Superelipsoida — Superellipsoid
W matematyce , A superelipsooidu lub superelipsooidu jest w postaci stałej, którego poziome sekcje są superellipses (krzywe lame) z tymi samymi wykładnik R i których pionowe sekcje przez centrum są superellipses z tego samego wykładnik t .
Superelipsoidy jako prymitywne elementy grafiki komputerowej spopularyzował Alan H. Barr (który użył nazwy „ superquadrics ” w odniesieniu zarówno do superelipsoidów, jak i supertoroidów ). Jednakże, podczas gdy niektóre Superellipsooidy są superquadrics , ani rodzina jest zawarty w drugiej.
Piet Hein „s supereggs są szczególne przypadki Superellipsooidy.
Formuły
Podstawowy kształt
Podstawowa superelipsoida jest zdefiniowana przez ukrytą nierówność
Parametry r i t są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, które kontrolują stopień spłaszczenia na wierzchołkach i na równiku. Zauważ, że wzór staje się szczególnym przypadkiem równania superkwadrycznego, jeśli (i tylko wtedy) t = r .
Dowolny „ równoległy szerokości ” superelipsoidy (przekrój poziomy o dowolnej stałej z pomiędzy -1 a +1) jest krzywą Lamé z wykładnikiem r , przeskalowanym przez :
Każdy „ południk długości geograficznej ” (przekrój przez dowolną pionową płaszczyznę przechodzącą przez początek) jest krzywą Lamé o wykładniku t , rozciągniętą poziomo o współczynnik w zależny od płaszczyzny przekroju. Mianowicie, jeśli x = u cos θ i y = u sin θ , dla ustalonego θ , to
gdzie
W szczególności, jeśli r wynosi 2, poziome przekroje poprzeczne są okręgami, a poziome rozciągnięcie w pionowych przekrojów wynosi 1 dla wszystkich płaszczyzn. W takim przypadku superelipsoida jest bryłą obrotową , uzyskaną przez obrócenie krzywej Lamé z wykładnikiem t wokół osi pionowej.
Podstawowy kształt powyżej rozciąga się od -1 do +1 wzdłuż każdej osi współrzędnych. Ogólna superelipsoida jest uzyskiwana przez przeskalowanie podstawowego kształtu wzdłuż każdej osi przez współczynniki A , B , C , czyli półśrednice powstałej bryły. Ukryta nierówność to
Ustawiając r = 2, t = 2,5, A = B = 3, C = 4 otrzymujemy superjajko Pieta Heina .
Ogólna superelipsoida ma parametryczną reprezentację pod względem parametrów powierzchni -π/2 < v < π/2, -π < u < π.
gdzie są funkcje pomocnicze
a funkcja znaku sgn( x ) to
Objętość wewnątrz tej powierzchni można wyrazić w funkcjach beta (i funkcjach Gamma , ponieważ β( m , n ) = Γ( m )Γ( n ) / Γ( m + n ) ), jako:
Bibliografia
- Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina, Segmentacja i odzyskiwanie superquadrics . Wydawnictwo Akademickie Kluwer, Dordrecht, 2000.
- Aleš Jaklič, Franc Solina (2003) Momenty superelipsoid i ich zastosowanie do rejestracji obrazu zasięgu. TRANSAKCJE IEEE DOTYCZĄCE SYSTEMÓW, CZŁOWIEKA I CYBERNETYKI, 33 (4). s. 648-657