pochylać-symetrycznej pracy dwuliniowa nazwie wspornik Lie , który spełnia tożsamość Jacobiego . Algebry Liego powstają w szczególności jako przestrzenie styczne do grup Liego w elemencie tożsamości , co prowadzi do ich interpretacji jako „nieskończonych symetrii”. Ważnym podejściem do teorii reprezentacji grup Liego jest badanie odpowiadającej jej teorii reprezentacji algebr Liego, ale reprezentacje algebr Liego mają również nieodłączne znaczenie.

Algebry Liego, podobnie jak grupy Liego, mają rozkład Leviego na części półproste i rozwiązywalne, przy czym teoria reprezentacji rozwiązywalnych algebr Liego jest ogólnie niewykonalna. W przeciwieństwie do tego, skończenie wymiarowe reprezentacje półprostych algebr Liego są całkowicie zrozumiałe, po pracy Élie Cartana . Reprezentacja półprostej algebry Liego 𝖌 jest analizowana przez wybranie podalgebry Cartana , która jest zasadniczo ogólną podalgebrą maksymalną 𝖍 z 𝖌, w której nawias Liego wynosi zero („abelian”). Reprezentację 𝖌 można rozłożyć na przestrzenie wag, które są przestrzeniami własnymi dla działania 𝖍 i nieskończenie małym odpowiednikiem znaków. Struktura półprostych algebr Liego redukuje analizę reprezentacji do łatwo zrozumiałej kombinatoryki możliwych wag, które mogą wystąpić.

Nieskończenie wymiarowe algebry Liego

Istnieje wiele klas nieskończenie wymiarowych algebr Liego, których reprezentacje zostały zbadane. Wśród nich ważną klasą są algebry Kaca-Moody'ego. Ich nazwa pochodzi od Victora Kaca i Roberta Moody'ego , którzy niezależnie je odkryli. Algebry te tworzą uogólnienie skończenie wymiarowych półprostych algebr Liego i mają wiele wspólnych właściwości kombinatorycznych. Oznacza to, że mają klasę reprezentacji, które można rozumieć w taki sam sposób, jak reprezentacje półprostych algebr Liego.

Algebry Affine Lie są szczególnym przypadkiem algebr Kaca-Moody'ego, które mają szczególne znaczenie w matematyce i fizyce teoretycznej , zwłaszcza w teorii pola konforemnego i teorii modeli dokładnie rozwiązywalnych . Kac odkrył elegancki dowód pewnych tożsamości kombinatorycznych, tożsamości Macdonalda , który opiera się na teorii reprezentacji afinicznych algebr Kaca-Moody'ego.

Superalgebry kłamstwa

Superalgebras leżą są uogólnienia Lie algebrach w którym podstawowa ma miejsca wektora do Z 2 -grading i skośnej symetrii i właściwości tożsamości Jacobiego wspornika Lie modyfikowane są przez znaki. Ich teoria reprezentacji jest podobna do teorii reprezentacji algebr Liego.

Liniowe grupy algebraiczne

Liniowe grupy algebraiczne (lub ogólniej schematy grup afinicznych ) są analogami w geometrii algebraicznej grup Liego , ale nad bardziej ogólnymi polami niż tylko R lub C . W szczególności nad polami skończonymi dają one początek skończonym grupom typu Liego . Chociaż liniowe grupy algebraiczne mają klasyfikację bardzo podobną do klasyfikacji grup Liego, ich teoria reprezentacji jest raczej inna (i znacznie gorzej rozumiana) i wymaga innych technik, ponieważ topologia Zariskiego jest stosunkowo słaba, a techniki z analizy nie są już do dyspozycji.

Teoria niezmiennicza

Teoria niezmiennicza bada działania na rozmaitościach algebraicznych z punktu widzenia ich wpływu na funkcje, które tworzą reprezentacje grupy. Klasycznie teoria zajmowała się kwestią jednoznacznego opisu funkcji wielomianowych , które nie zmieniają się lub są niezmienne pod wpływem przekształceń z danej grupy liniowej . Nowoczesne podejście analizuje rozkład tych reprezentacji na nieredukowalne.

Niezmiennicza teoria grup nieskończonych jest nierozerwalnie związana z rozwojem algebry liniowej , zwłaszcza teorii form kwadratowych i wyznaczników . Innym tematem o silnym wzajemnym oddziaływaniu jest geometria projekcyjna , w której do uporządkowania tematu można wykorzystać teorię niezmienniczą, a w latach 60. nowe życie tchnął w przedmiot David Mumford w postaci jego geometrycznej teorii niezmienniczej .

Reprezentacja teoria półprosty Lie grup ma swoje korzenie w teorii stałych i silnych związków między teorią reprezentacji i geometrii algebraicznej mają wiele podobieństw w geometrii różniczkowej, począwszy Felix Klein „s programu Erlangen i Élie Cartan ” s połączeń , które stawiają grup i symetrii w sercu geometrii. Współczesne osiągnięcia łączą teorię reprezentacji i teorię niezmienniczą z dziedzinami tak odmiennymi, jak holonomia , operatory różniczkowe i teoria kilku zmiennych złożonych .

Formy automorficzne i teoria liczb

Formy automorficzne są uogólnieniem form modularnych na bardziej ogólne funkcje analityczne , być może kilku zmiennych złożonych , o podobnych właściwościach transformacji. Uogólnienie polega na zastąpieniu grupy modułowej PSL 2 ( R ) i wybranej podgrupy zbieżność przez półprosty grupy Lie G i dyskretnej podgrupy y . Tak jak formy modularne mogą być traktowane jako formy różniczkowe na ilorazie górnej półprzestrzeni H = PSL 2 ( R )/SO(2), formy automorficzne mogą być traktowane jako formy różniczkowe (lub podobne obiekty) na Γ \ G / K gdzie K jest (zazwyczaj) ą ilość zwarty podgrupa o G . Wymagana jest jednak pewna ostrożność, ponieważ iloraz zazwyczaj ma osobliwości. Iloraz półprostej grupy Liego przez zwartą podgrupę jest przestrzenią symetryczną, a więc teoria form automorficznych jest ściśle związana z analizą harmoniczną na przestrzeniach symetrycznych.

Przed opracowaniem ogólnej teorii szczegółowo opracowano wiele ważnych przypadków specjalnych, w tym formy modularne Hilberta i formy modularne Siegela . Ważnymi wynikami w teorii są formuła śladu Selberga oraz stwierdzenie Roberta Langlandsa, że twierdzenie Riemanna-Rocha można zastosować do obliczenia wymiaru przestrzeni form automorficznych. Późniejsze pojęcie „reprezentacji automorficznej” okazało się mieć wielką wartość techniczną w przypadku, gdy G jest grupą algebraiczną , traktowaną jako adeliczna grupa algebraiczna . W rezultacie cała filozofia, program Langlands, rozwinęła się wokół relacji między reprezentacją a własnościami teorii liczb form automorficznych.

Algebry asocjacyjne

W pewnym sensie reprezentacje algebr asocjacyjnych uogólniają zarówno reprezentacje grup, jak i algebry Liego. Reprezentacja grupy indukuje reprezentację odpowiedniej grupy pierścieniowej lub algebry grupowej , podczas gdy reprezentacje algebry Liego odpowiadają bijektywnie reprezentacjom jej uniwersalnej algebry otaczającej . Jednak teoria reprezentacji ogólnych algebr asocjacyjnych nie posiada wszystkich ładnych własności teorii reprezentacji grup i algebr Liego.

Teoria modułów

Rozważając reprezentacje algebry asocjacyjnej, można zapomnieć o podstawowym ciele i po prostu traktować algebrę asocjacyjną jako pierścień, a jej reprezentacje jako moduły. Takie podejście jest zaskakująco owocne: wiele wyników w teorii reprezentacji można interpretować jako szczególne przypadki wyników dotyczących modułów nad pierścieniem.

Algebry Hopfa i grupy kwantowe

Algebry Hopfa umożliwiają ulepszenie teorii reprezentacji algebr asocjacyjnych, przy jednoczesnym zachowaniu teorii reprezentacji grup i algebr Liego jako przypadków specjalnych. W szczególności iloczyn tensorowy dwóch reprezentacji jest reprezentacją, podobnie jak dualna przestrzeń wektorowa.

Algebry Hopfa związane z grupami mają strukturę algebry przemiennej, a więc ogólne algebry Hopfa są znane jako grupy kwantowe , chociaż termin ten jest często ograniczony do pewnych algebr Hopfa powstających jako deformacje grup lub ich uniwersalnych algebr otaczających. Teoria reprezentacji grup kwantowych wniosła zaskakujące spostrzeżenia do teorii reprezentacji grup Liego i algebr Liego, na przykład poprzez kryształową podstawę Kashiwary.

Uogólnienia

Reprezentacje mnogościowe

Ustawiania teoretyczna reprezentacji (znany również jako działanie grupy lub reprezentacji permutacji ) z grupy G na zbiorze X jest podawany przez funkcję p od G do X, X , w zestawie z funkcji od X do X , tak, że dla wszystkich g 1 , g 2 w G i wszystkie x w X :

Ten warunek i aksjomaty dla grupy implikują, że ρ ( g ) jest bijekcją (lub permutacją ) dla wszystkich g w G . W ten sposób możemy równoważnie zdefiniować reprezentację permutacyjną jako homomorfizm grupy od G do symetrycznej grupy S X z X .

Reprezentacje w innych kategoriach

Każdą grupę G można postrzegać jako kategorię z jednym obiektem; morfizmy w tej kategorii to tylko elementy G . Biorąc pod uwagę dowolną kategorii C , A reprezentacja od G do C jest funktor od G do C . Takie funktor zaznacza obiekt X w C i homomorfizm z grupy G AUT ( X ), przy czym grupy automorfizm z X .

W przypadku, gdy C jest Vect F , kategorią przestrzeni wektorowych nad ciałem F , ta definicja jest równoważna reprezentacji liniowej. Podobnie reprezentacja mnogościowa jest po prostu reprezentacją G w kategorii zbiorów .

Inny przykład rozważyć kategoria przestrzeni topologicznych , Top . Reprezentacje w Top to homomorfizmy od G do grupy homeomorfizmu przestrzeni topologicznej X .

Dwa typy reprezentacji ściśle związane z reprezentacjami liniowymi to:

Reprezentacje kategorii

Ponieważ grupy są kategoriami, można również rozważyć reprezentację innych kategorii. Najprostsze uogólnienie to monoidy , czyli kategorie z jednym obiektem. Grupy są monoidami, dla których każdy morfizm jest odwracalny. Monoidy ogólne mają reprezentacje w dowolnej kategorii. W kategorii zbiorów są to działania monoidalne , ale można badać reprezentacje monoidalne na przestrzeniach wektorowych i innych obiektach.

Mówiąc ogólniej, można rozluźnić założenie, że reprezentowana kategoria ma tylko jeden przedmiot. W pełnej ogólności jest to po prostu teoria funktorów między kategoriami i niewiele można powiedzieć.

Jeden szczególny przypadek miał istotny wpływ na teorię reprezentacji, a mianowicie teoria reprezentacji kołczanów. Kołczan jest po prostu grafem skierowanym (z dozwolonymi pętlami i wieloma strzałkami), ale można go przekształcić w kategorię (a także algebrę), biorąc pod uwagę ścieżki na grafie. Reprezentacje takich kategorii/algebr rzuciły światło na kilka aspektów teorii reprezentacji, na przykład poprzez umożliwienie, w niektórych przypadkach, zredukowania pytań z teorii reprezentacji nie-półprostej dotyczących grupy do pytań z teorii reprezentacji półprostej dotyczących kołczanu.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne