Twierdzenie o rakietach tenisowych - Tennis racket theorem

Główne osie rakiety tenisowej.

Strona tytułowa „Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps”, 1852 druk

Twierdzenie rakieta tenis lub pośredni twierdzenie osi wynika w mechanice opisujących ruch o sztywnym korpusie z trzech różnych głównych momentach bezwładności . Jest on również nazywany efektem Dzhanibekov , na cześć radzieckiego kosmonauty Vladimira Dzhanibekova, który zauważył jedną z logicznych konsekwencji twierdzenia podczas pobytu w kosmosie w 1985 roku, chociaż efekt był znany już co najmniej 150 lat wcześniej.

Twierdzenie opisuje następujący efekt: obrót obiektu wokół jego pierwszej i trzeciej osi głównej jest stabilny, natomiast obrót wokół jego drugiej osi głównej (lub osi pośredniej) nie.

Można to zademonstrować za pomocą następującego eksperymentu: trzymaj rakietę tenisową za jej rączkę tak, aby jej powierzchnia była pozioma, i spróbuj wyrzucić ją w powietrze tak, aby wykonała pełny obrót wokół poziomej osi prostopadłej do rączki, i spróbuj złapać uchwyt. W prawie wszystkich przypadkach podczas tego obrotu ściana również wykona pół obrotu, tak że druga ściana jest teraz uniesiona. W przeciwieństwie do tego, łatwo jest rzucić rakietą tak, aby obracała się wokół osi rączki (ê ₁ na schemacie) bez towarzyszącego jej półobrotu wokół innej osi; możliwe jest również obracanie go wokół pionowej osi prostopadłej do uchwytu (ê ₃ ) bez towarzyszącego mu półobrotu.

Eksperyment można przeprowadzić na dowolnym obiekcie, który ma trzy różne momenty bezwładności, np. książką, pilotem lub smartfonem. Efekt występuje, gdy oś obrotu różni się tylko nieznacznie od drugiej głównej osi obiektu; opór powietrza lub grawitacja nie są konieczne.

Teoria

Wizualizacja niestabilności osi pośredniej. Zarówno wielkość momentu pędu, jak i energia kinetyczna wirującego obiektu są zachowane. W rezultacie wektor prędkości kątowej pozostaje na przecięciu dwóch elipsoid.

Odtwórz multimedia

Demonstracja efektu Dzhanibekova w warunkach mikrograwitacji , NASA .

Twierdzenie o rakietach tenisowych można analizować jakościowo za pomocą równań Eulera . W warunkach bez momentu obrotowego przyjmują one postać:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja {1} {\ kropka {\ omega }} _ {1} i = (ja _ {3}-ja {2}) \ omega _ {3} \ omega _ {2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=( I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)} }\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{wyrównany}}}$

Tutaj oznaczamy główne momenty bezwładności obiektu i zakładamy . Prędkości kątowe wokół trzech głównych osi obiektu to i ich pochodne w czasie oznaczone są przez . ${\displaystyle ja_{1},ja_{2},ja_{3}}$${\displaystyle ja_{1}<ja_{2}<ja_{3}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1} \ omega _ {2} \ omega _ {3}}$${\displaystyle {\dot {\omega}}_{1},{\dot {\omega}}_{2},{\dot {\omega}}_{3}}$

Stabilny obrót wokół pierwszej i trzeciej osi głównej

Rozważmy sytuację, w której obiekt obraca się wokół osi z momentem bezwładności . Aby określić naturę równowagi, załóż małe początkowe prędkości kątowe wzdłuż pozostałych dwóch osi. W rezultacie, zgodnie z równaniem (1), jest bardzo mały. Dlatego zależność czasowa może zostać pominięta. ${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle ~{\kropka {\omega}}_{1}}$${\displaystyle ~\omega_{1}}$

Teraz różnicując równanie (2) i podstawiając z równania (3), ${\displaystyle {\kropka {\omega}}_{3}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja {2} {\ ddot {\ omega }} _ {2} i = (ja _ {1}-ja {3}) \ omega _ {1} {\ kropka {\ omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1 })(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{ie }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text {(wielkość ujemna)}}\cdot \omega _{2}\end{wyrównany}}}$

ponieważ i . ${\displaystyle I_{2}-I_{1}>0}$${\ Displaystyle I_ {1}-I_ {3}<0}$

Zauważ, że jest przeciwny, więc obrót wokół tej osi jest stabilny dla obiektu. ${\ Displaystyle \ omega _ {2}}$

Z podobnego rozumowania wynika, że ​​obrót wokół osi z momentem bezwładności jest również stabilny. ${\ Displaystyle I_ {3}}$

Niestabilny obrót wokół drugiej osi głównej

Teraz zastosuj tę samą analizę do osi z momentem bezwładności Ten czas jest bardzo mały. Dlatego zależność czasowa może być zaniedbana. ${\displaystyle I_{2}.}$${\displaystyle {\kropka {\omega}}_{2}}$${\displaystyle ~\omega_{2}}$

Teraz różnicując równanie (1) i zastępując równanie (3), ${\displaystyle {\kropka {\omega}}_{3}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja_ {1} ja {3} {\ ddot {\ omega }} _ {1} i = (ja _ {3}-ja_ {2}) (ja _ {2}-ja_ { 1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{ie}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\ text{(dodatnia ilość)}}\cdot \omega _{1}\end{wyrównany}}}$

Zauważ, że nie jest przeciwny (i dlatego będzie rósł), więc obrót wokół drugiej osi jest niestabilny . Dlatego nawet niewielkie zakłócenie wzdłuż innych osi powoduje, że obiekt się „przewraca”. ${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$

Zobacz też

• Diagram bifurkacyjny  – Wizualizacja nagłych zmian zachowania spowodowanych ciągłymi zmianami parametrów
• Teoria bifurkacji  – Badanie nagłych jakościowych zmian zachowania spowodowanych małymi zmianami parametrów
• Kąty Eulera  – Opis orientacji ciała sztywnego
• Rezonans Fano
• Stałe Feigenbauma  – Stałe matematyczne związane z zachowaniem chaotycznym
• Metastabilność
• Moment bezwładności  – Skalarna miara bezwładności obrotowej względem ustalonej osi obrotu
• Elipsoida Poinsota  – Geometryczna metoda wizualizacji obracającego się sztywnego ciała
• Polhode  – krzywa wytworzona przez wektor prędkości kątowej na elipsoidzie bezwładności
• Rezonans kształtu

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Dan Russell (5 marca 2010). „Demonstracja efektu Dzhanibekov w zwolnionym tempie z rakietami do tenisa stołowego” . Pobrano 2 lutego 2017 – przez YouTube.
• zapadlovsky (16 czerwca 2010). „Demonstracja efektu Dżanibekowa” . Pobrano 2 lutego 2017 – przez YouTube.na Międzynarodowej Stacji Kosmicznej Mir
• Wiaczesław Miezencew (7 września 2011 r.). „Efekt Djanibekova modelowany w Mathcadzie 14” . Pobrano 2 lutego 2017 – przez YouTube.
• Louis Poinsot , Théorie nouvelle de la rotation des corps , Paryż, Bachelier, 1834, 170 s. OCLC  457954839  : historycznie pierwszy matematyczny opis tego efektu.
• „Elipsoidy i dziwaczne zachowanie wirujących ciał” .- intuicyjne objaśnienie wideo autorstwa Matta Parkera