Rombikuboktaedr - Rhombicuboctahedron

Rombikuboktaedr
(Kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy)
Rodzaj	Bryła Archimedesa Jednolity wielościan
Elementy	F = 26, E = 48, V = 24 (χ = 2)
Twarze po bokach	8{3}+(6+12){4}
notacja Conway	eC lub AAC aaaT
Symbole Schläfli	rr{4,3} lub ${\ Displaystyle r {\ zacząć {Bmatrix} 4 \ \ 3 \ koniec {Bmatrix}}}$
	t 0,2 {4,3}
Symbol Wythoffa	3 4 | 2
Schemat Coxetera
Grupa symetrii	O h , B 3 , [4,3], (*432), rząd 48
Grupa rotacyjna	O , [4,3] + , (432), rząd 24
Kąt dwuścienny	3-4: 144°44′08″ (144,74°) 4-4: 135°
Bibliografia	U 10 , C 22 , W 13
Nieruchomości	Półregularny wypukły
Kolorowe twarze	3.4.4.4 ( rysunek wierzchołka )
Icositetrahedron deltoidalny ( podwójny wielościan )	Internet

W geometrii , rombikuboktaedr , lub mały rombikuboktaedr , jest bryłą Archimedesa z ośmioma trójkątnymi i osiemnastoma kwadratowymi ścianami. Istnieją 24 identyczne wierzchołki, z których każdy styka się z jednym trójkątem i trzema kwadratami. (Zauważ, że sześć kwadratów ma tylko wierzchołki z trójkątami, podczas gdy pozostałe dwanaście mają wspólną krawędź.) Wielościan ma symetrię oktaedryczną , podobnie jak sześcian i ośmiościan . Jego podwójna jest nazywana ikozytościanem deltoidalnym lub ikozytościanem trapezoidalnym, chociaż jego ściany nie są tak naprawdę prawdziwymi trapezoidami .

Nazwy

Johannes Kepler w Harmonices Mundi (1618) nazwał ten wielościan rombowoboktadrem , co jest skrótem od ściętego rombu prostopadłościennego , a romb prostopadłościenny jest jego nazwą dla dwunastościanu rombowego . Istnieją różne skrócenia o dwunastościan rombowy w topologicznej sześcio-ośmiościan rombowy mały: Wyraźnie jego sprostowania (od lewej), taka, która tworzy jednolity pełny (w środku), a sprostowanie podwójnego sześcio-ośmiościan (po prawej), który jest rdzeniem podwójnego związku .

Można go również nazwać rozszerzonym lub kantelowanym sześcianem lub ośmiościanem , od operacji obcięcia na jednolitym wielościanie .

Od czasu włączenia go do Wings 3D jako „ośmiornicy” ten nieoficjalny przydomek się rozprzestrzenia.

Relacje geometryczne

Rombikuboktaedr może być postrzegany jako rozszerzony sześcian (niebieskie ściany) lub rozszerzony ośmiościan (czerwone ściany).

Istnieją zniekształcenia rombowo-kuboktaedru, które chociaż niektóre ściany nie są foremnymi wielokątami, to nadal są jednorodne w wierzchołkach. Niektóre z nich można wykonać, biorąc sześcian lub ośmiościan i odcinając krawędzie, a następnie przycinając rogi, tak aby powstały wielościan miał sześć kwadratowych i dwanaście prostokątnych ścian. Mają one ośmiościenny symetrii i tworzą ciągłe serie między kostką a ośmiościanu, analogiczny do zakłóceń w dwudziesto-dwunastościan rombowy mały lub czworościennych zniekształceń sześcio-ośmiościan . Jednakże, sześcio-ośmiościan rombowy mały ma również drugi zestaw zakłóceń z sześcioma prostokątne i szesnastu trapezowych twarze, które nie mają ośmiościenny symetria ale raczej T _h symetria, więc są niezmienne w tych samych obrotów jak czworościanu ale różne odbicia.

Linie, wzdłuż których można obracać kostkę Rubika , rzutowane są na kulę, podobną topologicznie identyczną do krawędzi rombowoboktościanu. W rzeczywistości wyprodukowano warianty wykorzystujące mechanizm kostki Rubika, które bardzo przypominają rombikoboktahedron.

Rombiuboktaedr jest używany w trzech jednorodnych mozaikowaniach wypełniających przestrzeń : kantelowym plastrze miodu sześciennego , sześciennym plastrze miodu sześciennego i spłaszczonym sześciennym plastrze miodu .

Sekcja

Rombikuboktaedron można rozciąć na dwie kwadratowe kopuły i centralny ośmiokątny graniastosłup . Obrót jednej kopule o 45 stopni tworzy pseudo rombami-cubocta-Hedron . Oba te wielościany mają tę samą figurę wierzchołkową: 3.4.4.4.

Istnieją trzy pary równoległych płaszczyzn, z których każda przecina rombi-kuboktaedr w ośmiokąt foremny. Rombiuboktaedron można podzielić wzdłuż każdego z nich, aby otrzymać ośmiokątny graniastosłup z regularnymi ścianami i dwoma dodatkowymi wielościanami zwanymi kwadratowymi kopułami , które zaliczają się do brył Johnsona ; jest to zatem wydłużona bikopola kwadratowa orto . Te elementy można ponownie złożyć, aby uzyskać nową bryłę zwaną wydłużoną kwadratową dwukopułą lub pseudorombikuboktaedronem o symetrii kwadratowego antypryzmatu. W tym przypadku wszystkie wierzchołki są lokalnie takie same jak w rombikuboktaedrze, z jednym trójkątem i trzema kwadratami spotykającymi się na każdym z nich, ale nie wszystkie są identyczne w odniesieniu do całego wielościanu, ponieważ niektóre są bliżej osi symetrii niż inne.

	Rombikuboktaedr
	Pseudorhombikuboktaedron

Rzuty prostopadłe

Sześcio-ośmiościan rombowy mały ma sześć specjalne projekcje prostopadłe , skoncentrowany na wierzchołku na dwóch rodzajach krawędzi i trzech rodzajach powierzchni: trójkąty i dwa kwadraty. Ostatnie dwa odpowiadają samolotom B ₂ i A ₂ Coxeter .

Rzuty prostopadłe

Wyśrodkowany przez	Wierzchołek	Krawędź 3-4	Krawędź 4-4	Twarz Kwadrat-1	Twarz Kwadrat-2	Trójkąt twarzy
Solidny
Szkielet
Symetria projekcyjna	[2]	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]
Podwójny

Dachówka sferyczna

Rombikuboktaedron można również przedstawić jako kafelki sferyczne i rzutować na płaszczyznę za pomocą projekcji stereograficznej . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie powierzchnie lub długości. Linie proste na sferze są rzutowane na płaszczyznę jako łuki kołowe.

	(6) wyśrodkowany na kwadracie	(6) wyśrodkowany na kwadracie	(8) trójkąt -centrowany
Rzut prostopadły	Projekcje stereograficzne

Symetria pirytoedryczna

Forma półsymetrii rombowoboktaedru, , istnieje z symetrią pirytoedryczną , [4,3 ⁺ ], (3*2) jako diagram Coxetera , Schläfli symbol s ₂ {3,4} i można go nazwać kantycznym oktaedronem arabskim . Tę formę można zwizualizować poprzez naprzemienne kolorowanie krawędzi 6 kwadratów . Te kwadraty można następnie zniekształcić w prostokąty , podczas gdy 8 trójkątów pozostaje równobocznych. 12 przekątnych kwadratowych ścian stanie się równoramiennymi trapezami . W granicy prostokąty mogą zostać zredukowane do krawędzi, a trapezy stają się trójkątami, a dwudziestościan tworzy ośmiościan z załamaną konstrukcją ośmiościanu ,, s{3,4}. ( Związek dwóch icosahedrów jest zbudowany z obu naprzemiennych pozycji.)

Różnice symetrii pirytoedrycznej
Jednolita geometria	Geometria niejednorodna	Geometria niejednorodna	W limitu icosahedron zadartym ośmiościan,, z jednej z dwóch pozycji.	Związek dwóch ikosedrów z obu naprzemiennych pozycji.

Własności algebraiczne

współrzędne kartezjańskie

Współrzędne kartezjańskie na wierzchołkach sześcio-ośmiościan rombowy mały środku w pochodzenia, o boku 2 jednostki, są wszystkie nawet permutacji z

(±1, ±1, ±(1 + √ 2 )).

Jeśli oryginalny rombikoboktahedron ma jednostkową długość krawędzi, jego podwójny ikozytościan stromobiczny ma długość krawędzi

${\ Displaystyle {\ Frac {2} {7}}{\ sqrt {10-{\ sqrt {2}}}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad {\ sqrt {4-2 {\ sqrt { 2}}}}.}$

Powierzchnia i objętość

Pole A i objętość V rombowoboktaedru o długości krawędzi a wynoszą:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} A & = \ lewo (18 + 2 {\ sqrt {3}} \ prawej) a ^ {2} & & \ około 21,464 \, 1016a ^ {2} \ \ V & = {\ Frac {12+10{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\ok 8.714\,045\,21a^{3}.\end{aligned}}}$

Gęstość ciasnego upakowania

Optymalna frakcja upakowania rombikuboktaedry jest wyrażona wzorem

${\ Displaystyle \eta = {\ tfrac {4}{3}} \ lewo (4 {\ sqrt {2}}-5 \ po prawej)}$.

Zauważono, że ta optymalna wartość jest uzyskiwana w sieci Bravais de Graaf ( 2011 ). Ponieważ rombikuboktaedr jest zawarty w rombowym dwunastościanie, którego wpisana sfera jest identyczna z własną wpisaną sferą, wartość optymalnej frakcji upakowania wynika z hipotezy Keplera : można to osiągnąć umieszczając rombowyboktaedron w każdej komórce rombowego dwunastościanu plaster miodu , i nie można go przekroczyć, ponieważ w przeciwnym razie optymalną gęstość upakowania kulek można by przekroczyć, umieszczając kulkę w każdym rombikoboktaedrze hipotetycznego upakowania, który ją przewyższa.

W sztuce

Portret Luca Pacioli (ok. 1495)

Ilustracja Leonarda da Vinci w Divina protocole ( 1509)

Portret Luca Pacioli z 1495 roku , tradycyjnie przypisywany Jacopo de'Barbari , zawiera szklany rombikoboktahedr wypełniony do połowy wodą, który mógł zostać namalowany przez Leonarda da Vinci . Pierwsza drukowana wersja sześcio-ośmiościan rombowy mały był Leonardo i pojawił się w Pacioli „s Divina proportione (1509).

Panorama sferyczna 180° × 360° może być rzutowana na dowolny wielościan; ale rombikuboktaedr zapewnia wystarczająco dobre przybliżenie kuli, będąc jednocześnie łatwym do zbudowania. Ten typ projekcji, zwany Philosphere , jest możliwy w niektórych programach do składania panoram. Składa się z dwóch obrazów, które są drukowane osobno i wycinane nożyczkami z pozostawieniem kilku klapek do montażu za pomocą kleju.

Obiekty

W Freescape gry Driller i ciemnej strony obaj mieliśmy mapę grę w postaci sześcio-ośmiościan rombowy mały.

„Galaktyka pośpiechu” i „Galaktyka Sea Slide Galaxy” w grze wideo Super Mario Galaxy mają planety w kształcie rombikuboktaedru.

Sonic the Hedgehog 3 ' s Icecap Strefa dysponuje filary zwieńczona rhombicuboctahedra.

Podczas szaleństwa na kostce Rubika w latach 80., co najmniej dwie skręcone puzzle miały formę rombowo -sześcianu (mechanizm był podobny do Kostki Rubika ).

• 

  Zegar słoneczny (1596)

• 

  Zegar słoneczny

• 

  Lampy uliczne w Moguncji

• 

  Umrzyj z 18 oznaczonymi twarzami

• 

  Cabela za cel strzelanie

• 

  Wąż Rubika

• 

  Odmiana kostki Rubika

• 

  Kryształ pirytu

Powiązane wielościany

Rombiuboktaedron należy do rodziny jednostajnych wielościanów spokrewnionych z sześcianem i regularnym ośmiościanem.

Jednolite wielościany ośmiościenne
Symetria : [4,3], (*432)							[4,3] + (432)	[1 + ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 + ,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3 1,1 }	t{3,4} t{3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr{4,3} s 2 {3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	godz.{4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3 1,1 }
		=	=	=				= lub	= lub	=
Duals do jednolitych wielościanów
V4 3	V3.8 2	V(3.4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	Wersja 4.6.8	V3 4 0,4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Mutacje symetrii

Ten wielościan jest topologicznie powiązany jako część sekwencji wielościanów kantelowych z figurą wierzchołkową (3.4. n .4) i kontynuuje jako kafelki płaszczyzny hiperbolicznej . Te figury przechodnie wierzchołkowe mają (* n 32) symetrię refleksyjną .

* n 32 mutacja symetrii rozszerzonych płytek: 3.4. n .4
Symetria * n 32 [n,3]	Kulisty				Euklidesa.	Kompaktowa hiperb.		Parakomp.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Postać
Konfig.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

* n 42 mutacja symetrii rozszerzonych płytek : n 0,4.4.4 v T mi
Symetria [n,4], (* n 42)	Kulisty	Euklidesa	Kompaktowy hiperboliczny				Parakomp.
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Rozszerzone figury
Konfig.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	.4.4.4
Konfiguracja figur rombowych .	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Układ wierzchołków

Dzieli swój układ wierzchołków z trzema niewypukłymi jednolitymi wielościanami : gwiaździstym sześcianem ściętym , małym rombem sześcianem (mający wspólne trójkątne i sześć kwadratowych ścian) oraz małym sześciennym sześcianem (mający dwanaście kwadratowych ścian).

Rombikuboktaedr

Mały prostopadłościan sześcienny

Mały romb sześcian

Sześcian ścięty z gwiazdą

Wykres rombowo-oktaedryczny
4-krotna symetria
Wierzchołki	24
Krawędzie	48
Automorfizmy	48
Nieruchomości	Wykres kwarcowy , hamiltonian , regularny
Tabela wykresów i parametrów

Wykres rombowo-oktaedryczny

W matematycznej dziedzinie teorii wykres , A rhombicuboctahedral wykres jest wykresem wierzchołkach i krawędziach, z sześcio-ośmiościan rombowy mały, jeden z Archimedesa stałych . Ma 24 wierzchołki i 48 krawędzi i jest grafem kwarcowym grafem Archimedesa .

Zobacz też

• Związek pięciu rombikuboktaedrów
• Sześcian
• sześcian sześcienny
• Niewypukła wielka rombikuboktaedr
• Ścięty rombikoboktahedr
• Podłużna kwadratowa gyrobicupola
• Morawska gwiazda
• Oktaedr
• Dwudziesto-dwunastościan rombowy
• Wąż Rubika – zagadka, z której można utworzyć „kulę” rombowo-sześcianową
• Biblioteka Narodowa Białorusi – jej główny element architektoniczny ma kształt rombowoboktościanu.
• Ścięty prostopadłościan (wielki rombikoboktahedron)

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki

• Eric W. Weisstein , Rhombicuboctahedron ( bryła Archimedesa ) w MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. „Mały wykres rombikuboktaedryczny” . MatematykaŚwiat .
• Klitzing, Richard. "Wypukły jednolity wielościan 3D x3o4x - sirco" .
• Jednolite wielościany
• Wielościany wirtualnej rzeczywistości Encyklopedia wielościanów
• Edytowalna, drukowalna siatka rombowo-boktościanu z interaktywnym widokiem 3D
• Rhombicuboctahedron Star autorstwa Sándora Kabai, Wolfram Demonstrations Project .
• Rombikuboktaedron: papierowe paski do wyplatania