Twierdzenie Stone-von Neumanna - Stone–von Neumann theorem

W matematyce i fizyce teoretycznej The kamienia von Neumann twierdzenie odnosi się do jednego z wielu różnych preparatów o wyjątkowości z kanonicznych stosunków komutacyjnych między położenia i pędu operatorów . Jego nazwa pochodzi od Marshalla Stone'a i Johna von Neumanna .

Zagadnienia reprezentacji relacji komutacyjnych

W mechanice kwantowej fizyczne obserwowalne reprezentowane są matematycznie przez operatory liniowe w przestrzeniach Hilberta .

Dla pojedynczej cząstki poruszającej się po linii rzeczywistej istnieją dwie ważne obserwabli: położenie i pęd . W opisie kwantowym takiej cząstki w reprezentacji Schrödingera operator pozycji x i operator pędu są odpowiednio dane wzorem${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle [x \ psi] (x_ {0}) = x_ {0} \ psi (x_ {0})}$

${\ Displaystyle [p \ psi] (x_ {0}) = - ja \ hbar {\ Frac {\ częściowy \ psi} {\ częściowy x}} (x_ {0})}$

w dziedzinie nieskończenie różniczkowalnych funkcji podpory zwartej na . Załóżmy, że jest to stała niezerowa liczba rzeczywista — w teorii kwantowej jest to zredukowana stała Plancka , która przenosi jednostki działania (energia razy czas). ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ hbar}$${\ Displaystyle \ hbar}$

Operatorzy , spełniają kanoniczny komutacji relacja Lie algebra, ${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle [x, p] = xp-px = i \ hbar.}$

Już w swojej klasycznej książce Hermann Weyl zauważył, że to prawo komutacji jest niemożliwe do spełnienia dla operatorów liniowych p , x działających na przestrzeniach skończenie wymiarowych, chyba że ℏ zniknie. Widać to, biorąc ślad po obu stronach tego ostatniego równania i używając relacji Trace( AB ) = Trace ( BA ) ; lewa strona to zero, prawa strona jest niezerowa. Dalsza analiza pokazuje, że w rzeczywistości dowolne dwa operatory samosprzężone spełniające powyższą relację komutacji nie mogą być oba ograniczone . Dla wygody notacji, nie znikający pierwiastek kwadratowy z ℏ może zostać wchłonięty do normalizacji p i x , tak że w efekcie zostaje zastąpiony przez 1. Przyjmujemy tę normalizację w następujący sposób.

Ideą twierdzenia Stone'a-von Neumanna jest to, że dowolne dwie nieredukowalne reprezentacje kanonicznych relacji komutacji są unitarnie równoważne. Ponieważ jednak zaangażowane operatory są z konieczności nieograniczone (jak wspomniano powyżej), istnieją trudne problemy z domenami, które pozwalają na kontrprzykłady. Aby uzyskać rygorystyczny wynik, należy wymagać, aby operatory spełniały wykładniczą formę kanonicznych relacji komutacyjnych, znaną jako relacje Weyla. Operatory wykładnicze są ograniczone i unitarne. Chociaż, jak zauważono poniżej, te relacje są formalnie równoważne ze standardowymi kanonicznymi relacjami komutacji, ta równoważność nie jest ścisła z powodu (ponownie) nieograniczonej natury operatorów. (Jest również dyskretna analog stosunkach Weyl, który może zawierać się w przestrzeni ograniczonej wymiarowe, czyli Sylvester jest zegara i przesunięć matryce w skończonej grupy Heisenberga, omówione poniżej).

Wyjątkowość reprezentacji

Chciałoby się sklasyfikować reprezentacje kanonicznej relacji komutacyjnej przez dwa samosprzężone operatory działające na separowalne przestrzenie Hilberta, aż do równoważności unitarnej . Według twierdzenia Stone'a istnieje zależność jeden do jednego między operatorami samosprzężonymi i (silnie ciągłymi) jednoparametrowymi grupami unitarnymi.

Niech Q i P będą dwoma operatorami samosprzężonymi spełniającymi kanoniczną relację komutacji, [ Q ,  P ] = i , a s i t dwoma parametrami rzeczywistymi. Wprowadzenie e ^ITQ i e ^isp , odpowiednie grupy jednostkowe podawane przez rachunku funkcjonalnej . (Dla wyraźnego operatorów x i p zdefiniowano powyżej, to mnożenie przez e ^ITX i pullback ruchem przesuwnym x → x + y ). Dla obliczenia formalną (stosując szczególny przypadek wzorze Baker Campbell-Hausdorffa ) udział łatwo plonów

${\ Displaystyle e ^ {itQ} e ^ {to Q} = e ^ {-ist} e ^ {to Q} e ^ {it Q}.}$

I odwrotnie, biorąc pod uwagę dwie jednoparametrowe grupy unitarne U ( t ) i V ( s ) spełniające relację oplotu

formalne różniczkowanie na 0 pokazuje, że dwa nieskończenie małe generatory spełniają powyższą kanoniczną relację komutacji. To splotowe sformułowanie kanonicznych relacji komutacyjnych (CCR) dla jednoparametrowych grup unitarnych nazywa się formą Weyla CCR .

Należy zauważyć, że powyższe wyprowadzenie jest czysto formalne. Ponieważ zaangażowane operatory są nieograniczone, problemy techniczne uniemożliwiają zastosowanie wzoru Bakera–Campbella–Hausdorffa bez dodatkowych założeń dziedzinowych. Rzeczywiście, istnieją operatory spełniające kanoniczną relację komutacji, ale nie relacje Weyla ( E1 ). Niemniej jednak w „dobrych” przypadkach oczekujemy, że operatory spełniające kanoniczną relację komutacji będą również spełniały relacje Weyla.

Problemem staje się zatem klasyfikowanie dwóch wspólnie nieredukowalnych jednoparametrowych grup unitarnych U ( t ) i V ( s ), które spełniają relację Weyla na separowalnych przestrzeniach Hilberta. Odpowiedzią jest treść twierdzenia Stone-von Neumann : wszystkie takie pary jednoparametrowych grup unitarnych są unitarnie równoważne . Innymi słowy, dla dowolnych dwóch takich U ( t ) i V ( s ) działających wspólnie nieredukowalnie na przestrzeni Hilberta H , istnieje operator unitarny W  : L ² ( R ) → H , tak że

${\ Displaystyle W ^ {*} U (t) W = e ^ {itx} \ quad {\ mbox {i}} \ quad W ^ {*} V (s) W = e ^ {isp}}$

gdzie p i x są jawnymi operatorami pozycji i pędu z wcześniejszych czasów. Gdy W jest U w tym równaniu, więc w reprezentacji x jest oczywiste, że P jest unitarnie równoważne e ^{− itQ}  P  e ^itQ = P + t , a widmo P musi rozciągać się wzdłuż całej linii rzeczywistej . Argument analogowy obowiązuje dla Q .

Istnieje również proste rozszerzenie twierdzenia Stone-von Neumanna do n stopni swobody.

Historycznie rzecz biorąc, wynik ten był istotny, dlatego, że było to kluczowy krok dla udowodnienia, że Heisenberga jest mechanika matrycy , która przedstawia kwantowe obserwable mechaniczne i dynamika względem nieskończonych macierzy, jest ukształtowane jako równoważne Schródinger 's fali preparat mechanicznej (patrz Schrödinger'a obrazu ) ,

${\ Displaystyle [U (t) \ psi] (x) = e ^ {itx} \ psi (x), \ qquad [V (s) \ psi] (x) = \ psi (x + s).}$

Sformułowanie teorii reprezentacji

W kategoriach teorii reprezentacji twierdzenie Stone-von Neumanna klasyfikuje pewne unitarne reprezentacje grupy Heisenberga . Zostało to omówione bardziej szczegółowo w sekcji dotyczącej grupy Heisenberga poniżej.

Mówiąc nieformalnie, przy pewnych założeniach technicznych, każda reprezentacja grupy Heisenberga H _{2 n  + 1} jest równoważna operatorom pozycji i operatorom pędu na R ⁿ . Alternatywnie, że wszystkie są równoważne algebrze Weyla (lub algebrze CCR ) na przestrzeni symplektycznej o wymiarze 2 n .

Bardziej formalnie, istnieje unikalna (w skali) nietrywialna centralna, silnie ciągła, unitarna reprezentacja.

Zostało to później uogólnione przez teorię Mackeya – i było motywacją do wprowadzenia grupy Heisenberga do fizyki kwantowej.

Szczegółowo:

• Ciągła grupa Heisenberga jest centralnym rozszerzeniem abelowej grupy Liego R ^{2 n} o kopię R ,
• odpowiednia algebra Heisenberga jest centralnym rozszerzeniem abelowej algebry Liego R ^{2 n} (z nawiasem trywialnym ) o kopię R ,
• dyskretna grupa Heisenberga jest centralnym rozszerzeniem wolnej grupy abelowej Z ^{2 n} o kopię Z , a
• dyskretne Heisenberga grupa modulo p jest centralne przedłużenie wolnego Abelowych p -group ( Z / p Z ) ^{2 n} kopią Z / p Z .

We wszystkich przypadkach, jeśli mamy reprezentację H _{2 n  + 1} → A , gdzie A jest algebrą i centrum odwzorowuje się na zero, to mamy po prostu reprezentację odpowiedniej grupy abelowej lub algebry, którą jest teoria Fouriera .

Jeśli centrum nie odwzorowuje zera, mamy bardziej interesującą teorię, szczególnie jeśli ograniczamy się do reprezentacji centralnych .

Konkretnie, przez reprezentację centralną rozumie się reprezentację taką, że środek grupy Heisenberga odwzorowuje się w centrum algebry : na przykład, jeśli badamy reprezentacje macierzowe lub reprezentacje operatorów na przestrzeni Hilberta, to środek macierzy algebra lub algebra operatorów to macierze skalarne . Tak więc reprezentacja środka grupy Heisenberga jest określona przez wartość skali, zwaną wartością kwantyzacji (w terminologii fizyki stała Plancka), a jeśli ta dojdzie do zera, otrzymuje się reprezentację grupy abelowej (w terminologii fizyki, jest to granica klasyczna).

Bardziej formalnie, algebra grupy Heisenberga nad jej ciałem skalarów K , zapisana K [ H ] , ma centrum K [ R ] , więc zamiast myśleć o algebrze grup jako algebrze nad ciałem K , można pomyśleć z tego jako algebrę po algebrze przemiennej K [ R ] . Ponieważ środkiem algebry macierzowej lub algebry operatorów są macierze skalarne, struktura K [ R ] na algebrze macierzowej jest wyborem macierzy skalarnej – wyborem skali. Przy takim wyborze skali centralną reprezentacją grupy Heisenberga jest odwzorowanie K [ R ] -algebr K [ H ] → A , co jest formalnym sposobem powiedzenia, że ​​wysyła centrum do wybranej skali.

Następnie twierdzenie Stone-von Neumanna mówi, że przy założeniu standardowej skali mechaniki kwantowej (efektywnie wartości ħ), każda silnie ciągła unitarna reprezentacja jest unitarnie równoważna standardowej reprezentacji z położeniem i pędem.

Przeformułowanie przez transformatę Fouriera

Niech G będzie lokalnie zwarta grupa abelowa i G ^{^} być Pontryagin podwójny z G . Fourier transform-Plancherela zdefiniowane przez

${\ Displaystyle f \ mapsto {\ kapelusz {f}} (\ gamma ) = \ int _ {G} {\ overline {\ gamma (t)}} f (t) d \ mu (t)}$

obejmuje C * -isomorphism z grupy C -algebra * C * ( G ), w G i C, ₀ ( G ^{^} ) , a więc na widmo o C * ( G ) jest dokładnie G ^{^} . Gdy G jest rzeczywistą linią R , jest to twierdzenie Stone'a charakteryzujące jednoparametrowe grupy unitarne. Twierdzenie Stone-von Neumann można również powtórzyć za pomocą podobnego języka.

Grupa G działa na C *-algebrze C ₀ ( G ) przez prawe tłumaczenie ρ : dla s w G i f w C ₀ ( G ) ,

${\ Displaystyle (s \ cdot f) (t) = f (t + s).}$

Zgodnie z izomorfizmem podanym powyżej, działanie to staje się naturalnym działaniem G na C*( G ^{^} ) :

${\ Displaystyle {\ widehat {(s \ cdot f)}} (\ gamma) = \ gamma (s) {\ kapelusz {f}} (\ gamma).}$

Czyli kowariantna reprezentacja odpowiadająca produktowi krzyżowemu C *

${\ Displaystyle C ^ {*} \ lewo ({\ kapelusz {G}} \ prawej) \ Rrazy _ {\ kapelusz {\ rho}} G}$

jest jednolitą reprezentację U ( y ) z G i V ( y ) z G ^{^} tak, że

${\ Displaystyle U (s) V (\ gamma) U ^ {*} (s) = \ gamma (s) V (\ gamma).}$

Jest ogólnym faktem, że reprezentacje kowariantne są w relacji jeden do jednego z reprezentacją * odpowiedniego produktu krzyżowego. Z drugiej strony, wszystkie nieredukowalne reprezentacje z

${\ Displaystyle C_ {0}(G) \ rrazy _ {\ rho} G}$

są ukształtowane jako równoważne , że kompaktowe operatorów na L ² ( G )) . Dlatego wszystkie pary { U ( s ),  V ( γ )} są unitarnie równoważne. Specjalizując się w przypadku, gdy G = R daje twierdzenie Stone-von Neumann. ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} \ lewo (L ^ {2} (G) \ po prawej)}$

Grupa Heisenberg

Powyższe kanoniczne relacje komutacji dla P , Q są identyczne z relacjami komutacji, które określają algebrę Liego ogólnej grupy Heisenberga H _2n+1 dla n liczby całkowitej dodatniej. Jest to grupa Liego z ( n  + 2) × ( n  + 2) macierzy kwadratowych postaci

${\ Displaystyle \ operatorname {M} (a, b, c) = {\ zacząć {bmatrix} 1 i a & c \ \ 0 i 1_ {n} i b \ \ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}.}$

W rzeczywistości, używając grupy Heisenberga, można przeformułować twierdzenie Stone'a von Neumanna na język teorii reprezentacji.

Zauważ, że środek H _2n+1 składa się z macierzy M(0, 0,  c ) . Jednakże, ten ośrodek jest nie operator tożsamość w oryginalnych CCRs Heisenberga. Generatory algebry Liego grupy Heisenberga, np. dla n = 1 , są

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} P & = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}, Q i = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \\ 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix} }},&z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{wyrównany}}}$

a centralny generator z = log M (0, 0, 1) = exp( z )-1 nie jest tożsamością.

Twierdzenie. Dla każdej niezerowej liczby rzeczywistej h istnieje nieredukowalna reprezentacja U _h działająca na przestrzeni Hilberta L ² ( R ⁿ ) przez

${\ Displaystyle \ lewo [U_ {h} (\ operatorname {M} (a, b, c)) \ prawej] \ psi (x) = e ^ {i (b \ cdot x + hc)} \ psi (x +ha).}$

Wszystkie te reprezentacje są unitarnie nierówne ; a każda nieredukowalna reprezentacja, która nie jest trywialna w centrum H _n, jest unitarnie równoważna dokładnie jednej z nich.

Zauważ, że U _h jest operatorem unitarnym, ponieważ jest to złożenie dwóch operatorów, które łatwo zauważyć jako unitarne: translacja w lewo przez ha i mnożenie przez funkcję o wartości bezwzględnej 1. Pokazanie U _h jest multiplikatywne jest proste obliczenie. Trudną częścią twierdzenia jest pokazanie wyjątkowości; to twierdzenie wynika jednak łatwo z twierdzenia Stone-von Neumanna, jak wspomniano powyżej. Poniżej naszkicujemy dowód odpowiedniego twierdzenia Stone-von Neumann dla pewnych skończonych grup Heisenberga.

W szczególności nieredukowalne reprezentacje π , π′ grupy Heisenberga H _{n ,} które są nietrywialne w centrum H _n są unitarnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy π ( z ) = π′ ( z ) dla dowolnego z w centrum H _n .

Jedną z reprezentacji grupy Heisenberga, która jest ważna w teorii liczb i teorii form modularnych, jest reprezentacja theta , nazwana tak, ponieważ funkcja theta Jacobiego jest niezmienna pod działaniem dyskretnej podgrupy grupy Heisenberga.

Związek z transformatą Fouriera

Dla dowolnej niezerowej h , mapowanie

${\ Displaystyle \ alfa _ {h}: \ operatorname {M} (a, b, c) \ do \ operatorname {M} \ lewo (-h ^ {-1} b, ha, ca \ cdot b \ prawej) }$

jest automorfizmem o H _n , który jest tożsamość w środku H _n . W szczególności reprezentacje U _h i U _h α są unitarnie równoważne. Oznacza to, że istnieje operator unitarny W na L ² ( R ⁿ ) taki, że dla dowolnego g w H _n ,

${\ Displaystyle WU_ {h} (g) W ^ {*} = U_ {h} \ alfa (g).}$

Co więcej, z nieredukowalności reprezentacji U _h wynika, że aż do skalara taki operator W jest jednoznaczny (por . lemat Schura ). Ponieważ W jest unitarne, ta wielokrotność skalarna jest jednoznacznie określona i stąd taki operator W jest unikalny.

Twierdzenie . Operator W jest transformatą Fouriera na L ² ( R ⁿ ) .

Oznacza to, że ignorując współczynnik (2 π ) ^n/2 w definicji transformaty Fouriera,

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} e ^ {-ix \ cdot p} e ^ {i (b \ cdot x + hc)} \ psi (x + ha) \ dx = e ^{i(ha\cdot p+h(cb\cdot a))}\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-iy\cdot (pb)}\psi (y)\ dy .}$

Twierdzenie to ma bezpośrednią implikację, że transformata Fouriera jest unitarna , znana również jako twierdzenie Plancherela . Ponadto,

${\ Displaystyle (\ alfa _ {h}) ^ {2} \ operatorname {M} (a, b, c) = \ operatorname {M} (-a, - b, c).}$

Twierdzenie . Operator W ₁ taki, że

${\ Displaystyle W_ {1} U_ {h} W_ {1} ^ {*} = U_ {h} \ alfa ^ {2} (g)}$

jest operatorem odbicia

${\ Displaystyle [W_ {1} \ psi] (x) = \ psi (-x).}$

Z tego faktu łatwo wynika wzór inwersji Fouriera .

Przykład: Przestrzeń Segala–Bargmanna

Przestrzeń Segala-Bargmanna jest przestrzenią funkcji holomorficznych na C ^n, które są całkowalne kwadratowo względem miary Gaussa. Fock zaobserwował w latach 20. XX wieku, że operatorzy

${\ Displaystyle a_ {j} = {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z_ {j}}}, \ qquad a_ {j} ^ {*} = z_ {j},}$

działając na funkcje holomorficzne, spełniają te same relacje komutacyjne, co zwykłe operatory anihilacji i kreacji, a mianowicie,

${\ Displaystyle \ lewo [a_ {j}, a_ {k} ^ {*} \ prawo] = \ delta _ {j, k}.}$

W 1961 Bargmann wykazały, że A^*
_jjest faktycznie sprzężona z a _j w odniesieniu do produktu pochodzącego z wewnętrznego Gaussa środka. Przez podejmowanie odpowiednich kombinacji liniowych w _j i A^*
_j, można wtedy uzyskać operatory "pozycji" i "pędu" spełniające kanoniczne relacje komutacyjne. Nietrudno wykazać, że wykładniki tych operatorów spełniają relacje Weyla i że operatory wykładnicze działają nieredukowalnie. Twierdzenie Stone'a-von Neumanna ma zatem zastosowanie i implikuje istnienie unitarnego odwzorowania z L ² ( R ⁿ ) do przestrzeni Segala-Bargmanna, które przeplata zwykłe operatory anihilacji i kreacji z operatorami a _j i a^*
_j. Ta unitarna mapa to transformata Segala-Bargmanna .

Reprezentacje skończonych grup Heisenberga

Grupa Heisenberga H _n ( K ) jest zdefiniowana dla dowolnego przemiennego pierścienia K . W tej sekcji specjalizujmy się w polu K = Z / p Z dla p a liczba pierwsza. To pole ma taką właściwość, że nie jest obszarem wstawiania ω z K , jako dodatku do grupy w grupę okręgu T . Zauważ, że H _n ( K ) jest skończone o liczności | K | ^{2 n  + 1} . Dla skończonej grupy Heisenberga H _n ( K ) można podać prosty dowód twierdzenia Stone-von Neumann za pomocą prostych własności funkcji znakowych reprezentacji. Własności te wynikają z relacji ortogonalności dla charakterów reprezentacji grup skończonych.

Dla dowolnego niezerowego h w K zdefiniuj reprezentację U _h na skończenie wymiarowej przestrzeni produktu wewnętrznego ℓ ² ( K ⁿ ) przez

${\ Displaystyle \ lewo [U_ {h} \ operatorname {M} (a, b, c) \ psi \ prawej] (x) = \ omega (b \ cdot x + hc) \ psi (x + ha).}$

Twierdzenie. Dla ustalonej niezerowej h , funkcja znaku χ z U _h dana jest wzorem:

${\ Displaystyle \ chi (\ operatorname {M} (a, b, c)) = {\ zacząć {przypadki} | K | ^ {n} \ \ omega (HC) i {\ tekst {jeśli}} a = b=0\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Wynika, że

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ lewo | H_ {n} (\ mathbf {K}) \ prawo |}} \ suma _ {g \ w H_ {n} (K)} | \ chi (g) |^{2}={\frac {1}{|K|^{2n+1}}}|K|^{2n}|K|=1.}$

Z relacji ortogonalności dla postaci reprezentacji grup skończonych fakt ten implikuje odpowiednie twierdzenie Stone-von Neumanna dla grup Heisenberga H _n ( Z / p Z ) , w szczególności:

• Nieredukowalność U _h
• Nierównoważność parami wszystkich reprezentacji U _h .

Właściwie wszystkie nieredukowalne reprezentacje H _n ( K ), na które nietrywialnie działa centrum, powstają w ten sposób.

Uogólnienia

Twierdzenie Stone-von Neumanna dopuszcza liczne uogólnienia. Znaczna część wczesnych prac George'a Mackeya była skierowana na uzyskanie sformułowania teorii indukowanych reprezentacji opracowanej pierwotnie przez Frobeniusa dla grup skończonych w kontekście unitarnych reprezentacji lokalnie zwartych grup topologicznych.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

• Kirillov, AA (1976), Elementy teorii reprezentacji , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 220 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-07476-4, numer MR  0407202
• Rosenberg, Jonathan (2004) "selektywny History of the Stone-von Neumanna twierdzenia" współczesnej matematyki 365 . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.
• Summers, Stephen J. (2001). „O twierdzeniu o unikalności kamienia-von Neumanna i jego następstwach”. W John von Neumann i podstawy fizyki kwantowej , s. 135-152. Springer, Dordrecht, 2001, online .