Jednolity polytope k  ₂₁ -Uniform k ₂₁ polytope

W geometrii , A jednolity K ₂₁ Polytope jest Polytope w k  + 4 wymiarach wykonana z e _n grupy Coxeter , i mające zwykłe Polytope aspektów. Rodzina została nazwana przez ich symbol Coxetera k ₂₁ przez jego rozwidlony diagram Coxetera-Dynkina , z pojedynczym pierścieniem na końcu sekwencji k- węzłów.

Thorold Gosset odkrył tę rodzinę w ramach swojego wyliczenia z 1900 r. regularnych i półregularnych polytopes , dlatego są one czasami nazywane figurami półregularnymi Gosseta . Gosset nazwał je według ich wymiaru od 5 do 10, na przykład 5-ic półregularna figura .

Członkowie rodziny

Sekwencja zidentyfikowana przez Gosseta kończy się nieskończoną teselacją (plaster miodu wypełniający przestrzeń) w przestrzeni 8, zwaną kratą E8 . (Ostateczna forma nie została odkryta przez Gosseta i jest nazywana kratą E10 : 7 ₂₁ . Jest to teselacja hiperbolicznej przestrzeni 10-przestrzennej zbudowanej ze ścianek ∞ 10- simplex i ∞10- ortopleks ze wszystkimi wierzchołkami w nieskończoności.)

Rodzina zaczyna się wyjątkowo jako 6-politopes . Trójkątny pryzmat i rektyfikowany 5-komórka są zawarte na początku dla kompletności. Demipenteract istnieje również w demihypercube rodziny.

Są one także czasami nazywane przez ich grupy symetrii, jak E6 Polytope , chociaż istnieje wiele jednolite polytopes obrębie E ₆ symetrii.

Pełna rodzina półregularnych polytopów Gosset to:

1. trójkątny pryzmat : -1 ₂₁ (2 trójkąty i 3 kwadratowe powierzchnie)
2. rektyfikowany 5-komorowy : 0 ₂₁ , Tetroktahedryczny (5 czworościanów i 5 ośmiościanów )
3. demipenteract : 1 ₂₁ , 5-ic półregularna figura (16 5-komórkowych i 10 16-komórkowych faset)
4. 2 21 polytope : 2 ₂₁ , 6-ic figura półregularna (72 fasetki 5- simplex i 27 faset 5- ortopleks )
5. 3 21 Polytope : 3 ₂₁ , 7-ic semiregular postać (576 6- simplex i 126 6- orthoplex aspektów)
6. 4 21 polytope : 4 ₂₁ , 8-ic figura półregularna ( fasety 17280 7- simplex i 2160 7- ortplex )
7. 5 21 plaster miodu : 5 ₂₁ , 9-ic półregularne kratki mozaikowe Euklidesa 8-przestrzeń (∞ 8- simplex i ∞ 8- ortplex )
8. 6 21 plaster miodu : 6 ₂₁ , teselacja hiperboliczna 9-przestrzeń ( fasetki 9- simplex i ∞ 9- ortplex )
9. 7 21 plaster miodu: 7 ₂₁ , mozaika hiperboliczna 10-przestrzenna (∞ 10- simplex i ∞ 10- ortplexs )

Każdy politop jest zbudowany z ( n  − 1)- simpleksowych i ( n  − 1)- ortopleksowych ścianek.

Ściany ortopleksowe są zbudowane z grupy Coxetera D _{n -1} i mają symbol Schläfliego {3 ^{1, n -1,1} } zamiast regularnego {3 ^{n -2} ,4}. Ta konstrukcja jest implikacją dwóch „typów fasetowych”. Połowa faset wokół każdego grzbietu orthoplex jest połączona z innym orthoplex, a pozostałe są połączone z simpleksem. W przeciwieństwie do tego, każdy grzbiet simpleksowy jest połączony z ortopleksem.

Każda ma figurę wierzchołkową, jak poprzednia forma. Na przykład rektyfikowana 5-komórka ma figurę wierzchołkową w postaci trójkątnego graniastosłupa .

Elementy

Półregularne figury Gosset

n -ic	k 21	Wykres	Nazwa diagramu Coxetera	Fasety		Elementy
				( n  − 1)- simpleks {3 n −2 }	( n  − 1)- ortoplex {3 n −4,1,1 }	Wierzchołki	Krawędzie	Twarze	Komórki	4 twarze	5 twarzy	6 twarzy	7 twarzy
3-ic	-1 21		Trójkątny pryzmat	2 trójkąty	3 kwadraty	6	9	5
4-ic	0 21		Rektyfikacja 5-ogniwowa	5 czworościanów	5 ośmiościanów	10	30	30	10
5-ic	1 21		Demipenteract	16 5-komorowy	10 16-ogniwowych	16	80	160	120	26
6-ic	2 21		2 21 politopów	72 5-simplexy	27 5-ortopleksów	27	216	720	1080	648	99
7-ic	3 21		3 21 politopów	576 6-simpleksów	126 6-ortopleksów	56	756	4032	10080	12096	6048	702
8-ic	4 21		4 21 polytope	17280 7-simpleksów	2160 7-ortopleksów	240	6720	60480	241920	483840	483840	207360	1940
9-ic	5 21		5 21 plaster miodu	∞ 8-simpleksów	∞ 8-ortopleksów	∞
10-ic	6 21		6 21 plaster miodu	∞ 9-simpleksów	∞ 9-ortopleksów	∞
11-ic	7 21		7 21 plaster miodu	∞ 10 simpleksów	∞ 10-ortopleksy	∞

Zobacz też

• Jednolita rodzina polytopów 2 _k1
• Jednolita rodzina polytopów 1 _k2

Bibliografia

• T. Gosset : O regularnych i półregularnych figurach w przestrzeni n wymiarów , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
• Alicia Boole Stott Dedukcja geometryczna półregularnych z regularnych polytopes i wypełnień przestrzennych , Verhandelingen akademii Koninklijke van Wetenschappen jednostka szerokości Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
  • Stott, AB „Geometryczne odejmowanie wartości półregularnej z regularnych polytopes i wypełnień przestrzeni”. Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam 11, 3-24, 1910.
  • Alicia Boole Stott, „Geometryczne dedukcja półregularnych z regularnych wielotopów i wypełnień przestrzeni”, Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (sekcja niezwykła), tom. 11, nr 1, s. 1–24 plus 3 tablice, 1910.
  • Stott, AB 1910. „Geometryczne odliczenie półregularne z regularnych Polytopes i wypełnień przestrzeni”. Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam
• Schoute, PH, Obróbka analityczna politopów regularnie wywodzących się z politopów regularnych, Ver. der Koninklijke Akad. van Wetenschappen te Amsterdam (niesamowita sekta), tom 11.5, 1913.
• HSM Coxeter : Politopy regularne i półregularne, część I, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1940
• NW Johnson : Teoria jednolitych politopów i plastrów miodu , Ph.D. Rozprawa, Uniwersytet w Toronto, 1966 19
• HSM Coxeter: Regularne i półregularne Polytopes, część II, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1985
• HSM Coxeter: Regularne i półregularne Polytopes, część III, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1988
• G.Blind i R.Blind, "Wielościany półregularne", Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150-154
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie rzeczy 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Rozdział 26. pp 411-413: The Gosset Series: n ₂₁ )

Linki zewnętrzne

• PolyGloss v0.05: Figurki Gosset (Gossetoicosatope)
• Politopy regularne, półregularne, regularne i archimedesowe

v t mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite plastry miodu o wymiarach 2-9
Przestrzeń	Rodzina	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$/ /${\ Displaystyle {\ tylda {F}} {4}}$${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {n-1}}$
E 2	Jednolite kafelki	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Sześciokątny
E 3	Jednolity wypukły plaster miodu	{3 [4] }	δ 4	h 4	qδ 4
E 4	Jednolity 4-plaster miodu	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-komórkowy plaster miodu
E 5	Jednolity 5-plaster miodu	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Jednolity 6-plaster miodu	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Jednolite 7-plaster miodu	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Jednolite 8-plaster miodu	{3 [9] }	δ 9	h 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Jednolite 9-plaster miodu	{3 [10] }	δ 10	godz. 10	qδ 10
E 10	Jednolite 10-plaster miodu	{3 [11] }	δ 11	godz. 11	qδ 11
P n -1	Jednolity ( n -1)- plaster miodu	{3 [n] }	δ n	h n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21