Matematyka trójfazowej energii elektrycznej - Mathematics of three-phase electric power

Jeden cykl napięcia układu trójfazowego oznaczony od 0 do 360° (2π radiany) wzdłuż osi czasu. Wykreślona linia reprezentuje zmianę chwilowego napięcia (lub prądu) w czasie. Cykl ten powtarza się z częstotliwością zależną od systemu elektroenergetycznego.

W elektrotechnice , trójfazowe systemy elektroenergetyczne mają co najmniej trzy przewodami napięcie przemienne , które są przesunięte w czasie o jedną trzecią okresu. Układ trójfazowy może być ułożony w trójkąt (∆) lub gwiazdę (Y) (oznaczany również jako trójnik w niektórych obszarach). System gwiazda umożliwia korzystanie z dwóch różnych napięć ze wszystkich trzech faz , na przykład system 230/400 V, który zapewnia napięcie 230 V między przewodem neutralnym (centrum koncentratora) a dowolną jedną z faz oraz 400 V w dowolnych dwóch fazach. Układ delta zapewnia tylko jedno napięcie, ale ma większą redundancję, ponieważ może nadal działać normalnie z jednym z trzech uzwojeń zasilających w trybie offline, aczkolwiek przy 57,7% całkowitej pojemności. Prąd harmoniczny w przewodzie neutralnym może być bardzo duży, jeśli podłączone są obciążenia nieliniowe.

Definicje

W topologii połączonej w gwiazdę (gwiazdę), z sekwencją obrotów L1 - L2 - L3, zmienne w czasie napięcia chwilowe można obliczyć dla każdej fazy A,C,B odpowiednio przez:

${\ Displaystyle V_ {L1-N} = V_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta \ prawo) \ \!}$

${\ Displaystyle V_ {L2-N} = V_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta - {\ Frac {2} {3}} \ pi \ prawo) = V_ {P} \ grzech \ lewo (\ teta + {\frac {4}{3}}\pi \prawo)}$

${\ Displaystyle V_ {L3-N} = V_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta - {\ Frac {4}{3}} \ pi \ prawo) = V_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta + {\frac {2}{3}}\pi \prawo)}$

gdzie:

${\ Displaystyle V_ {P}}$ to napięcie szczytowe,

${\ Displaystyle \ theta = 2 \ pi ft \, \!}$ jest kąt fazowy w radianach

${\displaystyle t}$ to czas w sekundach

${\displaystyle f}$ to częstotliwość w cyklach na sekundę i

napięcia L1-N, L2-N i L3-N odnoszą się do punktu połączenia w gwiazdę.

Schematy

Poniższe obrazy pokazują, jak system sześciu przewodów dostarczających trzy fazy z alternatora można zastąpić tylko trzema. Pokazano również transformator trójfazowy.

• 

  Podstawowy sześcioprzewodowy alternator trójfazowy, w którym każda faza wykorzystuje oddzielną parę przewodów transmisyjnych.

• 

  Podstawowy trójprzewodowy alternator trójfazowy, pokazujący, jak fazy mogą dzielić tylko trzy przewody transmisyjne.

• 

  Każda faza transformatora trójfazowego ma własną parę uzwojeń ze wspólnym rdzeniem.

Zrównoważone obciążenia

Ogólnie rzecz biorąc, w systemach elektroenergetycznych obciążenia są rozkładane tak równomiernie, jak to jest praktycznie możliwe, między fazami. Powszechną praktyką jest najpierw omówienie systemu zrównoważonego, a następnie opisanie skutków systemów niezrównoważonych jako odchyleń od przypadku podstawowego.

Stały transfer mocy

Ważną właściwością mocy trójfazowej jest to, że chwilowa moc dostępna dla obciążenia rezystancyjnego jest stała przez cały czas. Rzeczywiście, niech ${\ Displaystyle \ scriptstyle P \, = \ VI \, = \, {\ Frac {1} {R}} V ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} P_ {Li} i = {\ Frac {V_ {Li} ^ {2}} {R}} \ \ P_ {TOT} i = \ suma _ {i} P_ {Li} \end{wyrównany}}}$

Aby uprościć matematykę, definiujemy moc niewymiarową do obliczeń pośrednich,${\ Displaystyle \ scriptstyle p \, = \, {\ Frac {1} {V_ {P} ^ {2}}} P_ {TOT} R}$

${\ Displaystyle p = \ grzech ^ {2} \ theta + \ grzech ^ {2} \ lewo (\ theta - {\ Frac {2} {3}} \ pi \ po prawej) + \ grzech ^ {2} \ po lewej (\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)={\frac {3}{2}}}$

Stąd (zastępując z powrotem):

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V_ {P} ^ {2}} {2R}}.}$

Ponieważ wyeliminowaliśmy , widzimy, że całkowita moc nie zmienia się w czasie. Jest to niezbędne do utrzymania płynnej pracy dużych generatorów i silników. ${\displaystyle \theta}$

Zauważ również, że używając pierwiastka napięcia średniego kwadratowego , wyrażenie dla powyższego przyjmuje następującą, bardziej klasyczną postać: ${\ Displaystyle V = {\ Frac {V_ {p}} {\ sqrt {2}}}}$${\displaystyle P_{TOT}}$

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V ^ {2}} {R}}}$.

Obciążenie nie musi być rezystancyjne, aby uzyskać stałą moc chwilową, ponieważ dopóki jest zrównoważone lub takie samo dla wszystkich faz, może być zapisane jako

${\ Displaystyle Z = | Z | e ^ {j \ varphi}}$

tak, że prąd szczytowy wynosi

${\ Displaystyle I_ {P} = {\ Frac {V_ {P}} {| Z |}}}$

dla wszystkich faz i prądów chwilowych są

${\ Displaystyle I_ {L1} = I_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta - \ Varphi \ prawej)}$

${\ Displaystyle I_ {L2} = I_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta - {\ Frac {2} {3}} \ pi - \ Varphi \ prawej)}$

${\ Displaystyle I_ {L3} = I_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta - {\ Frac {4}{3}} \ pi - \ Varphi \ prawej)}$

Teraz moce chwilowe w fazach są

${\ Displaystyle P_ {L1} = V_ {L1} I_ {L1} = V_ {P} I_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta \ po prawej) \ grzech \ po lewej (\ theta - \ varphi \ po prawej)}$

${\ Displaystyle P_ {L2} = V_ {L2} I_ {L2} = V_ {P} I_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta - {\ Frac {2} {3}} \ pi \ po prawej) \ grzech \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\ Displaystyle P_ {L3} = V_ {L3} I_ {L3} = V_ {P} I_ {P} \ grzech \ lewo (\ theta - {\ Frac {4}{3}} \ pi \ po prawej) \ grzech \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

Korzystając ze wzorów odejmowania kątów :

${\ Displaystyle P_ {L1} = {\ Frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ lewo [\ cos \ lewo (\ varphi \ prawo) - \ cos \ lewo (2 \ theta - \ varphi \prawo)\prawo]}$

${\ Displaystyle P_ {L2} = {\ Frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ lewo [\ cos \ lewo (\ Varphi \ prawo) - \ cos \ lewo (2 \ theta - {\ frac {4}{3}}\pi -\varphi \prawo)\prawo]}$

${\ Displaystyle P_ {L3} = {\ Frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ lewo [\ cos \ lewo (\ Varphi \ prawo) - \ cos \ lewo (2 \ theta - {\ szczelina {8}{3}}\pi -\varphi \prawo)\prawo]}$

które sumują się do całkowitej mocy chwilowej

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ lewo \ {3 \ cos \ varphi - \ lewo [\ cos \ lewo (2 \ theta - \ varphi \ po prawej)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}} \pi -\varphi \prawo)\prawo]\prawo\}}$

Ponieważ trzy terminy ujęte w nawiasy kwadratowe są układem trójfazowym, sumują się do zera, a całkowita moc staje się

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V_ {P} I_ {P}} {2}} \ cos \ varphi}$

lub

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V_ {P} ^ {2}} {2 | Z |}} \ cos \ varphi}$

pokazując powyższe twierdzenie.

Ponownie, używając pierwiastka średniego kwadratowego napięcia , można zapisać w zwykłej formie ${\ Displaystyle V = {\ Frac {V_ {p}} {\ sqrt {2}}}}$${\displaystyle P_{TOT}}$

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V ^ {2}} {Z}} \ cos \ varphi}$.

Brak prądu neutralnego

W przypadku równych obciążeń na każdej z trzech faz, w przewodzie neutralnym nie płynie prąd netto. Prąd neutralny jest odwróconą sumą wektorów prądów linii. Zobacz prawa obwodu Kirchhoffa .

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} I_ {L1} i = {\ Frac {V_ {L1-N}} {R}} \; I_ {L2} = {\ Frac {V_ {L2-N}}} R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\-I_{N}&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}\ koniec{wyrównany}}}$

Definiujemy prąd bezwymiarowy, : ${\ Displaystyle i = {\ Frac {I_ {N} R} {V_ {P}}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i = \ grzech \ lewo (\ theta \ prawo) + \ grzech \ lewo (\ theta - {\ Frac {2 \ pi} {3}} \ po prawej) + \ grzech \ lewo (\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)+2\sin \left(\theta \right)\cos \left( {\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)-\sin \left(\theta \right)\\&=0\end{aligned} }}$

Ponieważ pokazaliśmy, że prąd neutralny wynosi zero, możemy zobaczyć, że usunięcie rdzenia neutralnego nie będzie miało wpływu na obwód, pod warunkiem, że układ jest zrównoważony. Takie połączenia są zwykle używane tylko wtedy, gdy obciążenie na trzech fazach jest częścią tego samego elementu wyposażenia (na przykład silnika trójfazowego), ponieważ w przeciwnym razie przełączanie obciążeń i niewielkie nierównowagi spowodowałyby duże wahania napięcia.

Systemy niezrównoważone

W praktyce systemy rzadko mają idealnie zrównoważone obciążenia, prądy, napięcia i impedancje we wszystkich trzech fazach. Analiza przypadków niezrównoważonych jest znacznie uproszczona przez zastosowanie technik składowych symetrycznych . System niezrównoważony jest analizowany jako superpozycja trzech systemów zrównoważonych, z których każdy zawiera dodatnią, ujemną lub zerową sekwencję napięć zrównoważonych.

Określając rozmiary przewodów w systemie trójfazowym, wystarczy znać wielkość prądów fazowych i neutralnych. Prąd neutralny można określić, dodając razem trzy prądy fazowe jako liczby zespolone, a następnie przekształcając współrzędne prostokątne na biegunowe. Jeśli trójfazowe prądy średniokwadratowe (RMS) wynoszą , , i , neutralny prąd skuteczny wynosi: ${\ Displaystyle I_ {L1}}$${\ Displaystyle I_ {L2}}$${\ Displaystyle I_ {L3}}$

${\ Displaystyle I_ {L1} + I_ {L2} \ cos \ lewo ({\ Frac {2} {3}} \ pi \ po prawej) + jI_ {L2} \ grzech \ po lewej ({\ Frac {2} {3 }}\pi \right)+I_{L3}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \right)+jI_{L3}\sin \left({\frac {4}{3 }}\pi \prawo)}$

który postanawia

${\ Displaystyle I_ {L1}-I_ {L2}{\ Frac {1}{2}}-I_ {L3}{\ Frac {1}{2}} + J {\ Frac {\ sqrt {3}}{ 2}}\lewo(I_{L2}-I_{L3}\prawo)}$

Polarna wielkość tego jest pierwiastkiem kwadratowym z sumy kwadratów części rzeczywistych i urojonych, która redukuje się do

${\ Displaystyle {\ sqrt {I_ {L1} ^ {2} + I_ {L2} ^ {2} + I_ {L3} ^ {2}-I_ {L1} I_ {L2} -I_ {L1} I_ {L3 }-I_{L2}I_{L3}}}}$

Obciążenia nieliniowe

Przy obciążeniach liniowych przewód neutralny przenosi prąd tylko z powodu braku równowagi między fazami. Urządzenia wykorzystujące przednie końcówki prostownik-kondensator (takie jak zasilacze impulsowe do komputerów, sprzętu biurowego itp.) wprowadzają harmoniczne trzeciego rzędu. Prądy trzeciej harmonicznej są w fazie na każdej z faz zasilania i dlatego sumują się w przewodzie neutralnym, co może spowodować, że prąd neutralny w układzie gwiazda przekroczy prądy fazowe.

Obrotowe pole magnetyczne

Dowolny układ wielofazowy, dzięki czasowemu przesunięciu prądów w fazach, umożliwia łatwe generowanie pola magnetycznego, które obraca się z częstotliwością linii. Takie wirujące pole magnetyczne umożliwia stosowanie wielofazowych silników indukcyjnych . Rzeczywiście, tam, gdzie silniki indukcyjne muszą działać na zasilaniu jednofazowym (takim, jakie jest zwykle rozprowadzane w domach), silnik musi zawierać mechanizm wytwarzający pole obrotowe, w przeciwnym razie silnik nie może generować żadnego momentu postojowego i nie uruchomi się. Pole wytwarzane przez uzwojenie jednofazowe może dostarczać energię do już obracającego się silnika, ale bez mechanizmów pomocniczych silnik nie przyspieszy od zatrzymania.

Wirujące pole magnetyczne o ustalonej amplitudzie wymaga, aby wszystkie trzy prądy fazowe były równe co do wielkości i dokładnie przesunięte o jedną trzecią cyklu w fazie. Niezrównoważona praca powoduje niepożądane skutki dla silników i generatorów.

Konwersja na inne systemy fazowe

Zakładając, że dwa przebiegi napięcia mają przynajmniej pewne względne przesunięcie na osi czasu, inne niż wielokrotność półokresu, każdy inny wielofazowy zestaw napięć może być uzyskany przez układ pasywnych transformatorów . Takie tablice będą równomiernie równoważyć obciążenie wielofazowe między fazami systemu źródłowego. Na przykład zrównoważoną moc dwufazową można uzyskać z sieci trójfazowej za pomocą dwóch specjalnie skonstruowanych transformatorów, z odczepami na 50% i 86,6% napięcia pierwotnego. To połączenie Scott T tworzy prawdziwy system dwufazowy z 90-stopniową różnicą czasu między fazami. Innym przykładem jest generowanie systemów wyższego rzędu dla dużych systemów prostownikowych w celu uzyskania gładszego wyjścia prądu stałego i zmniejszenia prądów harmonicznych w zasilaniu.

Gdy potrzebna jest trójfazowa, ale tylko jednofazowa jest łatwo dostępna od dostawcy energii elektrycznej, konwerter fazowy może być użyty do generowania mocy trójfazowej z zasilania jednofazowego. Silnik-generator jest często stosowane w fabrycznych zastosowań przemysłowych.

Pomiary systemowe

W systemie trójfazowym wymagane są co najmniej dwa przetworniki do pomiaru mocy, gdy nie ma przewodu neutralnego, lub trzy przetworniki, gdy jest przewód neutralny. Twierdzenie Blondela mówi, że liczba wymaganych elementów pomiarowych jest o jeden mniejsza niż liczba przewodników z prądem.

Zobacz też

Bibliografia

• Stevenson, William D. Jr. (1975). Elementy analizy systemów elektroenergetycznych . Seria inżynierii elektrycznej i elektronicznej McGraw-Hill (3rd ed.). Nowy Jork: McGraw-Hill. Numer ISBN 0-07-061285-4.