Kwadrat (algebra) - Square (algebra)

5⋅5 lub 5 2 (5 do kwadratu) można przedstawić graficznie za pomocą kwadratu . Każdy blok reprezentuje jedną jednostkę, 1⋅1 , a cały kwadrat reprezentuje 5⋅5 lub powierzchnię kwadratu.

W matematyce , o kwadrat jest wynikiem pomnożenia się liczby przez siebie. Czasownik „do kwadratu” jest używany do oznaczenia tej operacji. Podnoszenie do kwadratu jest tym samym, co podnoszenie do potęgi  2 i jest oznaczone indeksem górnym 2; na przykład kwadrat 3 może być zapisany jako 3 2 , co jest liczbą 9. W niektórych przypadkach, gdy indeksy górne nie są dostępne, jak na przykład w językach programowania lub zwykłych plikach tekstowych , zapisy x^2lub x**2mogą być używane zamiast . x2

Przymiotnik odpowiadający kwadratowi jest kwadratowy .

Kwadrat liczby całkowitej można również nazwać liczbą kwadratową lub kwadratem idealnym. W algebrze operacja kwadratury jest często uogólniana na wielomiany , inne wyrażenia lub wartości w systemach wartości matematycznych innych niż liczby. Na przykład kwadrat wielomianu liniowego x + 1 jest wielomianem kwadratowym ( x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1 .

Jedną z ważnych właściwości podniesienia do kwadratu, zarówno dla liczb, jak i wielu innych systemów matematycznych, jest to, że (dla wszystkich liczb x ) kwadrat x jest taki sam, jak kwadrat jego addytywnej odwrotności x . Oznacza to, że funkcja kwadratowa spełnia tożsamość x 2 = (− x ) 2 . Można to również wyrazić mówiąc, że funkcja kwadratowa jest funkcją parzystą .

W liczbach rzeczywistych

Wykres funkcji kwadratowej y = x 2 jest parabolą .

Operacja do kwadratu definiuje rzeczywistą funkcję zwaną funkcja kwadratowa lubfunkcja kwadratury . Jejdomenąjest całalinia rzeczywista, a jejobrazemjest zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych.

Funkcja square zachowuje kolejność liczb dodatnich: większe liczby mają większe kwadraty. Innymi słowy, kwadrat jest funkcją monotoniczną na przedziale [0, +∞) . Na liczbach ujemnych liczby o większej wartości bezwzględnej mają większe kwadraty, więc kwadrat jest funkcją monotonicznie malejącą na (−∞,0] . Stąd zero jest (globalnym) minimum funkcji kwadratowej. Kwadrat x 2 z a liczba x jest mniejsza niż x (czyli x 2 < x ) wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < x < 1 , to znaczy, jeśli x należy do przedziału otwartego (0,1) . Oznacza to, że kwadrat liczby całkowitej nigdy nie jest mniej niż pierwotna liczba x .

Każda dodatnia liczba rzeczywista jest kwadratem dokładnie dwóch liczb, z których jedna jest ściśle dodatnia, a druga ściśle ujemna. Zero jest kwadratem tylko jednej liczby. Z tego powodu możliwe jest zdefiniowanie funkcji pierwiastka kwadratowego , która wiąże z nieujemną liczbą rzeczywistą liczbę nieujemną, której kwadrat jest liczbą pierwotną.

Nie można wyjmować pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej w systemie liczb rzeczywistych , ponieważ kwadraty wszystkich liczb rzeczywistych są nieujemne . Brak rzeczywistych pierwiastków kwadratowych dla liczb ujemnych może być wykorzystany do rozszerzenia systemu liczb rzeczywistych na liczby zespolone , postulując jednostkę urojoną i , która jest jednym z pierwiastków kwadratowych z -1.

Własność "każda nieujemna liczba rzeczywista jest kwadratem" została uogólniona do pojęcia ciała rzeczywistego domkniętego , które jest ciałem uporządkowanym tak, że każdy element nieujemny jest kwadratem, a każdy wielomian nieparzystego stopnia ma pierwiastek. Ciał rzeczywistych domkniętych nie można odróżnić od ciał liczb rzeczywistych na podstawie ich własności algebraicznych: każdej własności liczb rzeczywistych, którą można wyrazić w logice pierwszego rzędu (czyli za pomocą wzoru, w którym zmienne kwantyfikowane przez ∀ lub ∃ reprezentują elementy, a nie zbiory), jest prawdziwe dla każdego rzeczywistego ciała domkniętego i odwrotnie, każda własność logiki pierwszego rzędu, która jest prawdziwa dla konkretnego rzeczywistego ciała domkniętego, jest również prawdziwa dla liczb rzeczywistych.

W geometrii

Istnieje kilka głównych zastosowań funkcji kwadratu w geometrii.

Nazwa funkcji kwadratu wskazuje na jej znaczenie w definicji pola : wynika ona z faktu, że pole kwadratu o bokach długości   l jest równe l 2 . Powierzchnia zależy kwadratowo od wielkości: powierzchnia kształtu n  razy większego jest n 2  razy większa. Dotyczy to zarówno obszarów w trzech wymiarach, jak i na płaszczyźnie: na przykład powierzchnia kuli jest proporcjonalna do kwadratu jej promienia, co fizycznie przejawia się w prawie odwrotności kwadratów opisującym, w jaki sposób siła fizyczna siły, takie jak grawitacja, różnią się w zależności od odległości.

Płytki strefowe Fresnela mają pierścienie z równomiernie rozmieszczonymi kwadratowymi odległościami od środka

Funkcja kwadratowa jest powiązana z odległością poprzez twierdzenie Pitagorasa i jego uogólnienie, prawo równoległoboku . Odległość euklidesowa nie jest funkcją gładką : trójwymiarowy wykres odległości od ustalonego punktu tworzy stożek z niegładkim punktem na wierzchołku stożka. Jednak kwadrat odległości (oznaczony jako d 2 lub r 2 ), którego wykres ma paraboloidę , jest funkcją gładką i analityczną .

Iloczyn skalarny z wektor z siebie jest równa kwadratu długości: vV = V 2 . Jest to dalej uogólniane na formy kwadratowe w przestrzeniach liniowych poprzez iloczyn skalarny . Tensora bezwładności w mechanice jest przykład kwadratowe formy. Pokazuje kwadratową relację momentu bezwładności do rozmiaru ( długość ).

Istnieje nieskończenie wiele pitagorejskich trójek , zbiorów trzech dodatnich liczb całkowitych takich, że suma kwadratów pierwszych dwóch równa się kwadratowi trzeciej. Każda z tych trójek daje całkowite boki trójkąta prostokątnego.

W algebrze abstrakcyjnej i teorii liczb

Funkcja kwadratowa jest zdefiniowana w dowolnym polu lub pierścieniu . Element w obrazie tej funkcji nazywa się kwadratem , a odwrotne obrazy kwadratu są nazywane pierwiastkami kwadratowymi .

Pojęcie kwadratury jest szczególnie ważne w ciał skończonych Z / s Z utworzonego przez liczb modulo nieparzysta liczba pierwsza p . Niezerowy element tego pola nazywamy resztą kwadratową, jeśli jest kwadratem w Z / p Z , a inaczej nazywamy nieresztą kwadratową. Zero, podczas gdy kwadrat, nie jest uważane za resztę kwadratową. Każde skończone pole tego typu ma dokładnie ( p − 1)/2 kwadratowe reszty i dokładnie ( p − 1)/2 kwadratowe nie reszty. Reszty kwadratowe tworzą grupę podczas mnożenia. Właściwości reszt kwadratowych są szeroko stosowane w teorii liczb .

Bardziej ogólnie, w pierścieniach funkcja kwadratowa może mieć różne właściwości, które są czasami używane do klasyfikowania pierścieni.

Zero może być kwadratem niektórych niezerowych elementów. Przemienne pierścień tak, że kwadrat niezerowej elementu jest nigdy zerowa jest nazywany ograniczonej pierścień . Bardziej ogólnie, w pierścieniu przemiennym ideałem radykalnym jest ideał  I taki, który implikuje . Oba pojęcia są ważne w geometrii algebraicznej , ze względu na Nullstellensatz Hilberta .

Element pierścienia równy własnemu kwadratowi nazywany jest idempotentem . W każdym pierścieniu 0 i 1 to idempotenty.Nie ma innych idempotentów w dziedzinach i ogólniej w domenach integralnych . Jednakże pierścień całkowitymi modulo  n jest 2 k idempotents, gdzie k jest liczbą różnych czynników pierwszychN . Pierścień przemienny, w którym każdy element jest równy swojemu kwadratowi (każdy element jest idempotentny) nazywany jest pierścieniem Boole'a ; przykładem z informatyki jest pierścień, którego elementami są liczby binarne , z bitowym AND jako operacją mnożenia i bitowym XOR jako operacją dodawania.

W uporządkowanego pierścienia , x 2 ≥ 0 dla każdego x . Co więcej, x 2 = 0  wtedy i tylko wtedy, gdy  x = 0 .

W algebrze superprzemiennej, gdzie 2 jest odwracalne, kwadrat dowolnego nieparzystego elementu jest równy zero.

Jeśli A jest przemienną półgrupą , to mamy

W języku form kwadratowych ta równość mówi, że funkcja kwadratowa jest „formą pozwalającą na kompozycję”. W rzeczywistości funkcja kwadratowa jest podstawą, na której budowane są inne formy kwadratowe, które również umożliwiają kompozycję. Procedura została wprowadzona przez LE Dicksona w celu wytworzenia oktonionów z kwaternionów przez podwojenie. Metoda podwojenia została sformalizowana przez AA Alberta, który rozpoczął od pola liczb rzeczywistych ℝ i funkcji kwadratu, podwajając je, aby otrzymać pole liczb zespolonych o postaci kwadratowej x 2 + y 2 , a następnie podwajając ponownie, aby uzyskać kwaterniony. Procedura podwojenia nazywana jest konstrukcją Cayleya-Dicksona i została uogólniona w celu utworzenia algebr o wymiarze 2 n nad ciałem F z inwolucją.

Funkcja kwadratowa z 2 jest „normą” algebry składu ℂ , gdzie funkcja tożsamości tworzy trywialną inwolucję, aby rozpocząć konstrukcje Cayleya-Dicksona prowadzące do algebr dwukompleksowych, dwukwaternionowych i bioktonionowych.

W liczbach zespolonych i powiązanych algebrach nad liczbami rzeczywistymi

Kompleks kwadratu,  z 2 jest pokrywa dwukrotnie w płaszczyźnie zespolonej , tak że każdy niezerowy numer kompleks ma dokładnie dwa pierwiastki. Ta mapa jest powiązana ze współrzędnymi parabolicznymi .

Absolutnym kwadratowy liczby zespolonej jest produktem oo oo * obejmuje jego sprzężoną liczbę zespoloną ; może być również wyrażona w postaci modułu zespolonego lub wartości bezwzględnej, | z | 2 . Można go uogólnić na wektory jako złożony iloczyn skalarny .

Inne zastosowania

Kwadraty są wszechobecne w algebrze, bardziej ogólnie, w prawie każdej gałęzi matematyki, a także w fizyce, gdzie wiele jednostek definiuje się za pomocą kwadratów i odwrotnych kwadratów: patrz poniżej .

Metoda najmniejszych kwadratów to standardowa metoda stosowana w systemach naddeterminowanych .

Podnoszenie do kwadratu jest używane w statystyce i teorii prawdopodobieństwa przy określaniu odchylenia standardowego zbioru wartości lub zmiennej losowej . Odchylenie każdej wartości  x i od średniej  zbioru określa się jako różnicę . Odchylenia te są podnoszone do kwadratu, a następnie pobierana jest średnia z nowego zestawu liczb (z których każda jest dodatnia). Ta średnia to wariancja , a jej pierwiastek kwadratowy to odchylenie standardowe. W finansach The zmienność instrumentu finansowego jest odchylenie standardowe od jego wartości.

Zobacz też

Powiązane tożsamości

Algebraiczny (potrzebny pierścień przemienny )
Inne

Powiązane wielkości fizyczne

Przypisy

Dalsza lektura