Kwadratowa fala - Square wave

Przebiegi sinusoidalne , kwadratowe, trójkątne i piłokształtne

	Próbka dźwięku fali prostokątnej 5 sekund fali prostokątnej przy 220 Hz
Masz problemy z odtwarzaniem tego pliku? Zobacz pomoc dla mediów .

Prostokątny jest nie sinusoidalny przebieg okresowy , w którym na przemian amplitudy przy stałej częstotliwości na stałej wartości minimalnych i maksymalnych, w tym samym czasie na minimum i maksimum. W idealnej fali prostokątnej przejścia między minimum a maksimum są natychmiastowe.

Fala prostokątna jest szczególnym przypadkiem fali impulsowej, która pozwala na dowolne czasy trwania przy minimalnej i maksymalnej amplitudzie. Stosunek wysokiego okresu do całkowitego okresu fali impulsowej nazywany jest cyklem pracy . Prawdziwa fala prostokątna ma 50% współczynnik wypełnienia (równe okresy wysokie i niskie).

Fale prostokątne są często spotykane w elektronice i przetwarzaniu sygnałów , zwłaszcza w elektronice cyfrowej i przetwarzaniu sygnałów cyfrowych . Jej stochastycznym odpowiednikiem jest trajektoria dwustanowa .

Pochodzenie i zastosowania

Fale prostokątne są powszechnie spotykane w cyfrowych obwodach przełączających i są naturalnie generowane przez binarne (dwupoziomowe) urządzenia logiczne. Fale prostokątne są zwykle generowane przez urządzenia z tranzystorami polowymi typu metal-tlenek-półprzewodnik (MOSFET) ze względu na ich szybkie włączanie i wyłączanie elektronicznego przełączania , w przeciwieństwie do tranzystorów BJT, które powoli generują sygnały bardziej przypominające fale sinusoidalne niż prostokątne.

Fale prostokątne są używane jako odniesienia czasowe lub " sygnały zegarowe ", ponieważ ich szybkie przejścia są odpowiednie do wyzwalania synchronicznych obwodów logicznych w ściśle określonych odstępach czasu. Jednak, jak pokazuje wykres w domenie częstotliwości, fale prostokątne zawierają szeroki zakres harmonicznych; mogą one generować promieniowanie elektromagnetyczne lub impulsy prądu, które zakłócają inne pobliskie obwody, powodując hałas lub błędy. Aby uniknąć tego problemu w bardzo wrażliwych obwodach, takich jak precyzyjne przetworniki analogowo-cyfrowe , jako odniesienia czasowe stosuje się fale sinusoidalne zamiast fal prostokątnych.

Pod względem muzycznym są one często opisywane jako brzmiące pusto i dlatego są wykorzystywane jako podstawa dźwięków instrumentów dętych tworzonych za pomocą syntezy subtraktywnej . Dodatkowo efekt zniekształcenia stosowany w gitarach elektrycznych obcina najbardziej zewnętrzne obszary przebiegu, powodując, że w miarę stosowania większej liczby zniekształceń, coraz bardziej przypomina on falę prostokątną.

Proste dwupoziomowe funkcje Rademachera to fale kwadratowe.

Definicje

Fala prostokątna w matematyce ma wiele definicji, które są równoważne z wyjątkiem nieciągłości:

Można ją zdefiniować po prostu jako funkcję znaku sinusoidy:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x (t) i = \ nazwa operatora {sgn} \ lewo (\ grzech {\ Frac {2 \ pi t} {T}} \ po prawej) = \ operator {sgn} (\ grzech 2\pi ft)\\v(t)&=\nazwa operatora {sgn} \left(\cos {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\nazwa operatora {sgn}(\cos 2\ pi ft),\end{wyrównany}}}$

co będzie wynosić 1, gdy sinusoida jest dodatnia, -1, gdy sinusoida jest ujemna, a 0 w przypadku nieciągłości. Tutaj T jest okresem fali prostokątnej, a f jest jej częstotliwością, które są powiązane równaniem f = 1/ T .

Fala prostokątna może być również zdefiniowana w odniesieniu do funkcji skokowej Heaviside'a u ( t ) lub funkcji prostokątnej Π ( t ):

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x (t) i = 2 \ lewo [\ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ pi \ lewo ({\ Frac {2 (t-nT)} {T}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1\\&=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[u\left( {\frac {t}{T}}-n\prawo)-u\lewo({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1}{2}}\prawo)\prawo]- 1.\koniec{wyrównany}}}$

Falę prostokątną można również wygenerować bezpośrednio za pomocą funkcji podłogi :

${\ Displaystyle x (t) = 2 \ lewo (2 \ stopa podłogi \ r piętro - \ piętro 2 stopy \ r piętro \ prawo) + 1}$

i pośrednio:

${\ Displaystyle x (t) = \ lewo (-1 \ prawo) ^ {\ l piętro 2 stopy \ r piętro}.}$

Analiza Fouriera

Sześć strzałek reprezentuje pierwsze sześć wyrazów szeregu Fouriera fali prostokątnej. Dwa kółka na dole reprezentują dokładną falę prostokątną (niebieski) i jej przybliżenie szeregiem Fouriera (fioletowy).

(Nieparzyste) harmoniczne fali prostokątnej 1000 Hz

Wykres przedstawiający pierwsze 3 wyrazy szeregu Fouriera fali prostokątnej

Stosując rozwinięcie Fouriera z częstotliwością cyklu f w czasie t , idealną falę prostokątną o amplitudzie 1 można przedstawić jako nieskończoną sumę fal sinusoidalnych:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x (t) i = {\ Frac {4} {\ pi}} \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ grzech \ lewo (2 \ pi (2k-1)ft\right)}{2k-1}}\\&={\frac {4}{\pi }}\left(\sin(\omega t)+{\frac {1}{ 3}}\sin(3\omega t)+{\frac {1}{5}}\sin(5\omega t)+\ldots \right),&{\text{gdzie }}\omega =2\ pi f.\end{wyrównany}}}$

	Dodatkowa kwadratowa demo Fala prostokątna 220 Hz tworzona przez harmoniczne dodawane co sekundę do fali sinusoidalnej
Masz problemy z odtwarzaniem tego pliku? Zobacz pomoc dla mediów .

Idealna fala prostokątna zawiera tylko składowe nieparzystych częstości harmonicznych (w postaci 2π(2 k − 1) f ). Fale piłokształtne i sygnały ze świata rzeczywistego zawierają wszystkie harmoniczne całkowite.

Ciekawostką zbieżności reprezentacji fali prostokątnej w szereg Fouriera jest zjawisko Gibbsa . Można wykazać, że artefakty dzwonienia w nieidealnych falach prostokątnych mają związek z tym zjawiskiem. Zjawisku Gibbsa można zapobiec, stosując aproksymację σ , która wykorzystuje współczynniki sigma Lanczosa, aby ułatwić płynniejszą zbieżność sekwencji.

Idealna matematyczna fala prostokątna zmienia się natychmiast pomiędzy stanem wysokim i niskim, bez niedoregulowania lub przesterowania. Jest to niemożliwe do osiągnięcia w systemach fizycznych, ponieważ wymagałoby to nieskończonej przepustowości .

Animacja addytywnej syntezy fali prostokątnej z rosnącą liczbą harmonicznych

Fale prostokątne w układach fizycznych mają tylko skończoną szerokość pasma i często wykazują efekty dzwonienia podobne do zjawiska Gibbsa lub efekty tętnienia podobne do tych z aproksymacji σ.

Aby uzyskać rozsądne przybliżenie kształtu fali prostokątnej, przynajmniej podstawowa i trzecia harmoniczna muszą być obecne, przy czym pożądana jest piąta harmoniczna. Te wymagania dotyczące szerokości pasma są ważne w elektronice cyfrowej, gdzie stosuje się analogowe przybliżenia o skończonej przepustowości do przebiegów podobnych do fali prostokątnej. (Nieustalone sygnały dzwonka są tutaj ważnym czynnikiem elektronicznym, ponieważ mogą wykraczać poza granice elektryczne obwodu lub powodować wielokrotne przekroczenie źle ustawionego progu).

Charakterystyka niedoskonałych fal prostokątnych

Jak już wspomniano, idealna fala prostokątna ma natychmiastowe przejścia między wysokim i niskim poziomem. W praktyce nigdy nie jest to osiągane ze względu na fizyczne ograniczenia systemu generującego przebieg. Czasy potrzebne do wzniesienia się sygnału z niskiego poziomu do wysokiego iz powrotem nazywane są odpowiednio czasem narastania i czasem opadania .

Jeśli system jest nadmiernie tłumiony , przebieg może nigdy nie osiągnąć teoretycznych poziomów wysokich i niskich, a jeśli system jest niedotłumiony, oscyluje wokół wysokich i niskich poziomów przed ustabilizowaniem się. W takich przypadkach czasy narastania i opadania są mierzone między określonymi poziomami pośrednimi, takimi jak 5% i 95% lub 10% i 90%. Pasma systemu jest powiązany z czasami przejścia przebiegu fali; istnieją formuły pozwalające na określenie jednego w przybliżeniu od drugiego.

Zobacz też

• Lista funkcji okresowych
• Funkcja prostokątna
• Fala tętna
• Sinusoida
• Fala trójkąta
• Fala piłokształtna
• Przebieg
• Dźwięk
• Multiwibrator
• Liniatura Ronchi , prostokątny cel paskowy używany w obrazowaniu.
• Przeprawa przez morze

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Rozkład Fouriera fali prostokątnej Interaktywne demo syntezy fali prostokątnej przy użyciu fal sinusoidalnych ze strony GeoGebra.
• Fala prostokątna przybliżona przez Sines Interaktywne demo syntezy fali prostokątnej przy użyciu fal sinusoidalnych.
• Aplety Flash Fala prostokątna.