Numer samoopisowy - Self-descriptive number

W matematyce liczbą samoopisową jest liczba całkowita m, która w danej podstawie b ma długość b cyfr, przy czym każda cyfra d na pozycji n (najbardziej znacząca cyfra znajduje się na pozycji 0, a najmniej znacząca na pozycji b −1) liczy się ile wystąpień cyfry n jest w m .

Przykład

Na przykład w podstawie 10 liczba 6210001000 ma charakter samoopisowy z następujących powodów:

W podstawie 10 liczba ma 10 cyfr, wskazując jej podstawę;
Zawiera 6 na pozycji 0, co oznacza, że ​​6210001000 zawiera sześć zer;
Zawiera 2 na pozycji 1, co wskazuje, że w 6210001000 są dwie jedynki;
Zawiera 1 na pozycji 2, co wskazuje, że jest jeden 2 w 6210001000;
Zawiera 0 na pozycji 3, co wskazuje, że nie ma 3 w 6210001000;
Zawiera 0 na pozycji 4, co wskazuje, że nie ma 4 w 6210001000;
Zawiera 0 na pozycji 5, co wskazuje, że nie ma 5 w 6210001000;
Zawiera 1 na pozycji 6, co oznacza, że ​​jest 6 w 6210001000;
Zawiera 0 na pozycji 7, co wskazuje, że nie ma 7 w 6210001000;
Zawiera 0 na pozycji 8, co wskazuje, że nie ma 8 w 6210001000;
Zawiera 0 na pozycji 9, co oznacza, że ​​nie ma 9 w 6210001000.

W różnych bazach

W podstawach 1, 2, 3 lub 6 nie ma liczb samoopisowych. W podstawach 7 i wyższych istnieje, jeśli nic więcej, liczba samoopisowa postaci , która ma b -4 wystąpienia cyfry 0, dwa wystąpienia cyfry 1, jedno wystąpienie cyfry 2, jedno wystąpienie cyfry b - 4 i żadnych innych cyfr. Poniższa tabela zawiera listę liczb samoopisowych w kilku wybranych bazach:

Baza Numery samoopisowe (sekwencja A138480 w OEIS ) Wartości o podstawie 10 (sekwencja A108551 w OEIS )
4 1210, 2020 100 , 136
5 21200 1425
7 3211000 389305
8 42101000 8946176
9 521001000 225331713
10 6210001000 6210001000
11 72100001000 186492227801
12 821000001000 6073061476032
... ... ...
16 C210000000001000 13983676842985394176
... ... ...
36 W21000 ... 0001000
( Wielokropek pomija 23 zer) 		Około. 9,4733 × 10 55
... ... ...

Nieruchomości

Z liczb podanych w tabeli wynika, że ​​wszystkie liczby samoopisowe mają sumy cyfrowe równe ich podstawie i są wielokrotnościami tej podstawy. Pierwszy fakt wynika w sposób trywialny z faktu, że suma cyfr jest równa całkowitej liczbie cyfr, która jest równa podstawie, z definicji liczby samoopisowej.

Że liczba samoopisowa o podstawie b musi być wielokrotnością tej podstawy (lub równoważnie, że ostatnia cyfra liczby samoopisowej musi wynosić 0) może zostać udowodniona przez sprzeczność w następujący sposób: załóżmy, że w rzeczywistości istnieje ja -opisowa liczba m w podstawie b , czyli b -długość cyfr, ale nie wielokrotność b . Cyfra na pozycji b - 1 musi wynosić co najmniej 1, co oznacza, że ​​istnieje co najmniej jedno wystąpienie cyfry b - 1 wm . Bez względu na położenie x cyfrę, b - 1 opada w, musi wynosić przynajmniej b - 1 przypadkach cyfrowego x w m . Dlatego mamy co najmniej jedno wystąpienie cyfry 1 i b - 1 wystąpienie x . Jeśli x > 1, to m ma więcej niż b cyfr, co prowadzi do sprzeczności z naszym początkowym stwierdzeniem. A jeśli x = 0 lub 1, to również prowadzi do sprzeczności.

Wynika z tego, że liczba samoopisowa w podstawie b jest liczbą Harshada w podstawie b .

Numery autobiograficzne

Uogólnienie liczb samoopisowych, zwanych numerami autobiograficznymi , pozwala na użycie mniejszej liczby cyfr niż podstawa, o ile cyfry zawarte w liczbie wystarczą, aby całkowicie ją opisać. np. o podstawie 10 3211000 ma 3 zera, 2 jedynki, 1 dwa i 1 trzy. Zwróć uwagę, że zależy to od tego, czy można zawrzeć tyle zer na końcu, ile jest koloru, bez dodawania dalszych informacji o innych obecnych cyfrach.

Ponieważ zera wiodące nie są zapisywane, każdy numer autobiograficzny zawiera co najmniej jedno zero, więc jego pierwsza cyfra jest różna od zera.

Biorąc pod uwagę hipotetyczny przypadek, w którym cyfry są traktowane w odwrotnej kolejności: jednostki to liczba zer, 10 to liczba jedynek itd., Nie ma takich samoopisujących się liczb. Próby skonstruowania jednego skutkują wybuchowym wymogiem dodawania coraz większej liczby cyfr.

Bibliografia

  • Pickover, Clifford (1995). „Rozdział 28, Chaos w Ontario”. Klucze do nieskończoności . Nowy Jork: Wiley. s.  217–219 . ISBN   978-0471118572 .
  • Weisstein, Eric W. „Self-Descriptive Number” . MathWorld .
  • Sloane, N. J. A. (red.). „Sekwencja A108551 (numery samoopisowe w różnych podstawach)” . On-Line Encyclopedia of Integer sekwencji . Fundacja OEIS.
  • Sloane, N. J. A. (red.). „Sekwencja A046043 (numery autobiograficzne)” . On-Line Encyclopedia of Integer sekwencji . Fundacja OEIS.
  • Numery autobiograficzne

Linki zewnętrzne