Średnia kwadratowa - Root mean square

W matematyce i jej zastosowaniach, średni pierwiastek kwadratowy ( RMS lub RMS lub RMS ) definiuje się jako pierwiastek kwadratowy z Mean Square (The średnia arytmetyczna z kwadratów o zbiorze liczb). RMS jest również znany jako średnia kwadratowa i jest szczególnym przypadkiem uogólnionej średniej z wykładnikiem 2. RMS można również zdefiniować dla funkcji zmieniającej się w sposób ciągły jako całkę kwadratów wartości chwilowych podczas cyklu.

Dla zmiennego prądu elektrycznego RMS jest równa wartości stałego prądu stałego , który powodowałby takie samo rozpraszanie mocy w obciążeniu rezystancyjnym .

W teorii estymacji The odchylenie korzeń średnią kwadratową estymatora jest miarą niedoskonałości dopasowania estymatora do danych.

Definicja

Wartość RMS zbioru wartości (lub przebiegu w czasie ciągłym ) to pierwiastek kwadratowy średniej arytmetycznej kwadratów wartości lub kwadrat funkcji definiującej przebieg ciągły. W fizyce wartość skuteczną prądu można również zdefiniować jako „wartość prądu stałego, który rozprasza taką samą moc w rezystorze”.

W przypadku zbioru n wartości RMS wynosi

Odpowiedni wzór na funkcję ciągłą (lub przebieg) f ( t ) zdefiniowany w przedziale to

a RMS dla funkcji przez cały czas to

RMS przez cały czas funkcji okresowej jest równy RMS jednego okresu funkcji. Wartość RMS ciągłej funkcji lub sygnału można aproksymować, pobierając RMS próbki składającej się z równo rozmieszczonych obserwacji. Dodatkowo wartość RMS różnych przebiegów można również określić bez rachunku różniczkowego , jak pokazuje Cartwright.

W przypadku statystyki RMS z procesu losowego The oczekiwana wartość jest używana zamiast średniej.

W typowych falach

Przebiegi sinusoidalne , kwadratowe , trójkątne i piłokształtne . W każdym z nich linia środkowa znajduje się w punkcie 0, szczyt dodatni znajduje się w punkcie, a pik ujemny w punkcie
Prostokątna fala impulsu o cyklu pracy D, stosunek czasu trwania impulsu ( ) do okresu (T); zilustrowane tutaj z a = 1.
Wykres napięcia fali sinusoidalnej w funkcji czasu (w stopniach), pokazujący wartości skuteczne, wartości szczytowe (PK) i wartości międzyszczytowe (PP).

Jeśli kształt fali jest czystą sinusoidą , relacje między amplitudami (peak-to-peak, peak) i RMS są stałe i znane, tak jak dla każdej ciągłej fali okresowej . Nie dotyczy to jednak arbitralnego przebiegu, który może nie być okresowy ani ciągły. Dla fali sinusoidalnej o średniej zerowej zależność między RMS a amplitudą międzyszczytową wynosi:

Od szczytu do szczytu

W przypadku innych przebiegów relacje nie są takie same, jak w przypadku fal sinusoidalnych. Na przykład dla fali trójkątnej lub piłokształtnej

Od szczytu do szczytu
Przebieg Zmienne i operatory RMS
DC
Sinusoida
Kwadratowa fala
Przesunięta fala prostokątna DC
Zmodyfikowana fala sinusoidalna
Fala trójkąta
Fala piłokształtna
Fala tętna
Napięcie międzyfazowe
gdzie:
y jest przemieszczeniem,
t czas,
f to częstotliwość,
A i to amplituda (wartość szczytowa),
D jest cyklem pracy lub proporcją czasu (1/ f ) spędzonego wysoko,
szczelinowanie ( R ) jest ułamkowej części z r .

W kombinacjach przebiegów

Przebiegi utworzone przez zsumowanie znanych prostych przebiegów mają wartość RMS, która jest pierwiastkiem sumy kwadratów wartości RMS składowych, jeśli przebiegi składowe są ortogonalne (to znaczy, jeżeli średnia iloczynu jednego prostego przebiegu z drugim wynosi zero dla wszystkich par innych niż same czasy przebiegu).

Alternatywnie, dla przebiegów, które są doskonale dodatnio skorelowane lub „w fazie” ze sobą, ich wartości RMS sumują się bezpośrednio.

Zastosowania

W elektrotechnice

Napięcie

Szczególnym przypadkiem RMS kombinacji przebiegów jest:

gdzie odnosi się do składowej prądu stałego (lub średniej) sygnału i jest składową prądu przemiennego sygnału.

Średnia moc elektryczna

Inżynierowie elektrycy często muszą znać moc , P , rozpraszaną przez opór elektryczny , R . Łatwo jest wykonać obliczenia, gdy przez rezystancję przepływa stały prąd , I . Dla obciążenia R omów moc jest definiowana jako:

Jeśli jednak prąd jest funkcją zmienną w czasie, I ( t ), wzór ten musi zostać rozszerzony, aby odzwierciedlić fakt, że prąd (a tym samym moc chwilowa) zmienia się w czasie. Jeśli funkcja jest okresowa (np. moc prądu przemiennego w gospodarstwie domowym), nadal warto omówić średnią rozpraszaną moc w czasie, która jest obliczana na podstawie średniej rozpraszanej mocy:

Tak więc wartość RMS, I RMS , funkcji I ( t ) jest stałym prądem, który daje takie samo rozpraszanie mocy jak uśrednione w czasie rozpraszanie mocy prądu I ( t ).

Średnia moc można znaleźć również przy użyciu tej samej metody, która w przypadku zmiennej w czasie napięcia , V ( t ), o wartości RMS V RMS ,

To równanie może być używane dla dowolnego przebiegu okresowego , takiego jak przebieg sinusoidalny lub piłokształtny , co pozwala nam obliczyć średnią moc dostarczoną do określonego obciążenia.

Wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu tych równań i mnożąc je razem, otrzymujemy:

Oba wyprowadzenia zależą od proporcjonalności napięcia i prądu (tj. obciążenie, R , jest czysto rezystancyjne). Obciążenia bierne (to znaczy obciążenia zdolne nie tylko do rozpraszania energii, ale także do jej magazynowania) omówiono pod tematem zasilania prądem przemiennym .

W powszechnym przypadku prądu przemiennego, gdy I ( t ) jest prądem sinusoidalnym , co jest w przybliżeniu prawdą w przypadku zasilania sieciowego, wartość skuteczną można łatwo obliczyć z powyższego równania przypadku ciągłego. Jeśli I p jest zdefiniowany jako prąd szczytowy, to:

gdzie t to czas, a ω to częstotliwość kątowa ( ω  = 2 π / T , gdzie T to okres fali).

Ponieważ I p jest stałą dodatnią:

Użycie tożsamości trygonometrycznej do wyeliminowania kwadratury funkcji trygonometrycznej:

ale ponieważ przedział jest całkowitą liczbą pełnych cykli (zgodnie z definicją RMS), człony sinusowe zniosą się, pozostawiając:

Podobna analiza prowadzi do analogicznego równania dla napięcia sinusoidalnego:

gdzie I P reprezentuje prąd szczytowy, a V P reprezentuje napięcie szczytowe.

Ze względu na ich przydatność w obliczeniach mocy, podane napięcia dla gniazdek (np. 120  V w USA, 230  V w Europie) są prawie zawsze podawane w wartościach skutecznych, a nie szczytowych. Wartości szczytowe mogą być obliczane z wartości RMS z powyższego wzoru, oznacza, V P  =  V RMS  ×  2 , zakładając, że źródło jest sinusoidalne. Zatem szczytowa wartość napięcia sieciowego w USA wynosi około 120 ×  2 , czyli około 170 woltów. Napięcie międzyszczytowe, które jest dwa razy większe, wynosi około 340 woltów. Podobne obliczenia wskazują, że szczytowe napięcie sieciowe w Europie wynosi około 325 woltów, a szczytowe napięcie sieciowe około 650 woltów.

Wielkości skuteczne, takie jak prąd elektryczny, są zwykle obliczane w ciągu jednego cyklu. Jednak dla niektórych celów przy obliczaniu strat mocy przesyłowej wymagany jest prąd RMS w dłuższym okresie. Obowiązuje ta sama zasada i (na przykład) prąd o natężeniu 10 amperów używany przez 12 godzin w ciągu doby reprezentuje średni prąd 5 amperów, ale w dłuższej perspektywie prąd skuteczny 7,07 amperów.

Termin moc RMS jest czasami błędnie używany w przemyśle audio jako synonim mocy średniej lub mocy średniej (jest proporcjonalny do kwadratu napięcia RMS lub prądu RMS w obciążeniu rezystancyjnym). Aby zapoznać się z omówieniem pomiarów mocy dźwięku i ich wadami, zobacz Moc dźwięku .

Prędkość

W fizyce z gazu cząsteczkami, przy czym prędkość głównego średnią kwadratową jest zdefiniowana jako pierwiastka kwadratowego średniego kwadratu prędkości. Prędkość skuteczną gazu doskonałego oblicza się za pomocą następującego równania:

gdzie R reprezentuje stałą gazową , 8,314 J/(mol·K), T jest temperaturą gazu w kelwinach , a M jest masą molową gazu w kilogramach na mol. W fizyce prędkość definiuje się jako skalarną wielkość prędkości. W przypadku gazu stacjonarnego średnia prędkość jego cząsteczek może być rzędu tysięcy km/h, mimo że średnia prędkość jego cząsteczek wynosi zero.

Błąd

Kiedy porównuje się dwa zestawy danych — na przykład jeden z przewidywań teoretycznych, a drugi z rzeczywistego pomiaru jakiejś zmiennej fizycznej — RMS różnic w parach dwóch zestawów danych może służyć jako miara, jak daleko średnio wynosi błąd od 0. Średnia wartości bezwzględnych różnic parami mogłaby być użyteczną miarą zmienności różnic. Jednak RMS różnic jest zwykle preferowaną miarą, prawdopodobnie ze względu na konwencję matematyczną i zgodność z innymi wzorami.

W dziedzinie częstotliwości

RMS można obliczyć w dziedzinie częstotliwości, korzystając z twierdzenia Parsevala . Dla próbkowanego sygnału , gdzie jest okres próbkowania,

gdzie i N to wielkość próby, czyli liczba obserwacji w próbie i współczynniki FFT.

W tym przypadku RMS obliczona w domenie czasu jest taka sama jak w domenie częstotliwości:

Związek z innymi statystykami

Geometryczne dowód bez słów , że maksymalna  ( , b ) > średnia kwadratowa ( RMS ) lub jako średnia kwadratowa ( QM ) > arytmetyczna ( AM ) > średnią geometryczną ( GM ) > średniej harmonicznej ( HM ) > min  ( , b ) od dwie liczby dodatnie a i b

Jeśli jest średnią arytmetyczną i jest odchylenie standardowe z populacji lub przebiegu , a następnie:

Z tego jasno wynika, że ​​wartość RMS jest zawsze większa lub równa średniej, ponieważ RMS obejmuje również „błąd” / odchylenie kwadratowe.

Fizycy często używają terminu pierwiastek średniokwadratowy jako synonimu odchylenia standardowego, gdy można założyć, że sygnał wejściowy ma średnią zerową, to znaczy odnosząc się do pierwiastka kwadratowego odchylenia średniokwadratowego sygnału od danej linii bazowej lub dopasowania. Jest to przydatne dla inżynierów elektryków przy obliczaniu RMS sygnału „tylko AC”. Odchylenie standardowe będące wartością skuteczną zmienności sygnału względem średniej, a nie około 0, składowa DC jest usuwana (tj. RMS(sygnał) = stdev(sygnał), jeśli średni sygnał wynosi 0).

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki