Model krótkoterminowy - Short-rate model

Model krótkiej stopy procentowej w kontekście instrumentów pochodnych na stopę procentową jest modelem matematycznym, który opisuje przyszłą ewolucję stóp procentowych , opisując przyszłą ewolucję stopy krótkiej , zwykle zapisywanej . ${\ displaystyle r_ {t} \,}$

Krótki kurs

W modelu o krótkim kursie za stochastyczną zmienną stanu przyjmuje się chwilowy kurs kasowy . Krótka stopa jest zatem stopą procentową ( stale składaną, zannualizowaną), po której jednostka może pożyczać pieniądze na nieskończenie krótki okres czasu . Określenie bieżącej krótkiej stopy procentowej nie określa całej krzywej dochodowości . Jednak żaden-arbitrażu argumenty wskazują, że w niektórych dość zrelaksowany warunków technicznych, jeśli model ewolucji jako stochastycznego procesu pod miara martyngałowa , wówczas cena w czasie z obligacji zerokuponowych dojrzewania w czasie z wypłat z 1 jest określana przez ${\ displaystyle r_ {t} \,}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle r_ {t} \,}$ ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle P (t, T) = \ operatorname {E} ^ {Q} \ lewo [\ lewo. \ exp {\ lewo (- \ int _ {t} ^ {T} r_ {s} \, ds \) right)} \ right | {\ mathcal {F}} _ {t} \ right],}$

gdzie jest naturalna filtracja procesu. Stopy procentowe implikowane przez obligacje zerokuponowe tworzą krzywą dochodowości, a dokładniej krzywą zerową. Zatem określenie modelu dla krótkiej stopy określa przyszłe ceny obligacji. Oznacza to, że chwilowe stawki forward są również określane za pomocą zwykłej formuły ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle F (T, T) = - {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe T}} \ ln (P (T, T)).}$

Poszczególne modele krótkoterminowe

W tej sekcji przedstawiono standardowy ruch Browna w neutralnej dla ryzyka miary prawdopodobieństwa i jego różniczkę . Tam, gdzie model jest log-normalny , zakłada się , że zmienna jest zgodna z procesem Ornsteina-Uhlenbecka i przyjmuje się, że tak jest . ${\ displaystyle W_ {t} \,}$${\ Displaystyle DW_ {t} \,}$${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle r_ {t} \,}$${\ displaystyle r_ {t} = \ exp {X_ {t}} \,}$

Modele jednoczynnikowe o krótkim oprocentowaniu

Poniżej przedstawiono modele jednoczynnikowe, w których jeden czynnik stochastyczny - krótka stopa - określa przyszłą ewolucję wszystkich stóp procentowych. Oprócz Rendlemana – Barttera i Ho – Lee, którzy nie wychwytują średniego odwrócenia stóp procentowych, modele te można traktować jako specyficzne przypadki procesów Ornsteina – Uhlenbecka. Modele Vasiceka, Rendlemana – Barttera i CIR mają tylko skończoną liczbę dowolnych parametrów, dlatego nie jest możliwe określenie tych wartości parametrów w taki sposób, aby model pokrywał się z obserwowanymi cenami rynkowymi („kalibracja”). Problem ten można rozwiązać, umożliwiając deterministyczną zmianę parametrów w czasie. W ten sposób modele Ho-Lee i kolejne modele można skalibrować do danych rynkowych, co oznacza, że ​​mogą one dokładnie zwrócić cenę obligacji obejmujących krzywą dochodowości. Implementacja odbywa się zwykle za pomocą ( dwumianowego ) drzewa o krótkim kursie lub symulacji; patrz model kratownicowy (finanse) § Instrumenty pochodne na stopę procentową i metody Monte Carlo do wyceny opcji .

1. Model Mertona (1973) wyjaśnia szybkość krótką następująco : gdzie jest jednowymiarowy ruch Browna pod miarą martyngału punktowego . ${\ displaystyle r_ {t} = r_ {0} + at + \ sigma W_ {t} ^ {*}}$${\ displaystyle W_ {t} ^ {*}}$
2. Model Vasiceka (1977) modeluje krótką stopę jako ; jest często napisane . ${\ Displaystyle dr_ {t} = (\ theta - \ alfa r_ {t}) \, dt + \ sigma \, DW_ {t}}$${\ Displaystyle dr_ {t} = a (b-r_ {t}) \, dt + \ sigma \, DW_ {t}}$
3. Model Rendlemana-Barttera (1980) wyjaśnia krótką stopę jako . ${\ Displaystyle dr_ {t} = \ theta r_ {t} \, dt + \ sigma r_ {t} \, DW_ {t}}$
4. Model Coxa – Ingersolla – Rossa (1985) zakłada , że jest on często pisany . W wyklucza Factor (ogólnie) możliwość ujemnych stóp procentowych. ${\ Displaystyle dr_ {t} = (\ theta - \ alpha r_ {t}) \, dt + {\ sqrt {r_ {t}}} \, \ sigma \, DW_ {t}}$${\ Displaystyle dr_ {t} = a (b-r_ {t}) \, dt + {\ sqrt {r_ {t}}} \, \ sigma \, DW_ {t}}$${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {r_ {t}}}}$
5. Model Ho-Lee (1986) modeluje kurs krótki jako . ${\ Displaystyle dr_ {t} = \ theta _ {t} \, dt + \ sigma \, DW_ {t}}$
6. Model Hull-White (1990) - zwany także rozszerzonym modelem Vasiceka - zakłada . W wielu prezentacjach jeden lub więcej parametrów i nie są zależne od czasu. Model można również zastosować jako log-normalny. Implementacja oparta na siatce jest zwykle trójmianowa . ${\ Displaystyle dr_ {t} = (\ theta _ {t} - \ alfa r_ {t}) \, dt + \ sigma _ {t} \, DW_ {t}}$${\ displaystyle \ theta, \ alpha}$${\ displaystyle \ sigma}$
7. Model Black – Derman – Toy (1990) ma zależną od czasu zmienność kursu krótkiego i nie tylko; model jest lognormalny. ${\ Displaystyle d \ ln (r) = [\ teta _ {t} + {\ frac {\ sigma '_ {t}} {\ sigma _ {t}}} \ ln (r)] dt + \ sigma _ { t} \, dW_ {t}}$${\ Displaystyle d \ ln (r) = \ teta _ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$
8. Model Blacka – Karasińskiego (1991), który jest lognormalny, ma . Model może być postrzegany jako log-normalne zastosowanie Hull-White'a; jego implementacja oparta na siatce jest podobnie trójmianowa (dwumian wymagający różnych kroków czasowych). ${\ Displaystyle d \ ln (r) = [\ teta _ {t} - \ phi _ {t} \ ln (r)] \, dt + \ sigma _ {t} \, DW_ {t}}$
9. Model Kalotaya-Williamsa-Fabozziego (1993) ma krótki współczynnik as , log-normalny odpowiednik modelu Ho-Lee i szczególny przypadek modelu Black-Derman-Toy. Podejście to jest w rzeczywistości podobne do „oryginalnego modelu Salomon Brothers ” (1987), również lognormalnego wariantu Ho-Lee. ${\ Displaystyle d \ ln (r_ {t}) = \ theta _ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$

Modele wieloczynnikowe o krótkim oprocentowaniu

Oprócz powyższych modeli jednoczynnikowych istnieją również modele wieloczynnikowe krótkiej stopy, wśród nich najbardziej znane to model dwuczynnikowy Longstaffa i Schwartza oraz trójczynnikowy model Chen (zwany także „stochastycznym modelem średniej i stochastycznym modelem zmienności” ). Należy zauważyć, że do celów zarządzania ryzykiem, „aby stworzyć realistyczne symulacje stóp procentowych ”, te wieloczynnikowe modele krótkich stóp procentowych są czasami preferowane w stosunku do modeli jednoczynnikowych, ponieważ generują scenariusze, które są generalnie lepiej „spójne z rzeczywistymi ruchy krzywej dochodowości ”.

• Model Longstaffa – Schwartza (1992) zakłada, że ​​dynamika kursu krótkiego jest określona przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} dX_ {t} & = (a_ {t} -bX_ {t}) \, dt + {\ sqrt {X_ {t}}} \, c_ {t} \, DW_ {1t }, \\ [3pt] dY_ {t} & = (d_ {t} -eY_ {t}) \, dt + {\ sqrt {Y_ {t}}} \, f_ {t} \, dW_ {2t}, \ end {aligned}}}$

gdzie krótka stopa jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle dr_ {t} = (\ mu X + \ theta Y) \, dt + \ sigma _ {t} {\ sqrt {Y}} \, DW_ {3t}.}$

• Model Chena (1996), który ma stochastyczną średnią i zmienność kursu krótkiego, jest opisany przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} dr_ {t} & = (\ teta _ {t} - \ alfa _ {t}) \, dt + {\ sqrt {r_ {t}}} \, \ sigma _ {t } \, dW_ {t}, \\ [3pt] d \ alpha _ {t} & = (\ zeta _ {t} - \ alpha _ {t}) \, dt + {\ sqrt {\ alpha _ {t} }} \, \ sigma _ {t} \, dW_ {t}, \\ [3pt] d \ sigma _ {t} & = (\ beta _ {t} - \ sigma _ {t}) \, dt + { \ sqrt {\ sigma _ {t}}} \, \ eta _ {t} \, dW_ {t}. \ end {aligned}}}$

Inne modele stóp procentowych

Innym ważnym schematem modelowania stóp procentowych jest schemat Heatha- Jarrowa -Mortona (HJM). W przeciwieństwie do opisanych powyżej modeli o krótkim kursie, ta klasa modeli jest generalnie niemarkowska. To sprawia, że ​​ogólne modele HJM są niewykonalne obliczeniowo w większości zastosowań. Wielką zaletą modeli HJM jest to, że dają one analityczny opis całej krzywej dochodowości, a nie tylko krótkiej stopy procentowej. Dla niektórych celów (np. Wycena papierów wartościowych zabezpieczonych hipoteką) może to być dużym uproszczeniem. Modele Cox-Ingersoll-Ross i Hull-White w jednym lub kilku wymiarach można w prosty sposób wyrazić w ramach HJM. Inne modele o krótkim oprocentowaniu nie mają żadnej prostej podwójnej reprezentacji HJM.

Ramy HJM z wieloma źródłami losowości, w tym model Brace – Gatarek – Musiela i modele rynkowe , są często preferowane w przypadku modeli o wyższym wymiarze.

Modele oparte na Fischer Czarnego „s szybkości cienia są stosowane, gdy stopy procentowe zbliżać się do zera dolna granica .

Zobacz też

• Atrybucja stałego dochodu

Bibliografia

Dalsza lektura

• Martin Baxter i Andrew Rennie (1996). Rachunek finansowy . Cambridge University Press . ISBN   978-0-521-55289-9 .
• Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modele stóp procentowych - teoria i praktyka z uśmiechem, inflacją i kredytem (wyd. 2. 2006). Springer Verlag. ISBN   978-3-540-22149-4 .
• Gerald Buetow i James Sochacki (2001). Modele struktury terminów z wykorzystaniem drzew dwumianowych . Fundacja badawcza AIMR ( CFA Institute ). ISBN   978-0-943205-53-3 .
• Andrew JG Cairns (2004). Modele stóp procentowych - wprowadzenie . Princeton University Press . ISBN   978-0-691-11894-9 .
• Andrew JG Cairns (2004). Modele stóp procentowych ; wpis w Encyclopaedia of Actuarial Science . John Wiley and Sons . 2004. ISBN   978-0-470-84676-6 .
• KC Chan, G. Andrew Karolyi, Francis Longstaff i Anthony Sanders (1992). Empiryczne porównanie alternatywnych modeli krótkoterminowej stopy procentowej (PDF) . The Journal of Finance , tom. XLVII, nr 3 lipca 1992. CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
• Lin Chen (1996). Dynamika stóp procentowych, ceny instrumentów pochodnych i zarządzanie ryzykiem . Springer . ISBN   978-3-540-60814-1 .
• Rajna Gibson, François-Serge Lhabitant i Denis Talay (1999). Modelowanie struktury terminowej stóp procentowych: przegląd . The Journal of Risk, 1 (3): 37–62, 1999.
• Lane Hughston (2003). Przeszłość, teraźniejszość i przyszłość modelowania struktury terminów ; wpis w Peter Field (2003). Nowoczesne zarządzanie ryzykiem . Książki ryzyka. ISBN   9781906348304 .
• Jessica James i Nick Webber (2000). Modelowanie stóp procentowych . Wiley Finance . ISBN   978-0-471-97523-6 .
• Robert Jarrow (2002). Modelowanie papierów wartościowych o stałym dochodzie i opcji na stopę procentową (wyd. 2) . Ekonomia i finanse Stanforda. ISBN   978-0-8047-4438-6 .
• Robert Jarrow (2009). „Struktura terminowa stóp procentowych” . Roczny przegląd ekonomii finansowej . 1 (1): 69–96. doi : 10.1146 / annurev.financial.050808.114513 .
• FC Park (2004). „Wdrażanie modeli stóp procentowych: praktyczny przewodnik” (PDF) . Publikacja badawcza CMPR . Zarchiwizowane od oryginalnego (PDF) w dniu 2010-08-16.
• Riccardo Rebonato (2002). Nowoczesna wycena instrumentów pochodnych na stopę procentową . Princeton University Press . ISBN   978-0-691-08973-7 .
• Riccardo Rebonato (2003). „Modele struktury terminów: przegląd” (PDF) . Dokument roboczy Royal Bank of Scotland Quantitative Research Centre .