Grupa prostego kłamstwa - Simple Lie group

W matematyce prosta grupa Liego jest połączoną nieabelową grupą Liego G, która nie ma nietrywialnie połączonych normalnych podgrup . Listę prostych grup Liego można wykorzystać do odczytania listy prostych algebr Liego i symetrycznych przestrzeni Riemanna .

Razem z przemienną grupą Liego liczb rzeczywistych , oraz liczbą zespoloną jednowymiarową U(1) (koło jednostkowe), proste grupy Liego dają atomowe „bloki”, które składają się na wszystko (skończenie wymiarowe) połączone grupy Lie'a poprzez operację rozszerzenia grupy . Wiele powszechnie spotykanych grup Liego jest albo prostych, albo „bliskich” prostocie: na przykład tak zwana „ specjalna grupa liniowa ” SL( n ) z macierzami n na n z wyznacznikiem równym 1 jest prosta dla wszystkich n  > 1.

Proste grupy Liego zostały po raz pierwszy sklasyfikowane przez Wilhelma Killinga, a później udoskonalone przez Élie Cartana . Ta klasyfikacja jest często nazywana klasyfikacją Killing-Cartan.

Definicja

Niestety nie ma powszechnie przyjętej definicji prostej grupy Liego. W szczególności nie zawsze jest definiowana jako grupa Liego, która jest prosta jako grupa abstrakcyjna. Autorzy różnią się, czy prosta grupa Liego musi być połączona, czy wolno mieć nietrywialne centrum, czy też jest prostą grupą Liego.

Najczęstszą definicją jest to, że grupa Liego jest prosta, jeśli jest połączona, nieabelowa, a każda zamknięta, połączona normalna podgrupa jest albo tożsamością, albo całą grupą. W szczególności proste grupy mogą mieć nietrywialne centrum, ale nie jest to proste.

W tym artykule wymieniono połączone proste grupy Liego z trywialnym centrum. Gdy są one znane, te z nietrywialnym centrum można łatwo wymienić w następujący sposób. Każda prosta grupa Liego z trywialnym centrum ma uniwersalną osłonę , której centrum jest podstawową grupą prostej grupy Liego. Odpowiednie proste grupy Liego z nietrywialnym centrum można otrzymać jako iloraz tego uniwersalnego pokrycia przez podgrupę centrum.

Alternatywy

Równoważna definicja prostej grupy Liego wynika z przynależności Liego : Połączona grupa Liego jest prosta, jeśli jej algebra Liego jest prosta . Ważną kwestią techniczną jest to, że prosta grupa Liego może zawierać dyskretne normalne podgrupy, stąd bycie prostą grupą Liego różni się od bycia prostą grupą abstrakcyjną .

Prostych grup Lie obejmują wiele klasycznych grup Liego , które zapewniają podbudowę teoretyczną dla grupy- geometrii sferycznej , geometrii rzutowej i geometrii powiązanymi w rozumieniu Felix Klein „s programu Erlangen . W trakcie klasyfikacji prostych grup Liego okazało się , że istnieje również kilka wyjątkowych możliwości, nie odpowiadających żadnej znanej geometrii. Te wyjątkowe grupy stanowią wiele szczególnych przykładów i konfiguracji w innych działach matematyki, a także we współczesnej fizyce teoretycznej .

Jako kontrprzykład, ogólna grupa liniowa nie jest ani prosta, ani półprosta . Dzieje się tak, ponieważ wielokrotności identyczności tworzą nietrywialną normalną podgrupę, w ten sposób omijając definicję. Odpowiednio, odpowiednia algebra Liego ma zdegenerowaną formę Killing , ponieważ wielokrotności tożsamości odwzorowują element zerowy algebry. Tak więc odpowiednia algebra Liego również nie jest ani prosta, ani półprosta. Innym kontrprzykładem są specjalne grupy ortogonalne w parzystym wymiarze. Mają one w centrum macierz , a ten element jest połączony ścieżką z elementem tożsamości, więc grupy te wymykają się definicji. Obie są grupami redukującymi .

Powiązane pomysły

Proste algebry Liego

Algebra Lie prostej grupy Lie jest prosty Lie algebra. Jest to zależność jeden do jednego między połączonymi prostymi grupami Liego o trywialnym środku i prostymi algebrami Liego o wymiarze większym niż 1. (Autorzy różnią się w kwestii tego, czy jednowymiarową algebra Liego należy uważać za prostą).

Na liczbach zespolonych półproste algebry Liego są klasyfikowane według ich diagramów Dynkina typu „ABCDEFG”. Jeśli L jest naprawdę prostą algebrą Liego, to jej złożenie jest prostą złożoną algebrą Liego, chyba że L jest już złożonością algebry Liego, w którym to przypadku złożoność L jest iloczynem dwóch kopii L . To redukuje problem klasyfikacji rzeczywistych prostych algebr Liego do znalezienia wszystkich postaci rzeczywistych każdej złożonej prostej algebry Liego (tj. rzeczywistych algebr Liego, których złożoność jest daną złożoną algebrą Liego). Zawsze są co najmniej 2 takie formy: podzielona i zwarta, a zwykle jest kilka innych. Różne formy rzeczywiste odpowiadają klasom automorfizmów rzędu co najwyżej 2 zespolonej algebry Liego.

Przestrzenie symetryczne

Przestrzenie symetryczne są klasyfikowane w następujący sposób.

Po pierwsze, uniwersalna osłona przestrzeni symetrycznej jest nadal symetryczna, więc możemy zredukować do przypadku po prostu połączonych przestrzeni symetrycznych. (Na przykład uniwersalną osłoną rzeczywistej płaszczyzny rzutowej jest kula.)

Po drugie, iloczyn przestrzeni symetrycznych jest symetryczny, więc równie dobrze możemy klasyfikować nieredukowalne po prostu połączone (gdzie nieredukowalne oznacza, że ​​nie można ich zapisać jako iloczyn mniejszych przestrzeni symetrycznych).

Nieredukowalne proste połączone przestrzenie symetryczne to rzeczywista prosta i dokładnie dwie symetryczne przestrzenie odpowiadające każdej niezwartej prostej grupie Liego G , jednej zwartej i jednej niezwartej. Niezwarty to pokrycie ilorazu G przez maksymalnie zwartą podgrupę H , a zwarty to pokrycie ilorazu zwartej postaci G przez tę samą podgrupę H . Ta dwoistość między zwartą i niezwartą przestrzenią symetryczną jest uogólnieniem dobrze znanej dwoistości między geometrią sferyczną i hiperboliczną.

Hermitowskie przestrzenie symetryczne

Symetryczna przestrzeń o zgodnej złożonej strukturze nazywa się hermitianem. Zwarte, po prostu połączone, nieredukowalne, symetryczne przestrzenie hermitowskie dzielą się na 4 nieskończone rodziny z 2 pozostałymi wyjątkowymi, a każda ma niekompaktową podwójną. Ponadto płaszczyzna zespolona jest również przestrzenią symetryczną hermitowską; daje to pełną listę nieredukowalnych hermitowskich przestrzeni symetrycznych.

Cztery rodziny to typy A III, B I i D I dla p = 2 , D III i C I, a dwie wyjątkowe to typy E III i E VII o złożonych wymiarach 16 i 27.

Notacja

  oznaczają liczby rzeczywiste, liczby zespolone, kwaterniony i oktonony .

W symbole takie jak E 6 -26 do szczególnych grup wykładnik -26 jest podpis niezmienna dwuliniowa symetrycznej formie, która jest określona na ujemne maksymalnej zwartej podgrupy. Jest równy wymiarowi grupy minus dwukrotność wymiaru maksymalnie zwartej podgrupy.

Grupa podstawowa wymieniona w poniższej tabeli to podstawowa grupa prostej grupy z trywialnym środkiem. Inne grupy proste z tą samą algebrą Liego odpowiadają podgrupom tej grupy podstawowej (modulo działanie zewnętrznej grupy automorfizmu).

Pełna klasyfikacja

Grupy Simple Lie są w pełni sklasyfikowane. Klasyfikacja jest zwykle podawana w kilku krokach, a mianowicie:

Można pokazać, że podstawowa grupa każdej grupy Liego jest dyskretną grupą przemienną . Biorąc pod uwagę (nietrywialna) podgrupa podstawowego kolonii grupy Lie można stosować teorię nakrycie skonstruowanie nowej grupy z jej środka. Teraz dowolną (rzeczywistą lub złożoną) grupę Liego można uzyskać, stosując tę ​​konstrukcję do bezcentrowych grup Liego. Zauważ, że uzyskane w ten sposób rzeczywiste grupy Liego mogą nie być rzeczywistymi formami jakiejkolwiek grupy złożonej. Bardzo ważnym przykładem takiej grupy rzeczywistej jest grupa metaplektyczna występująca w teorii reprezentacji nieskończenie wymiarowej i fizyce. Kiedy bierze się za pełną podstawową grupę, powstała grupa Liego jest uniwersalną osłoną bezcentrycznej grupy Liego i jest po prostu połączona. W szczególności, każda (rzeczywista lub złożona) algebra Liego odpowiada również unikalnej połączonej i po prostu połączonej grupie Liego z tą algebrą Liego, zwaną „prosto połączoną grupą Liego” związaną z

Kompaktowe grupy Lie

Każda prosta złożona algebra Liego ma unikalną postać rzeczywistą, której odpowiadająca bezcentrowa grupa Liego jest zwarta . Okazuje się, że po prostu połączona grupa Lie w tych przypadkach jest również zwarta. Grupy Compact Lie mają szczególnie praktyczną teorię reprezentacji ze względu na twierdzenie Petera-Weyla . Podobnie jak proste złożone algebry Liego, bezcentrowe zwarte grupy Liego są klasyfikowane za pomocą diagramów Dynkina (po raz pierwszy sklasyfikowanych przez Wilhelma Killinga i Élie Cartana ).

Diagramy Dynkina

W przypadku nieskończonej (A, B, C, D) serii diagramów Dynkina, połączoną zwartą grupę Liego powiązaną z każdym diagramem Dynkina można wyraźnie opisać jako grupę macierzową, przy czym odpowiadającą jej bezśrodkową zwartą grupę Liego opisano jako iloraz przez podgrupa macierzy skalarnych.

Przegląd klasyfikacji

R ma jako związany tylko z połączonego zwartej grupie Grupa Su , su ( r + 1) , jak i powiązanego z nim centerless zwartej grupie rzutowa jednolitą grupę PU ( r + 1) .

B r ma jako związane z nim bezcentrowe zwarte grupy nieparzyste specjalne grupy ortogonalne , SO(2 r + 1) . Ta grupa nie jest jednak po prostu połączona: jej uniwersalną (podwójną) osłoną jest grupa Spin .

C R ma jako związany tylko połączony grupy grupę jednostkowych symplektycznych matryc , SP ( R ) , jak i powiązanego z nim grupą centerless grupa Lie PSP ( R ) = SP ( R ) / {I -I} projekcyjnej jednostkowych symplektycznych macierzy . Grupy symplektyczne mają podwójną osłonę przez grupę metaplektyczną .

D R ma za związane z zwartej grupie nawet specjalne grupy ortogonalne , SO (2 r ) i jak sąsiednia centerless zwartej grupie rzutowej szczególną prostopadły PSO grupy (2 r ) = SO 2 ( R ) / {I -I}. Podobnie jak w przypadku serii B, SO( 2r ) nie jest po prostu połączony; jego uniwersalną osłoną jest znowu grupa spinowa , ale ta ostatnia znów ma centrum (por. jej artykuł).

Diagram D 2 to dwa izolowane węzły, tak samo jak A 1 ∪ A 1 , a ta koincydencja odpowiada homomorfizmowi mapy pokrywającej z SU(2) × SU(2) do SO(4) podanej przez mnożenie kwaternionów ; zobacz kwaterniony i rotację przestrzenną . Tak więc SO(4) nie jest prostą grupą. Ponadto, schemat D 3 jest taka sama, jak 3 , odpowiednio do mapy obejmujący homomorfizmu z SU (4) SO (6).

Ponadto na cztery rodziny A ı , B, I , C, I , oraz D i powyżej, istnieją tak zwane pięć wyjątkowy Dynkin SCHEMATY G 2 , F 4 , E 6 , e 7 i E 8 ; te wyjątkowe diagramy Dynkina również skojarzyły się z prostymi i pozbawionymi środka zwartymi grupami. Jednak grupy związane z wyjątkowymi rodzinami są trudniejsze do opisania niż te związane z nieskończonymi rodzinami, głównie dlatego, że ich opisy wykorzystują wyjątkowe obiekty . Na przykład, grupa powiązana z G 2 jest grupą automorfizmu oktonionów , a grupa powiązana z F 4 jest grupą automorfizmu pewnej algebry Alberta .

Zobacz także E 7+1 / 2 .

Lista

Abelian

Wymiar Zewnętrzna grupa automorfizmu Wymiar przestrzeni symetrycznej Przestrzeń symetryczna Uwagi
(Abel) 1 1

Uwagi

^† Grupanie jest „prosta” jako grupa abstrakcyjna i według większości (ale nie wszystkich) definicji nie jest to prosta grupa Liego. Co więcej, większość autorów nie traktuje swojej algebry Liego jako prostej algebry Liego. Jest on tutaj wymieniony, aby lista „nieredukowalnych prosto połączonych przestrzeni symetrycznych” była kompletna. Zauważ, żejest to jedyna taka niezwarta symetryczna przestrzeń bez kompaktowego duala (chociaż ma kompaktowy ilorazS1).

Kompaktowy

Wymiar Prawdziwa ranga
Grupa podstawowa
Zewnętrzna
grupa automorfizmu
Inne nazwy Uwagi
A n ( n ≥ 1 ) zwarty n ( n + 2) 0 Cykliczny, rząd n + 1 1 jeśli n = 1 , 2 jeśli n > 1 . projekcyjna specjalna grupa unitarna
PSU ( n + 1)
A 1 to to samo co B 1 i C 1
B n ( n ≥ 2 ) kompaktowy n (2 n + 1) 0 2 1 specjalna grupa ortogonalna
SO 2 n +1 ( R )
B 1 jest takie samo jak A 1 i C 1 .
B 2 jest tym samym co C 2 .
C n ( n ≥ 3 ) kompaktowy n (2 n + 1) 0 2 1 rzutowa zwarta grupa symplektyczna
PSp( n ), PSp(2 n ), PUSp( n ), PUSp(2 n )
Hermitian. Złożone struktury H n . Kopie złożonej przestrzeni rzutowej w czwartorzędowej przestrzeni rzutowej.
D n ( n ≥ 4 ) kompaktowy n (2 n − 1) 0 Kolejność 4 (cykliczna, gdy n jest nieparzyste). 2 jeśli n > 4 , S 3 jeśli n = 4 rzutowa specjalna grupa ortogonalna
PSO 2 n ( R )
D 3 to to samo co A 3 , D 2 to to samo co A 1 2 , a D 1 jest abelowe.
E 6 -78 kompaktowy 78 0 3 2
E 7 −133 kompakt 133 0 2 1
E 8 -248 kompaktowy 248 0 1 1
F 4 −52 kompaktowy 52 0 1 1
G 2 -14 kompaktowy 14 0 1 1 To jest grupa automorfizmu algebry Cayleya.

Rozdzielać

Wymiar Prawdziwa ranga Maksymalna zwarta
podgrupa

Grupa podstawowa
Zewnętrzna
grupa automorfizmu
Inne nazwy Wymiar
przestrzeni symetrycznej
Kompaktowa
symetryczna przestrzeń
Non-Compact
przestrzeń symetryczny
Uwagi
A n I ( n ≥ 1) podzielone n ( n + 2) nie D n /2 lub B ( n −1)/2 Nieskończony cykliczny, jeśli n = 1
2, jeśli n ≥ 2
1 jeśli n = 1
2 jeśli n ≥ 2.
Rzutowa specjalna grupa liniowa
PSL n +1 (R)
n ( n + 3)/2 Struktury rzeczywiste na C n +1 lub zbiorze RP n w CP n . Hermitowski, jeśli n = 1 , w tym przypadku jest to 2-kula. Struktury euklidesowe na R n +1 . Hermitowski, jeśli n = 1 , gdy jest to górna połowa płaszczyzny lub dysk zespolony jednostkowy.
B n I ( n ≥ 2) podzielone n (2 n + 1) nie SO( n )SO( n +1) Niecykliczny, rząd 4 1 składnik tożsamości specjalnej grupy ortogonalnej
SO( n , n +1)
n ( n + 1) B 1 jest takie samo jak A 1 .
C n I ( n ≥ 3) podzielone n (2 n + 1) nie A n -1 S 1 Nieskończony cykliczny 1 projekcyjna grupa symplektyczna
PSp 2 n ( R ), PSp(2 n , R ), PSp(2 n ), PSp( n , R ), PSp( n )
n ( n + 1) Hermitian. Złożone struktury H n . Kopie złożonej przestrzeni rzutowej w czwartorzędowej przestrzeni rzutowej. Hermicjanin. Struktury złożone na R 2 n zgodne z formą symplektyczną. Zbiór złożonych przestrzeni hiperbolicznych w czwartorzędowej przestrzeni hiperbolicznej. Siegel górna połowa przestrzeni. C 2 to to samo co B 2 , a C 1 to to samo co B 1 i A 1 .
D n I ( n ≥ 4) podzielone n (2 n - 1) nie SO( n ) SO( n ) Zamów 4 jeśli n nieparzyste, 8 jeśli n parzyste 2 jeśli n > 4 , S 3 jeśli n = 4 składnik tożsamości rzutowej specjalnej grupy ortogonalnej
PSO( n , n )
n 2 D 3 to to samo co A 3 , D 2 to to samo co A 1 2 , a D 1 jest abelowe.
E 6 6 rozszczepiam się 78 6 C 4 Zamówienie 2 Zamówienie 2 EI 42
E 7 7 V rozdzielone 133 7 7 Cykliczny, zamów 4 Zamówienie 2 70
E 8 8 VIII podział 248 8 D 8 2 1 E VIII 128 @ E8
F 4 4 Rozszczepiam się 52 4 C 3 x 1 Zamówienie 2 1 FI 28 Kwaternionowe płaszczyzny rzutowe w płaszczyźnie rzutowej Cayleya. Hiperboliczne czwartorzędowe płaszczyzny rzutowe w hiperbolicznej płaszczyźnie rzutowej Cayleya.
G 2 2 Rozszczepiam się 14 2 A 1 × A 1 Zamówienie 2 1 żołnierz amerykański 8 Podalgebry czwartorzędowe algebry Cayleya. Quaternion-Kähler. Niedzielne podalgebry czwartorzędowe niedzielonej algebry Cayleya. Quaternion-Kähler.

Złożony

Rzeczywisty wymiar Prawdziwa ranga Maksymalna zwarta
podgrupa

Grupa podstawowa
Zewnętrzna
grupa automorfizmu
Inne nazwy Wymiar
przestrzeni symetrycznej
Kompaktowa
symetryczna przestrzeń
Non-Compact
przestrzeń symetryczny
A n ( n ≥ 1) kompleks 2 n ( n + 2) nie A n Cykliczny, rząd n + 1 2 jeśli n = 1 , 4 (niecykliczny) jeśli n ≥ 2 . zespolona rzutowa specjalna grupa liniowa
PSL n +1 ( C )
n ( n + 2) Kompaktowa grupa A n Formy hermitowskie na C n +1

o stałej objętości.

B n ( n ≥ 2) kompleks 2 n (2 n + 1) nie B n 2 Zamówienie 2 (złożona koniugacja) złożona specjalna grupa ortogonalna
SO 2 n +1 ( C )
n (2 n + 1) Kompaktowa grupa B n
C n ( n ≥ 3) kompleks 2 n (2 n + 1) nie C n 2 Zamówienie 2 (złożona koniugacja) zespolona
rzutowa grupa symplektyczna PSp 2 n ( C )
n (2 n + 1) Kompaktowa grupa C n
D n ( n ≥ 4) kompleks 2 n (2 n − 1) nie D n Kolejność 4 (cykliczna, gdy n jest nieparzyste) Niecykliczny rzędu 4 dla n > 4 lub iloczyn grupy rzędu 2 i symetrycznej grupy S 3 gdy n = 4 . kompleks rzutowy specjalna grupa ortogonalna
PSO 2 n ( C )
n (2 n − 1) Grupa kompaktowa D n
E 6 kompleks 156 6 E 6 3 Zamówienie 4 (niecykliczne) 78 Grupa kompaktowa E 6
E 7 kompleks 266 7 E 7 2 Zamówienie 2 (złożona koniugacja) 133 Grupa kompaktowa E 7
E 8 kompleks 496 8 E 8 1 Zamówienie 2 (złożona koniugacja) 248 Grupa kompaktowa E 8
F 4 kompleks 104 4 F 4 1 2 52 Grupa kompaktowa F 4
Kompleks G 2 28 2 G 2 1 Zamówienie 2 (złożona koniugacja) 14 Grupa kompaktowa G 2

Inne

Wymiar Prawdziwa ranga Maksymalna zwarta
podgrupa

Grupa podstawowa
Zewnętrzna
grupa automorfizmu
Inne nazwy Wymiar
przestrzeni symetrycznej
Kompaktowa
symetryczna przestrzeń
Non-Compact
przestrzeń symetryczny
Uwagi
A 2 n -1 II
( n ≥ 2)
(2 n − 1) (2 n + 1) n − 1 C n Zamówienie 2 SL n ( H ), SU (2 n ) ( n − 1) (2 n + 1) Struktury quaternionowe na C 2 n zgodne ze strukturą hermitowską Kopie czwartorzędowej przestrzeni hiperbolicznej (o wymiarze n − 1 ) w złożonej przestrzeni hiperbolicznej (o wymiarze 2 n − 1 ).
A n III
( n ≥ 1)
p + q = n + 1
(1 ≤ pq )
n ( n + 2) p A p -1 A q -1 S 1 SU( p , q ), A III 2 pq Hermitian .
Grassmannian p podprzestrzeni C p + q .
Jeśli p lub q wynosi 2; kwaternion-Kähler
Hermicjanin.
Grassmannian maksymalnych dodatnich określonych
podprzestrzeni C p , q .
Jeśli p lub q wynosi 2, kwaternion-Kähler
Jeśli p = q =1, podziel
Jeśli | pq | ≤ 1, quasi-podzielony
B n I
( n > 1)
p + q = 2 n +1
n (2 n + 1) min( p , q ) SO( p ) SO( q ) SO( p , q ) pq Grassmannian R p s w R p + q .
Jeśli p lub q wynosi 1, Przestrzeń rzutowa
Jeśli p lub q wynosi 2; Hermitian
Jeśli p lub q wynosi 4, kwaternion-Kähler
Grassmannian dodatnio określonych R p s w R p , q .
Jeśli p lub q wynosi 1, przestrzeń hiperboliczna
Jeśli p lub q wynosi 2, Hermitian
Jeśli p lub q wynosi 4, kwaternion-Kähler
Jeżeli | pq | ≤ 1, podzielone.
C n II
( n > 2)
n = p + q
(1 ≤ pq )
n (2 n + 1) min( p , q ) C p C q Zamówienie 2 1 jeśli pq , 2 jeśli p = q . Sp 2 p ,2 q (R) 4 pq Grassmannian H p s w H p + q .
Jeśli p lub q wynosi 1, czwartorzędowa przestrzeń rzutowa
w tym przypadku jest kwaternionem-Kählera.
H p s w H p , q .
Jeśli p lub q wynosi 1, czwartorzędowa przestrzeń hiperboliczna
w tym przypadku jest czwartorzędową przestrzenią Kählera.
D n I
( n ≥ 4)
p + q = 2 n
n (2 n − 1) min( p , q ) SO( p ) SO( q ) Jeśli p i q ≥ 3, rząd 8. SO( p , q ) pq Grassmannian R p s w R p + q .
Jeśli p lub q wynosi 1, Przestrzeń rzutowana
Jeśli p lub q wynosi 2 ; Hermitowski
Jeśli p lub q wynosi 4, kwaternion-Kähler
Grassmannian dodatnio określonych R p s w R p , q .
Jeśli p lub q wynosi 1, przestrzeń hiperboliczna
Jeśli p lub q wynosi 2, Hermitian
Jeśli p lub q wynosi 4, kwaternion-Kähler
Jeśli p = q , podziel
Jeśli | pq | ≤ 2, quasi-split
D n III
( n ≥ 4)
n (2 n − 1) n / 2⌋ A n -1 R 1 Nieskończony cykliczny Zamówienie 2 SO * (2n) n ( n − 1) Hermicjanin.
Struktury złożone na R 2 n zgodne ze strukturą euklidesową.
Hermicjanin.
Quaternionowe formy kwadratowe na R 2 n .
E 6 2 II
(quasi-split)
78 4 A 5 A 1 Cykliczny, zamów 6 Zamówienie 2 E II 40 Quaternion-Kähler. Quaternion-Kähler. Quasi podzielone, ale nie podzielone.
E 6 -14 III 78 2 D 5 S 1 Nieskończony cykliczny Trywialny E III 32 Hermicjanin.
Eliptyczna płaszczyzna rzutowa Rosenfelda nad złożonymi liczbami Cayleya.
Hermicjanin.
Hiperboliczna płaszczyzna rzutowa Rosenfelda nad złożonymi liczbami Cayleya.
E 6 −26 IV 78 2 F 4 Trywialny Zamówienie 2 E IV 26 Zbiór płaszczyzn rzutowych Cayleya w płaszczyźnie rzutowej nad złożonymi liczbami Cayleya. Zestaw płaszczyzn hiperbolicznych Cayleya w płaszczyźnie hiperbolicznej nad złożonymi liczbami Cayleya.
E 7 -5 VI 133 4 D 6 1 Niecykliczny, rząd 4 Trywialny E VI 64 Quaternion-Kähler. Quaternion-Kähler.
E 7 -25 VII 133 3 E 6 S 1 Nieskończony cykliczny Zamówienie 2 E VII 54 Hermicjanin. Hermicjanin.
E 8 −24 IX 248 4 E 7 × A 1 Zamówienie 2 1 E IX 112 Quaternion-Kähler. Quaternion-Kähler.
F 4 −20 II 52 1 B 4 (Zakręć 9 ( R )) Zamówienie 2 1 F II 16 Samolot rzutowy Cayleya. Quaternion-Kähler. Płaszczyzna rzutowa hiperboliczna Cayleya. Quaternion-Kähler.

Proste grupy kłamstwa o małych wymiarach

W poniższej tabeli wymieniono niektóre grupy Liego z prostymi algebrami Liego o małym wymiarze. Wszystkie grupy w danym wierszu mają tę samą algebrę Liego. W przypadku wymiaru 1 grupy są abelowe i nie są proste.

Ciemny Grupy Przestrzeń symetryczna Kompaktowy podwójny Ranga Ciemny
1 , S 1 = U (1) = SO 2 ( ) = wirowania (2) Abelian Prawdziwa linia 0 1
3 S 3 = Sp(1) = SU(2)=Spin(3), SO 3 ( ) = PSU(2) Kompaktowy
3 SL 2 ( ) = Sp 2 ( ), SO 2,1 ( ) Split, hermitowski, hiperboliczny Płaszczyzna hiperboliczna Kula S 2 1 2
6 SL 2 ( ) = Sp 2 ( ), SO 3,1 ( ), SO 3 ( ) Złożony Przestrzeń hiperboliczna Kula S 3 1 3
8 SL 3 ( ) Rozdzielać Struktury euklidesowe włączone Prawdziwe struktury włączone 2 5
8 SU(3) Kompaktowy
8 SU(1,2) Hermitowski, quasi-split, czwartorzędowy Złożona płaszczyzna hiperboliczna Złożona płaszczyzna rzutowa 1 4
10 Sp(2) = Spin (5), SO 5 ( ) Kompaktowy
10 SO 4,1 ( ), Sp 2,2 ( ) Hiperboliczny, czwartorzędowy Przestrzeń hiperboliczna Kula S 4 1 4
10 SO 3,2 ( ), Sp 4 ( ) Split, Hermitian Siegel górna połowa przestrzeni Złożone struktury włączone 2 6
14 G 2 Kompaktowy
14 G 2 Podział, kwaternionowy Niedzielne czwartorzędowe podalgebry niedzielących oktonów Quaternionowe podalgebry oktonionów 2 8
15 SU(4) = Spin (6), SO 6 ( ) Kompaktowy
15 SL 4 ( ), SO 3,3 ( ) Rozdzielać 3 w 3,3 Grassmannian G (3,3) 3 9
15 SU(3,1) Hermitian Złożona przestrzeń hiperboliczna Złożona przestrzeń rzutowa 1 6
15 SU(2,2), SO 4,2 ( ) Hermitowski, quasi-split, czwartorzędowy 2 w 2,4 Grassmannian G (2,4) 2 8
15 SL 2 ( ), SO 5,1 ( ) Hiperboliczny Przestrzeń hiperboliczna Kula S 5 1 5
16 SL 3 ( ) Złożony SU(3) 2 8
20 SO 5 ( ), Sp 4 ( ) Złożony Zakręć 5 ( ) 2 10
21 SO 7 ( ) Kompaktowy
21 SO 6,1 ( ) Hiperboliczny Przestrzeń hiperboliczna Kula S 6
21 SO 5,2 ( ) Hermitian
21 SO 4,3 ( ) Podział, kwaternionowy
21 Sp(3) Kompaktowy
21 Sp 6 ( ) Split, pustelnik
21 Sp 4,2 ( ) Kwaternionowy
24 SU(5) Kompaktowy
24 SL 5 ( ) Rozdzielać
24 SU 4,1 Hermitian
24 SU 3,2 Hermitowski, czwartorzędowy
28 SO 8 ( ) Kompaktowy
28 SO 7,1 ( ) Hiperboliczny Przestrzeń hiperboliczna Kula S 7
28 SO 6,2 ( ) Hermitian
28 SO 5,3 ( ) quasi-split
28 SO 4,4 ( ) Podział, kwaternionowy
28 SO 8 ( ) Hermitian
28 G 2 ( ) Złożony
30 SL 4 ( ) Złożony

Po prostu sznurowane grupy

Grupa po prostu spleciona to grupa Liego, której diagram Dynkina zawiera tylko proste połączenia, a zatem wszystkie niezerowe pierwiastki odpowiedniej algebry Liego mają tę samą długość. Grupy serii A, D i E są po prostu sznurowane, ale żadna grupa typu B, C, F lub G nie jest po prostu sznurowana.

Zobacz też

Bibliografia

  • Jacobson, Nathan (1971). Wyjątkowe algebry kłamstwa . CRC Prasa. Numer ISBN 0-8247-1326-5.
  • Fulton, William ; Harris, Joe (2004). Teoria reprezentacji: pierwszy kurs . Skoczek. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . Numer ISBN 978-1-4612-0979-9.

Dalsza lektura

  • Rozmaitości Besse, Einsteina ISBN  0-387-15279-2
  • Helgason, Geometria różniczkowa, grupy Liego i przestrzenie symetryczne . ISBN  0-8218-2848-7
  • Fuchsa i Schweigerta, symetrie, algebry Liego i reprezentacje: studia magisterskie dla fizyków. Cambridge University Press, 2003. ISBN  0-521-54119-0