Jednolity 4-politop - Uniform 4-polytope

W geometrii , jednolity 4-politop (lub jednolity polichoron ) jest 4-wymiarowym politopem, który jest wierzchołkowo przechodni i którego komórki są jednolitymi wielościanami , a ściany są regularnymi wielokątami .

Opisano czterdzieści siedem niepryzmatycznych wypukłych jednolitych 4-politopów, jeden skończony zbiór wypukłych form pryzmatycznych i dwa nieskończone zbiory wypukłych form pryzmatycznych. Istnieje również nieznana liczba form gwiazd niewypukłych.

Historia odkrycia

• Politopy wypukłe regularne :
  • 1852 : Ludwig Schläfli udowodnił w swoim rękopisie Theorie der vielfachen Kontinuität, że istnieje dokładnie 6 regularnych polytopes w 4 wymiarach i tylko 3 w 5 lub więcej wymiarach.
• Regularne 4-politopy gwiazdy (komórki wielościanu gwiazdy i/lub figury wierzchołków )
  • 1852 : Ludwig Schläfli znalazł również 4 z 10 4-politopów z regularnymi gwiazdami, pomijając 6 z figurami komórek lub wierzchołków { ⁵ / _2,5 } i { ^5,5 / ₂ } .
  • 1883 : Edmund Hess ukończone wykaz 10 spośród nonconvex regularnych 4-polytopes w swojej książce (w języku niemieckim) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung MIT Besonderer Berücksichtigung Ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder [2] .
• Wypukłe półregularne polytopes : (różne definicje przed jednolitą kategorią Coxetera )
  • 1900 : Thorold Gosset wyliczył listę niepryzmatycznych, półregularnych polytopes wypukłych o regularnych komórkach (bryła platońska ) w swojej publikacji On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions .
  • 1910 : Alicia Boole Stott , w swojej publikacji Geometryczna dedukcja półregularnych z regularnych politopów i wypełnień przestrzeni , rozszerzyła definicję, dopuszczając również bryły Archimedesa i komórki pryzmatyczne . Konstrukcja ta liczyła 45 półregularnych 4-politopów.
  • 1911 : Pieter Hendrik Schoute opublikował Obróbkę analityczną politopów regularnie wywodzących się z regularnych politopów, postępując zgodnie z notacjami Boole-Stotta, wyliczając wypukłe jednolite politopy według symetrii opartej na 5-komorowej , 8-komorowej / 16-komorowej i 24-komorowej .
  • 1912 : EL Elte niezależnie rozszerzył listę Gosseta o publikację The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , polytopes z jednym lub dwoma typami półregularnych faset.
• Politopy jednorodne wypukłe :
  • 1940 : Poszukiwania były systematycznie rozszerzane przez HSM Coxetera w jego publikacji Regular and Semi-Regular Polytopes .
  • Wypukłe jednolite 4-politopy :
    • 1965 : Kompletna lista form wypukłych została ostatecznie wyliczona przez Johna Hortona Conwaya i Michaela Guya w ich publikacji Four-Dimensional Archimedean Polytopes , ustalonej za pomocą analizy komputerowej, dodając tylko jeden nie-Wythoffian wypukły 4-politop, wielki antypryzmat .
    • 1966 Norman Johnson kończy doktorat Rozprawa Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs pod kierunkiem promotora Coxetera, uzupełnia podstawową teorię jednolitych polytopes dla wymiarów 4 i wyższych.
    • 1986 Coxeter opublikował artykuł Regular and Semi-Regular Polytopes II, który zawierał analizę unikalnej struktury 24-komórkowej snub oraz symetrię anomalnego wielkiego antypryzmu.
    • 1998-2000 : Czteropolitopy zostały systematycznie nazwane przez Normana Johnsona i podane przez indeksowane wyliczenie internetowe George'a Olshevsky'ego (używane jako podstawa tego wykazu). Johnson nazwał 4-politopy jako polychora, podobnie jak polyhedra dla 3-politopes, od greckich korzeni poly („wiele”) i choros („pokój” lub „przestrzeń”). Nazwy jednolitej polichory zaczynały się od 6 regularnych polichor z przedrostkami opartymi na pierścieniach w diagramach Coxetera; obcięcie t _0,1 , kantelacja, t _0,2 , runcination t _0,3 , z pojedynczymi obramowanymi formami zwanymi rektyfikowanymi i dodanymi przedrostkami bi,tri, gdy pierwszy pierścień znajdował się na drugim lub trzecim węźle.
    • 2004 : Dowód, że zestaw Conway-Guy jest kompletny został opublikowany przez Marco Möllera w swojej pracy doktorskiej Vierdimensionale Archimedische Polytope . Möller odtworzył system nazewnictwa Johnsona w swoim wykazie.
    • 2008 : The Symetries of Things została opublikowana przez Johna H. Conwaya i zawiera pierwszą opublikowaną drukiem listę wypukłych jednolitych 4-politopów i wielowymiarowych wielowymiarowych przez rodzinę grup Coxetera, z ogólnymi diagramami figur wierzchołkowych dla każdej permutacji pierścieniowego diagramu Coxetera -snub , wielki antypryzm i duopryzmy – które nazwał pryzmatami dla pryzmatów produktowych. Użył swojego własnego schematu nazewnictwa ijk -ambo dla indeksowanych permutacji pierścieniowych poza obcinaniem i cięciem bitowym, a wszystkie nazwiska Johnsona zostały uwzględnione w indeksie książkowym.
• Nieregularna jednolita gwiazda 4-politopes : (podobna do niewypukłej jednolitej wielościanu )
  • 2000-2005 : We wspólnych poszukiwaniach do 2005 r. Jonathan Bowers i George Olshevsky zidentyfikowali w sumie 1845 jednolitych 4-politopów (wypukłych i niewypukłych), a w 2006 r. odkryto dodatkowe cztery, łącznie 1849.
  • 2020-2021 : znaleziono 339 nowych polichor , podnosząc całkowitą liczbę znanych jednolitych 4-politopów do 2188.

Regularne 4-politopy

Regularne 4-politopy są podzbiorem jednolitych 4-politopów, które spełniają dodatkowe wymagania. Regularne 4-polytopes można wyrazić symbol schläfliego { p , q , r } są komórki typu { p , q } jest zwrócona typu { s }, liczby krawędzi { r } i figur wierzchołków { q , r }.

Istnienie regularnego 4-politopu { p , q , r } jest ograniczone przez istnienie regularnych wielościanów { p , q } , które stają się komórkami oraz { q , r } , które stają się figurą wierzchołkową .

Istnienie jako skończony 4-politop zależy od nierówności:

${\ Displaystyle \ sin \ lewo ({\ Frac {\ pi} {p}} \ prawej) \ grzech \ lewo ({\ Frac {\ pi} {R}} \ po prawej)> \ cos \ lewo ({\ Frac {\pi }{q}}\w prawo).}$

16 regularnych 4-politopów , z tą właściwością, że wszystkie komórki, ściany, krawędzie i wierzchołki są przystające:

• 6 regularnych wypukłych 4-politopów : 5-komorowy {3,3,3}, 8-komorowy {4,3,3}, 16-komorowy {3,3,4}, 24-komorowy {3,4,3} , 120 komórek {5,3,3} i 600 komórek {3,3,5}.
• 10 regularnych gwiazd 4-politopów : icosahedral 120-cell {3,5, ⁵ / ₂ }, mały gwiaździsty 120-cell { ⁵ / ₂ ,5,3}, wielki 120-cell {5, ⁵ / ₂ ,5}, grand 120-cell {5,3, ⁵ / ₂ }, wielki stellated 120-cell { ⁵ / ₂ ,3,5}, grand stellated 120-cell { ⁵ / ₂ , 5, ⁵ / ₂ }, wielki 120- komórka {5, ⁵ / ₂ ,3}, wielki dwudziestościenny 120-komorowy {3, ⁵ / ₂ ,5}, wielki 600-komórkowy {3,3, ⁵ / ₂ } i wielki gwiaździsty 120-komorowy { ⁵ / ₂ ,3,3}.

Wypukłe jednolite 4-politopy

Symetria jednolitych 4-politopów w czterech wymiarach

Podgrupy ortogonalne

16 luster B 4 można rozłożyć na 2 grupy ortogonalne, 4 A 1 i D 4 : = (4 lustra) = (12 luster)

24 lustra F 4 można rozłożyć na 2 ortogonalne grupy D 4 : = (12 luster) = (12 luster)

10 luster B 3 × A 1 można rozłożyć na grupy ortogonalne, 4 A 1 i D 3 : = (3+1 lustra) = (6 luster)

Istnieje 5 podstawowych rodzin grup punktów symetrii lustrzanej w 4 wymiarach: A ₄ =, B ₄ =, D ₄ =, F ₄ =, H ₄ =. Istnieją również 3 grupy pryzmatyczne A ₃ A ₁ =, B ₃ A ₁ =, H ₃ A ₁ =, oraz grupy duopryzmatyczne: I ₂ (p)×I ₂ (q) =. Każda grupa zdefiniowana przez podstawową domenę czworościanu Goursata ograniczoną płaszczyznami lustrzanymi.

Każdy odblaskowy jednolity 4-politop może być skonstruowany w jednej lub więcej odblaskowych grupach punktowych w 4 wymiarach za pomocą konstrukcji Wythoffa , reprezentowanej przez pierścienie wokół permutacji węzłów na diagramie Coxetera . Hiperpłaszczyzny lustrzane można grupować, co widać za pomocą kolorowych węzłów, oddzielonych rozgałęzieniami parzystymi. Grupy symetrii postaci [a,b,a] mają symetrię rozszerzoną, [[a,b,a]], podwajając porządek symetrii. Obejmuje to [3,3,3], [3,4,3] i [ p ,2, p ]. Politopy jednorodne z tej grupy z pierścieniami symetrycznymi zawierają tę rozszerzoną symetrię.

Jeśli wszystkie zwierciadła danego koloru są nieobrączkowane (nieaktywne) w danym jednolitym wielotopie, będzie on miał konstrukcję o niższej symetrii poprzez usunięcie wszystkich nieaktywnych zwierciadeł. Jeśli wszystkie węzły danego koloru są obramowane (aktywne), operacja naprzemienna może wygenerować nowy 4-politop z symetrią chiralną, pokazany jako „puste” węzły zakreślone okręgiem”, ale geometria nie jest ogólnie regulowana w celu stworzenia jednolitych rozwiązań .

Grupa Weyl	Quaternion Conway	Abstrakcyjna struktura	Zamówienie	Schemat Coxetera		notacja Coxetera	Podgrupa komutatorów	Numer Coxetera (h)	Lustra m =2 h
Nieskracalny
4	+1/60[I×I].21	S 5	120			[3,3,3]	[3,3,3] +	5		10
D 4	±1/3[T×T].2	1/2. 2 S 4	192			[3 1,1,1 ]	[3 1,1,1 ] +	6		12
B 4	±1/6[O×O].2	2 S 4 = S 2 ≀S 4	384			[4,3,3]		8	4	12
F 4	±1/2[O×O].2 3	3. 2 S 4	1152			[3,4,3]	[3 + ,4,3 + ]	12	12	12
H 4	±[I×I].2	2.(A 5 × A 5 ).2	14400			[5,3,3]	[5,3,3] +	30		60
Grupy pryzmatyczne
A 3 A 1	+1/24[O×O].2 3	S 4 × D 1	48			[3,3,2] = [3,3]×[ ]	[3,3] +	-		6	1
B 3 A 1	±1/24[O×O].2	S 4 × D 1	96			[4,3,2] = [4,3]×[]		-	3	6	1
H 3 A 1	±1/60[I×I].2	A 5 × D 1	240			[5,3,2] = [5,3]×[ ]	[5,3] +	-		15	1
Grupy duopryzmatyczne (użyj 2p,2q dla parzystych liczb całkowitych)
ja 2 ( p ) ja 2 ( q )	±1/2[D 2 p × D 2 q ]	D p × D q	4 pq			[ p ,2, q ] = [ p ]×[ q ]	[ p + ,2, q + ]	-		P	Q
ja 2 ( 2p ) ja 2 ( q )	±1/2[D 4 p × D 2 q ]	D 2 p × D q	8 pq			[2 p ,2, q ] = [2 p ]×[ q ]		-	P	P	Q
ja 2 ( 2p ) ja 2 ( 2q )	±1/2[D 4 p × D 4 q ]	D 2p × D 2q	16 pq			[2 p ,2,2 q ] = [2 p ]×[2 q ]		-	P	P	Q	Q

Wyliczenie

Istnieją 64 wypukłe jednolite 4-politopy, w tym 6 regularnych wypukłych 4-politopów, z wyłączeniem nieskończonych zestawów duopryzmów i pryzmatów antypryzmatycznych .

• 5 wielościennych pryzmatów są oparte na Platońskich stałych (1 pokrywają się z regularnym od sześcienny hyperprism jest tesserakt )
• 13 to wielościenne graniastosłupy oparte na bryłach Archimedesa
• 9 są w siebie podwójne regularne ₄ [3,3,3], grupę ( 5-komórkowy ) rodziny.
• 9 należy do samodwuliniowej, regularnej rodziny F ₄ [3,4,3] ( 24 komórki ). (Z wyłączeniem snub 24-cell)
• 15 są w regularnych B ₄ [3,3,4], grupę ( tesserakt / 16 komórek ), rodziny (3 pokrywają się z rodziny 24 komórek)
• 15 są w regularnych H ₄ [3,3,5], grupę ( 120 komórek / 600 komórek ) rodziny.
• 1 specjalna forma snub w rodzinie [3,4,3] group ( 24-cell ).
• 1 specjalny nie-Wythoffian 4-politop, wielki antypryzmat.
• RAZEM: 68 − 4 = 64

Te 64 jednolite 4-politopy są zindeksowane poniżej przez George'a Olshevsky'ego. W nawiasach indeksowane są powtarzające się formy symetrii.

Oprócz 64 powyżej istnieją 2 nieskończone zestawy pryzmatyczne, które generują wszystkie pozostałe formy wypukłe:

• Zestaw jednorodnych pryzmatów antypryzmatycznych - sr{ p ,2}×{ } - Wielościenne graniastosłupy dwóch antypryzmatów .
• Zbiór jednorodnych duopryzmów - { p }×{ q } - Iloczyn kartezjański dwóch wielokątów.

A ₄ rodzina

5-komórka ma diploidalną symetrię pentachoryczną [3,3,3] , rzędu 120, izomorficzną z permutacjami pięciu elementów, ponieważ wszystkie pary wierzchołków są powiązane w ten sam sposób.

Podane są aspekty (komórki), pogrupowane w ich lokalizacjach diagramu Coxetera poprzez usunięcie określonych węzłów.

[3,3,3] jednorodne politopy

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji				Liczba elementów
				Poz. 3 (5)	Poz. 2 (10)	Poz. 1 (10)	Poz. 0 (5)	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
1	5-komórkowy pentachoron		{3,3,3}	(4) (3.3.3)				5	10	10	5
2	rektyfikowane 5-ogniwowe		r{3,3,3}	(3) (3.3.3.3)			(2) (3.3.3)	10	30	30	10
3	skrócona 5-komorowa		t{3,3,3}	(3) (3.6.6)			(1) (3.3.3)	10	30	40	20
4	kantelowany 5-ogniwowy		rr{3,3,3}	(2) (3.4.3.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	20	80	90	30
7	cantitruncated 5-cell		tr{3,3,3}	(2) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	20	80	120	60
8	skrócony 5-komorowy		t 0,1,3 {3,3,3}	(1) (3.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	30	120	150	60

[[3,3,3]] jednolite politopy

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji			Liczba elementów
				Poz. 3-0 (10)	Poz. 1-2 (20)	Alt	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
5	* Runcinated 5-komorowy		t 0,3 {3,3,3}	(2) (3.3.3)	(6) (3.4.4)		30	70	60	20
6	* Bitruncated 5-komorowy decachoron		2t{3,3,3}	(4) (3.6.6)			10	40	60	30
9	* wieloskrócona 5-ogniwowa		t 0,1,2,3 {3,3,3}	(2) (4.6.6)	(2) (4.4.6)		30	150	240	120
Niejednorodne	omnisnub 5-komorowy		ht 0,1,2,3 {3,3,3}	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	90	300	270	60

Trzy jednolite formy 4-politopowe oznaczone gwiazdką , * , mają wyższą rozszerzoną symetrię pentahoriczną , rzędu 240 [[3,3,3]], ponieważ element odpowiadający dowolnemu elementowi leżącej poniżej komórki 5-komórki może być wymieniony z jednym z tych odpowiadających elementowi jego dual. Istnieje jedna mała podgrupa indeksu [3,3,3] ⁺ , rząd 60 lub jego podwojenie [[3,3,3]] ⁺ , rząd 120, definiująca omnisnub 5-komórkę, która jest wymieniona dla kompletności, ale nie jest mundur.

B ₄ rodzina

Ta rodzina ma diploidalną symetrię heksadekazoryczną [4,3,3] rzędu 24×16=384: 4!=24 permutacje czterech osi, 2 ⁴ =16 dla odbicia w każdej osi. Istnieją 3 małe podgrupy indeksowe, z których dwie pierwsze generują jednolite 4-politopy, które powtarzają się również w innych rodzinach, [1 ⁺ ,4,3,3], [4,(3,3) ⁺ ] i [4, 3,3] ⁺ , wszystkie zamówienia 192.

Obcięcia teseraktowe

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji					Liczba elementów
				Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
10	tesseract lub 8-komorowy		{4,3,3}	(4) (4.4.4)				8	24	32	16
11	Teserakt rektyfikowany		r{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)	24	88	96	32
13	Skrócony tesserakt		t{4,3,3}	(3) (3.8.8)			(1) (3.3.3)	24	88	128	64
14	Teserakt kantelowy		rr{4,3,3}	(1) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	56	248	288	96
15	Runcinated tesseract (również runcinated 16-cell )		t 0,3 {4,3,3}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	80	208	192	64
16	Bitruncated tesseract (również Bitruncated 16-cell )		2t{4,3,3}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)	24	120	192	96
18	Cantitruncated tesseract		tr{4,3,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	56	248	384	192
19	Runcitruncated tesseract		t 0,1,3 {4,3,3}	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	80	368	480	192
21	Omnitruncated tesseract (również omnitruncated 16-cell )		t 0,1,2,3 {3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	80	464	768	384

Powiązany pół teserakt, [1 ⁺ ,4,3,3] jednolite 4-politopy

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji					Liczba elementów
				Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Alt	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
12	Pół teseraktu Demitesseract 16-ogniwowy		= h{4,3,3}={3,3,4}	(4) (3.3.3)				(4) (3.3.3)	16	32	24	8
[17]	Cantic tesseract (Lub obcięty 16-komorowy )		= h 2 {4,3,3}=t{4,3,3}	(4) (6.6.3)			(1) (3.3.3.3)		24	96	120	48
[11]	Tesserakt runiczny (lub tesserakt rektyfikowany )		= h 3 {4,3,3}=r{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)		24	88	96	32
[16]	Runcicantic tesseract (lub tesseract bitruncated )		= h 2,3 {4,3,3}=2t{4,3,3}	(2) (3.4.3.4)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[11]	( rektyfikowany tesserakt )		= h 1 {4,3,3}=r{4,3,3}						24	88	96	32
[16]	( tesserakt bitruncated )		= h 1,2 {4,3,3}=2t{4,3,3}						24	120	192	96
[23]	( rektyfikowany 24-ogniwowy )		= h 1,3 {4,3,3}=rr{3,3,4}						48	240	288	96
[24]	( skrócone 24 komórki )		= h 1,2,3 {4,3,3}=tr{3,3,4}						48	240	384	192

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji					Liczba elementów
				Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Alt	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
Niejednorodne	omnisnub tesseract (lub omnisnub 16-cell )		ht 0,1,2,3 {4,3,3}	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	272	944	864	192

skrócenie 16 komórek

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji					Liczba elementów
				Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Alt	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
[12]	16-komorowy , heksadecachoron		{3,3,4}				(8) (3.3.3)		16	32	24	8
[22]	*rektyfikowane 16-ogniwowe (tak samo jak 24-ogniwowe )		= r{3,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.3.3.3)		24	96	96	24
17	skrócona 16-ogniwowa		t{3,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.6.6)		24	96	120	48
[23]	* 16-ogniwowy kantelowy (tak samo jak rektyfikowany 24-ogniwowy )		= rr{3,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.3.4)		48	240	288	96
[15]	runcinated 16-cell (również runcinated 8-cell )		t 0,3 {3,3,4}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		80	208	192	64
[16]	Bitruncated 16-cell (również Bitruncated 8-cell )		2t{3,3,4}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[24]	*obcięty 16-komorowy (tak samo jak obcięty 24-komorowy )		= tr{3,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.6)		48	240	384	192
20	skrócony 16-komorowy		t 0,1,3 {3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)		80	368	480	192
[21]	omnitruncated 16-cell (również omnitruncated 8-cell )		t 0,1,2,3 {3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		80	464	768	384
[31]	naprzemiennie cantitruncated 16-cell (tak samo jak snub 24-cell )		sr{3,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)		(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Niejednorodne	Runcic rektyfikowany 16-ogniwowy		sr 3 {3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(2) (3.4.4)	(1) (4.4.4)	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)	176	656	672	192

(*) Tak jak prostowanie czworościanu daje ośmiościan , tak prostowanie 16-ogniwowego daje 24-komorowy, regularny członek następującej rodziny.

Zadartym 24-komórka jest powtórzenie do tej rodziny do kompletności. Jest to naprzemienność skróconej 16-komorowej lub skróconej 24-komorowej , z grupą półsymetrii [(3,3) ⁺ ,4]. Skrócone komórki oktaedryczne stają się ikosościanami. Sześciany stają się czworościanami, aw przerwach od usuniętych wierzchołków powstaje 96 nowych czworościanów.

F ₄ rodzina

Ta rodzina ma symetrię diploidalną ikozytotrachoryczną [3,4,3] rzędu 24×48=1152: 48 symetrii ośmiościanu dla każdej z 24 komórek. Istnieją 3 małe podgrupy indeksowe, przy czym pierwsze dwie pary izomorficzne generują jednolite 4-politopy, które powtarzają się również w innych rodzinach, [3 ⁺ 0,4,3], [3,4,3 ⁺ ] i [3,4, 3] ⁺ , wszystkie zamówienia 576.

[3,4,3] jednolite 4-politopy

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji				Liczba elementów
				Poz. 3 (24)	Poz. 2 (96)	Poz. 1 (96)	Poz. 0 (24)	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
22	24-komorowy , icositetrachoron (tak samo jak rektyfikowany 16-komorowy )		{3,4,3}	(6) (3.3.3.3)				24	96	96	24
23	rektyfikowany 24-ogniwowy (tak samo jak kantelowany 16-ogniwowy )		r{3,4,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (4.4.4)	48	240	288	96
24	obcięty 24-komorowy (tak samo jak obcięty 16-komorowy )		t{3,4,3}	(3) (4.6.6)			(1) (4.4.4)	48	240	384	192
25	kantelowany 24-ogniwowy		rr{3,4,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	144	720	864	288
28	cantitruncated 24-cell		tr{3,4,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.8.8)	144	720	1152	576
29	skrócony 24-komorowy		t 0,1,3 {3,4,3}	(1) (4.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	240	1104	1440	576

[3 ⁺ ,4,3] jednolite 4-politopy

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji					Liczba elementów
				Poz. 3 (24)	Poz. 2 (96)	Poz. 1 (96)	Poz. 0 (24)	Alt	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
31	† arogancki 24-ogniwowy		s{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)			(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Niejednorodne	Runcic snub 24-komorowy		z 3 {3,4,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)		(1) (3.6.6)	(3) Tricup	240	960	1008	288
[25]	cantic snub 24-cell (tak samo jak kantelated 24-cell )		z 2 {3,4,3}	(2) (3.4.4.4)			(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4)	144	720	864	288
[29]	runcicantic snub 24-cell (tak samo jak runcitruncated 24-cell )		z 2,3 {3,4,3}	(1) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	(2) (4.4.6)	240	1104	1440	576

(†) Tutejsza 24-ogniwa snub, pomimo swojej potocznej nazwy, nie jest analogiczna do kostki snub ; wywodzi się raczej z przemiany skróconej 24 komórki. Jego liczba symetrii wynosi tylko 576, ( jonowa zredukowana grupa ikozytetrachoryczna [3 ⁺ 0,4,3 ]).

Podobnie jak 5-komórka, 24-komórka jest samopodwójna, a więc następujące trzy formy mają dwa razy więcej symetrii, co daje ich sumę do 2304 ( rozszerzona symetria ikozytetrachoryczna [[3,4,3]]).

[[3,4,3]] jednolite 4-politopy

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji		Liczba elementów
				Poz. 3-0 (48)	Poz. 2-1 (192)	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
26	Runcinated 24-cell		t 0,3 {3,4,3}	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.4.4)	240	672	576	144
27	biruncated 24-komórkowy tetracontoctachoron		2t{3,4,3}	(4) (3.8.8)		48	336	576	288
30	wszechstronnie skrócony 24-ogniwowy		t 0,1,2,3 {3,4,3}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.6)	240	1392	2304	1152

[[3,4,3]] ⁺ izogonalny 4-politop

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji			Liczba elementów
				Poz. 3-0 (48)	Poz. 2-1 (192)	Alt	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
Niejednorodne	omnisnub 24-komorowy		ht 0,1,2,3 {3,4,3}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	816	2832	2592	576

H ₄ rodziny

Rodzina ta ma diploidalną symetrię heksakozychoryczną [5,3,3] rzędu 120×120=24×600=14400: 120 dla każdego ze 120 dwunastościanów lub 24 dla każdego z 600 czworościanów. Jest jedna mała podgrupa indeksu [5,3,3] ⁺ , wszystkie rzędu 7200.

skrócenie 120 komórek

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Liczba komórek według lokalizacji					Liczba elementów
				Poz. 3 (120)	Poz. 2 (720)	Poz. 1 (1200)	Poz. 0 (600)	Alt	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
32	120-komorowy (hecatonicosachoron lub dodecacontachoron)		{5,3,3}	(4) (5.5.5)					120	720	1200	600
33	rektyfikowane 120-ogniwowe		r{5,3,3}	(3) (3.5.3.5)			(2) (3.3.3)		720	3120	3600	1200
36	skrócony 120-ogniwowy		t{5,3,3}	(3) (3.10.10)			(1) (3.3.3)		720	3120	4800	2400
37	kantelowy 120-ogniwowy		rr{5,3,3}	(1) (3.4.5.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)		1920	9120	10800	3600
38	runcinated 120-cell (również runcinated 600-cell )		t 0,3 {5,3,3}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		2640	7440	7200	2400
39	Bitruncated 120-cell (również Bitruncated 600-cell )		2t{5,3,3}	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)		720	4320	7200	3600
42	cantitruncated 120-cell		tr{5,3,3}	(2) (4.6.10)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)		1920	9120	14400	7200
43	skrócony 120-komorowy		t 0,1,3 {5,3,3}	(1) (3.10.10)	(2) (4.4.10)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)		2640	13440	18000	7200
46	omnitruncated 120-cell (również omnitruncated 600-cell )		t 0,1,2,3 {5,3,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		2640	17040	28800	14400
Niejednorodne	omnisnub 120-cell (tak samo jak omnisnub 600-cell )		ht 0,1,2,3 {5,3,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	9840	35040	32400	7200

Obcięcia 600 komórek

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Symetria	Liczba komórek według lokalizacji				Liczba elementów
					Poz. 3 (120)	Poz. 2 (720)	Poz. 1 (1200)	Poz. 0 (600)	Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
35	600-komorowy , heksakosichoron		{3,3,5}	[5,3,3] zamów 14400				(20) (3.3.3)	600	1200	720	120
[47]	20-smukły 600-ogniwowy ( wielki antypryzmat )		Konstrukcja nonwythoffian	[[10,2 + ,10]] rząd 400 Indeks 36	(2) (3.3.3.5)			(12) (3.3.3)	320	720	500	100
[31]	24-modułowy 600-ogniwowy ( odrzucany 24-ogniwowy )		Konstrukcja nonwythoffian	[3 + ,4,3] rząd 576 indeks 25	(3) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3)	144	480	432	96
Niejednorodne	bi-24-zmniejszony 600-ogniwowy		Konstrukcja nonwythoffian	zamów 144 indeks 100	(6) tdi				48	192	216	72
34	rektyfikowane 600-ogniwowe		r{3,3,5}	[5,3,3]	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3.3)	720	3600	3600	720
Niejednorodne	120-drobny rektyfikowany 600-ogniwowy		Konstrukcja nonwythoffian	zamów 1200 indeks 12	(2) 3.3.3.5	(2) 4.4.5		(5) P4	840	2640	2400	600
41	obcięte 600-komorowe		t{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.6.6)	720	3600	4320	1440
40	kantelowy 600-komorowy		rr{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(1) (3.4.3.4)	1440	8640	10800	3600
[38]	runcinated 600-cell (również runcinated 120-cell )		t 0,3 {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	2640	7440	7200	2400
[39]	Bitruncated 600-cell (również Bitruncated 120-cell )		2t{3,3,5}	[5,3,3]	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)	720	4320	7200	3600
45	cantitruncated 600-cell		tr{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.6)	1440	8640	14400	7200
44	runcitruncated 600-cell		t 0,1,3 {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.4.5.4)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)	2640	13440	18000	7200
[46]	omnitruncated 600-cell (również omnitruncated 120-cell )		t 0,1,2,3 {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	2640	17040	28800	14400

D ₄ rodziny

Ta rodzina demitesseract , [3 ^1,1,1 ] nie wprowadza żadnych nowych jednolitych 4-politopów, ale warto powtórzyć te alternatywne konstrukcje. Ta rodzina ma rząd 12×16=192: 4!/2=12 permutacji czterech osi, w połowie naprzemiennie, 2 ⁴ =16 dla odbicia w każdej osi. Istnieje jedna mała podgrupa indeksowa, która generuje jednolite 4-politopy, [3 ^1,1,1 ] ⁺ , rząd 96.

[3 ^1,1,1 ] jednolite 4-politopy

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera = =	Liczba komórek według lokalizacji					Liczba elementów
				Poz. 0 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (8)	Poz. 3 (8)	Poz. Alt (96)	3	2	1	0
[12]	demitesseract half tesseract (tak samo jak 16-cell )		= godz.{4,3,3}			(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)		16	32	24	8
[17]	cantic tesseract (tak samo jak obcięty 16-cell )		= h 2 {4,3,3}	(1) (3.3.3.3)		(2) (3.6.6)	(2) (3.6.6)		24	96	120	48
[11]	runcic tesseract (tak samo jak rektyfikowany tesseract )		= h 3 {4,3,3}	(1) (3.3.3)		(1) (3.3.3)	(3) (3.4.3.4)		24	88	96	32
[16]	runcicantic tesseract (tak samo jak tesseract bitruncated )		= godz. 2,3 {4,3,3}	(1) (3.6.6)		(1) (3.6.6)	(2) (4.6.6)		24	96	96	24

Gdy 3 rozwidlone węzły rozgałęzione są identycznie obrączkowane, symetria może być zwiększona o 6, ponieważ [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3], a zatem te politopy są powtarzane z 24 komórek rodzina.

[3[3 ^1,1,1 ]] jednorodne 4-politopy

#	Nazwa	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera = =	Liczba komórek według lokalizacji			Liczba elementów
				Poz. 0,1,3 (24)	Poz. 2 (24)	Poz. Alt (96)	3	2	1	0
[22]	rektyfikowane 16-ogniwowe (tak samo jak 24-ogniwowe )		= = = {3 1,1,1 } = r{3,3,4} = {3,4,3}	(6) (3.3.3.3)			48	240	288	96
[23]	kantelowany 16-ogniwowy (tak samo jak rektyfikowany 24-ogniwowy )		= = = r{3 1,1,1 } = r{3,3,4} = r{3,4,3}	(3) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		24	120	192	96
[24]	cantitruncated 16-cell (tak samo jak obcięty 24-cell )		= = = t{3 1,1,1 } = tr{3,3,4} = t{3,4,3}	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		48	240	384	192
[31]	arogancki 24-ogniwowy		= = = s{3 1,1,1 } = sr{3,3,4} = s{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96

Tutaj znowu odrzucona 24-komórka , z grupą symetrii [3 ^1,1,1 ] ⁺ tym razem reprezentuje naprzemienne skrócenie obciętej 24-komórki, tworząc 96 nowych czworościanów w pozycji usuniętych wierzchołków. W przeciwieństwie do jego wyglądu w poprzednich grupach jako częściowo odrzucona 4-politop, tylko w tej grupie symetrii ma pełną analogię do odrzuceń Keplera, tj. sześcian snub i dwunastościan snub .

Wielki antypryzm

Istnieje jeden nie-Wythoffian jednolity wypukły 4-politop, znany jako wielki antypryzmat , składający się z 20 pięciokątnych antypryzmatów tworzących dwa prostopadłe pierścienie połączone 300 czworościanami . Jest to luźna analogia do trójwymiarowych antypryzmatów , które składają się z dwóch równoległych wielokątów połączonych pasem trójkątów . Jednak w przeciwieństwie do nich, wielki antypryzm nie należy do nieskończonej rodziny jednolitych politopów.

Jej symetrią jest zredukowana jonowa grupa Coxetera , [[10,2 ⁺ ,10]], rząd 400.

#	Nazwa	Zdjęcie	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Komórki według typu		Liczba elementów				Internet
							Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
47	wielki antypryzm			Brak symbolu	300 ( 3.3.3 )	20 ( 3.3.3.5 )	320	20 {5} 700 {3}	500	100

Pryzmatyczne jednolite 4-politopy

Politop pryzmatyczny jest produktem kartezjańskim dwóch politopów o mniejszym wymiarze; znanymi przykładami są pryzmaty trójwymiarowe , które są iloczynami wielokąta i odcinka linii . Pryzmatyczne jednolite 4-politopy składają się z dwóch nieskończonych rodzin:

• Graniastosłupy wielościenne : iloczyny odcinka linii i jednostajnego wielościanu. Ta rodzina jest nieskończona, ponieważ obejmuje pryzmaty zbudowane na pryzmatach trójwymiarowych i antypryzmatach .
• Duopryzmaty : produkty dwóch wielokątów.

Wypukłe graniastosłupy wielościenne

Najbardziej oczywistą rodziną pryzmatycznych 4-politopów są graniastosłupy wielościenne, czyli produkty wielościanu z segmentem liniowym . Komórkami takiego 4-politopu są dwa identyczne jednorodne wielościany leżące w równoległych hiperpłaszczyznach ( komórki podstawy ) i warstwa graniastosłupów łączących je ( komórki boczne ). Ta rodzina obejmuje pryzmaty dla 75 niepryzmatycznych jednolitych wielościanów (z których 18 jest wypukłych; jeden z nich, pryzmat sześcienny, jest wymieniony powyżej jako tesserakt ).

Istnieje 18 wypukłych graniastosłupów wielościennych utworzonych z 5 brył platońskich i 13 brył Archimedesa, a także dla nieskończonych rodzin trójwymiarowych pryzmatów i antypryzmatów . Liczba symetrii wielościennego graniastosłupa jest dwukrotnie większa niż wielościanu bazowego.

Pryzmaty czworościenne: A ₃ × A ₁

Ta pryzmatyczna symetria czworościenna to [3,3,2], rząd 48. Istnieją dwie podgrupy indeksu 2, [(3,3) ⁺ ,2] i [3,3,2] ⁺ , ale druga nie generuje jednolity 4-politop.

[3,3,2] jednolite 4-politopy

#	Nazwa	Zdjęcie	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Komórki według typu			Liczba elementów				Internet
								Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
48	Pryzmat czworościenny			{3,3}×{} t 0,3 {3,3,2}	2 3.3.3	4 3.4.4		6	8 {3} 6 {4}	16	8
49	Ścięty pryzmat czworościenny			t{3,3}×{} t 0,1,3 {3,3,2}	2 3.6.6	4 3.4.4	4 4.4.6	10	8 {3} 18 {4} 8 {6}	48	24

[[3,3],2] jednolite 4-politopy

#	Nazwa	Zdjęcie	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Komórki według typu			Liczba elementów				Internet
								Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
[51]	Wyprostowany pryzmat czworościenny (tak samo jak pryzmat oktaedryczny )			r{3,3}×{} t 1,3 {3,3,2}	2 3.3.3.3	4 3.4.4		6	16 {3} 12 {4}	30	12
[50]	Kantelowany graniastosłup czworościenny (tak samo jak graniastosłup sześcienny )			rr{3,3}×{} t 0,2,3 {3,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4	16	16 {3} 36 {4}	60	24
[54]	Ścięty pryzmat czworościenny (tak samo jak ścięty pryzmat ośmiościenny )			tr{3,3}×{} t 0,1,2,3 {3,3,2}	2 4.6.6	8 6.4.4	6 4.4.4	16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Pryzmat czworościenny Snub (tak samo jak pryzmat dwudziestościenny )			sr{3,3}×{}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4		22	40 {3} 30 {4}	72	24
Niejednorodne	omnisnub czworościenny antypryzmat			${\ Displaystyle s \ lewo \ {\ zacznij {tablica} {l} 3 \ \ 3 \ \ 2 \ koniec {tablica}} \ po prawej \}}$	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3	40	16+96 {3}	96	24

Graniastosłupy ośmiościenne: B ₃ × A ₁

Ta pryzmatyczna ośmiościenna symetria rodziny wynosi [4,3,2], rząd 96. Istnieje 6 podgrup o indeksie 2, rząd 48, które są wyrażone w naprzemiennych 4-politopach poniżej. Symetrie to [(4,3) ⁺ ,2], [1 ⁺ ,4,3,2], [4,3,2 ⁺ ], [4,3 ⁺ ,2], [4,(3,2) ⁺ ] oraz [4,3,2] ⁺ .

#	Nazwa	Zdjęcie	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Komórki według typu				Liczba elementów				Internet
									Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
[10]	Pryzmat sześcienny (tak samo jak tesserakt ) (tak samo jak 4-4 duopryzm )			{4,3}×{} t 0,3 {4,3,2}	2 4.4.4	6 4.4.4			8	24 {4}	32	16
50	Graniastosłup sześcienny (tak samo jak kantelowany graniastosłup czworościenny )			r{4,3}×{} t 1,3 {4,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
51	Pryzmat oktaedryczny (tak samo jak rektyfikowany pryzmat czworościenny ) (tak samo jak trójkątny pryzmat antypryzmatyczny )			{3,4}×{} t 2,3 {4,3,2}	2 3.3.3.3	8 3.4.4			10	16 {3} 12 {4}	30	12
52	Pryzmat rombowo-oktaedryczny			rr{4,3}×{} t 0,2,3 {4,3,2}	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
53	Ścięty pryzmat sześcienny			t{4,3}×{} t 0,1,3 {4,3,2}	2 3.8.8	8 3.4.4	6 4.4.8		16	16 {3} 36 {4} 12 {8}	96	48
54	Ścięty pryzmat ośmiościenny (tak samo jak ścięty pryzmat czworościenny )			t{3,4}×{} t 1,2,3 {4,3,2}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
55	Ścięty pryzmat sześcienny			tr{4,3}×{} t 0,1,2,3 {4,3,2}	2 4.6.8	12 4.4.4	8 4.4.6	6 4.4.8	28	96 {4} 16 {6} 12 {8}	192	96
56	Pryzmat sześcienny Snub			sr{4,3}×{}	2 3.3.3.3.4	32 3.4.4	6 4.4.4		40	64 {3} 72 {4}	144	48
[48]	Pryzmat czworościenny			godz.{4,3}×{}	2 3.3.3	4 3.4.4			6	8 {3} 6 {4}	16	8
[49]	Ścięty pryzmat czworościenny			H 2 {4,3} {x}	2 3.3.6	4 3.4.4	4 4.4.6		6	8 {3} 6 {4}	16	8
[50]	Pryzmat sześcienny			rr{3,3}×{}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
[52]	Pryzmat rombowo-oktaedryczny			s 2 {3,4}×{}	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
[54]	Ścięty pryzmat oktaedryczny			tr{3,3}×{}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Pryzmat dwudziestościenny			s{3,4}×{}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
[12]	16-ogniwowy			s{2,4,3}	2+6+8 3.3.3.3				16	32 {3}	24	8
Niejednorodne	Czworościenny antypryzmat Omnisnub			sr{2,3,4}	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3		40	16+96 {3}	96	24
Niejednorodne	Antypryzmat sześcienny Omnisnub			${\ Displaystyle s \ lewo \ {\ zacząć {tablica} {l} 4 \ \ 3 \ \ 2 \ koniec {tablica}} \ prawej \}}$	2 3.3.3.3.4	12+48 3.3.3	8 3.3.3.3	6 3.3.3.4	76	16+192 {3} 12 {4}	192	48
Niejednorodne	Runcic snub sześcienny hosochoron			s 3 {2,4,3}	2 3.6.6	6 3.3.3	8 trójkątnych kopuł		16	52	60	24

Graniastosłupy dwudziestościenne: H ₃ × A ₁

Ta pryzmatyczna symetria dwudziestościenna to [5,3,2], rząd 240. Istnieją dwie podgrupy indeksu 2, [(5,3) ⁺ ,2] i [5,3,2] ⁺ , ale druga nie generuje jednolita polichoron.

#	Nazwa	Zdjęcie	Figura wierzchołka	Schemat Coxetera i symbole Schläfli	Komórki według typu				Liczba elementów				Internet
									Komórki	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki
57	Pryzmat dwunastościenny			{5,3}×{} t 0,3 {5,3,2}	2 5.5.5	12 4.4.5			14	30 {4} 24 {5}	80	40
58	Pryzmat ikozydodekaedryczny			r{5,3}×{} t 1,3 {5,3,2}	2 3.5.3.5	20 3.4.4	12 4.4.5		34	40 {3} 60 {4} 24 {5}	150	60
59	Pryzmat dwudziestościenny (taki sam jak pryzmat czworościenny z zadartym )			{3,5}×{} t 2,3 {5,3,2}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
60	Ścięty pryzmat dwunastościenny			t{5,3}×{} t 0,1,3 {5,3,2}	2 3.10.10	20 3.4.4	12 4.4.10		34	40 {3} 90 {4} 24 {10}	240	120
61	Pryzmat rombowy dwunastościenny			rr{5,3}×{} t 0,2,3 {5,3,2}	2 3.4.5.4	20 3.4.4	30 4.4.4	12 4.4.5	64	40 {3} 180 {4} 24 {5}	300	120
62	Ścięty pryzmat dwudziestościenny			t{3,5}×{} t 1,2,3 {5,3,2}	2 5.6.6	12 4.4.5	20 4.4.6		34	90 {4} 24 {5} 40 {6}	240	120
63	Ścięty pryzmat ikozydonaścienny			tr{5,3}×{} t 0,1,2,3 {5,3,2}	2 4.6.10	30 4.4.4	20 4.4.6	12 4.4.10	64	240 {4} 40 {6} 24 {10}	480	240
64	Pryzmat dwunastościenny			sr{5,3}×{}	2 3.3.3.3.5	80 3.4.4	12 4.4.5		94	160 {3} 150 {4} 24 {5}	360	120
Niejednorodne	Dwunastościenny antypryzmat Omnisnub			${\ Displaystyle s \ lewo \ {\ zacząć {tablica} {l} 5 \ \ 3 \ \ 2 \ koniec {tablica}} \ prawej \}}$	2 3.3.3.3.5	30+120 3.3.3	20 3.3.3.3	12 3.3.3.5	184	20+240 {3} 24 {5}	220	120

Duopryzmaty: [p] × [q]

Drugi to nieskończona rodzina jednorodnych duopryzmów , produktów dwóch regularnych wielokątów . Diagram Coxetera- Dynkina w duopryzmie to. Jego figura wierzchołkowa jest czworościanem dwuklinowym , .

Ta rodzina pokrywa się z pierwszą: gdy jeden z dwóch wielokątów „czynnikowych” jest kwadratem, iloczyn jest odpowiednikiem hiperpryzmu, którego podstawą jest graniastosłup trójwymiarowy. Liczba symetrii duopryzmatu, którego czynniki są p -gon i q -gon (a " p,q -duopryzm") wynosi 4 pq jeśli p ≠ q ; jeśli oba czynniki są p- gonami, liczba symetrii wynosi 8 p ² . Tesseract można również uznać za 4,4-duopryzm.

Elementy a p,q -duopryzm ( p ≥ 3, q ≥ 3) to:

• Ogniwa: p q - graniastosłupy, q p - graniastosłupy
• Ściany : pq kwadraty, p q -kąty, q p -kąty
• Krawędzie: 2pq
• Wierzchołki: pq

Nie ma jednolitego analogu w czterech wymiarach do nieskończonej rodziny trójwymiarowych antypryzmatów .

Nieskończony zestaw duopryzmu pq -- p q -pryzmaty kątowe, q p -pryzmaty kątowe:

Nazwa	Wykres Coxetera	Komórki	Obrazy	Internet
3-3 duopryzm		3+3 trójkątne pryzmaty
3-4 duopryzm		3 kostki 4 trójkątne pryzmaty
4-4 duopryzm (tak samo jak tesserakt)		4+4 kostki
3-5 duopryzm		3 pryzmaty pięciokątne 5 pryzmatów trójkątnych
4-5 duopryzm		4 pryzmaty pięciokątne 5 kostek
5-5 duopryzm		5+5 pryzmatów pięciokątnych
3-6 duopryzm		3 sześciokątne pryzmaty 6 trójkątnych pryzmatów
4-6 duopryzm		4 sześciokątne pryzmaty 6 kostek
5-6 duopryzm		5 sześciokątnych pryzmatów 6 pięciokątnych pryzmatów
6-6 duopryzm		6+6 sześciokątnych pryzmatów

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Pryzmaty wielokątne: [p] × [ ] × [ ]

Nieskończony zbiór jednorodnych pryzmatów nakłada się na duopryzmy 4-p: (p≥3) - - p kostki i 4 p -gonal pryzmaty - (wszystkie są takie same, jak 4-p duoprism ) Drugi Polytope w serii symetrii jest niższy od normalnego tesserakt {4} x {4}.

Wypukłe p -kątne pryzmaty pryzmatyczne

Nazwa	{3}×{4}	{4}×{4}	{5}×{4}	{6}×{4}	{7}×{4}	{8}×{4}	{p}×{4}
Diagramy Coxetera
Obraz
Komórki	3 {4}×{} 4 {3}×{}	4 {4}×{} 4 {4}×{}	5 {4}×{} 4 {5}×{}	6 {4}×{} 4 {6}×{}	7 {4}×{} 4 {7}×{}	8 {4}×{} 4 {8}×{}	p {4}×{} 4 {p}×{}
Internet

Wielokątne pryzmaty antypryzmatyczne: [p] × [ ] × [ ]

Nieskończone zbiory jednorodnych pryzmatów antypryzmatycznych są zbudowane z dwóch równoległych jednorodnych antypryzmatów : (p≥2) -- 2 p -kątne antypryzmaty, połączone pryzmaty 2 p -kątne i 2p trójkątne pryzmaty.

Wypukłe p -kątne pryzmaty antypryzmatyczne

Nazwa	s{2,2}×{}	s{2,3}×{}	s{2,4}×{}	s{2,5}×{}	s{2,6}×{}	s{2,7}×{}	s{2,8}×{}	s{2,p}×{}
Schemat Coxetera
Obraz
Figura wierzchołka
Komórki	2 s{2,2} (2) {2}×{}= {4} 4 {3}×{}	2 s{2,3} 2 {3}×{} 6 {3}×{}	2 s{2,4} 2 {4}×{} 8 {3}×{}	2 s{2,5} 2 {5}×{} 10 {3}×{}	2 s{2,6} 2 {6}×{} 12 {3}×{}	2 s{2,7} 2 {7}×{} 14 {3}×{}	2 s{2,8} 2 {8}×{} 16 {3}×{}	2 s{2,p} 2 {p}×{} 2 p {3}×{}
Internet

P-GONAL antiprismatic pryzmat ma 4p trójkąt, 4p plac i 4 P-gon twarze. Ma krawędzie 10p i wierzchołki 4p .

Niejednorodne zmiany

Coxeter pokazał tylko dwa jednolite rozwiązania dla grup Coxetera rangi 4 ze wszystkimi pierścieniami naprzemiennie (pokazane z pustymi węzłami okręgów). Pierwszy to, s{2 ^1,1,1 } co reprezentowało podgrupę indeksu 24 ( symetria [2,2,2] ⁺ , rząd 8) forma demisseraktu ,, h{4,3,3} (symetria [1 ⁺ ,4,3,3] = [3 ^1,1,1 ], rząd 192). Drugi to, s{3 ^1,1,1 }, która jest podgrupą o indeksie 6 (symetria [3 ^1,1,1 ] ⁺ , rząd 96) postaci snub 24-cell ,, s{3,4,3}, (symetria [3 ⁺ ,4,3], rząd 576).

Inne alternatywy, takie jak , jako alternatywa od omnitruncated tesseract , nie można ujednolicić, ponieważ rozwiązania dla równych długości krawędzi są na ogół naddeterminowane (jest sześć równań, ale tylko cztery zmienne). Takie niejednorodne figury naprzemienne mogą być skonstruowane jako wierzchołki przechodnie 4-politopy przez usunięcie jednego z dwóch zestawów wierzchołków pełnej figury pierścieniowej, ale będą miały nierówne długości krawędzi. Podobnie jak jednolite alternacje, będą miały połowę symetrii jednolitej figury, jak [4,3,3] ⁺ , rząd 192, jest symetrią alternowanego omnitruncated tesseract .

Konstrukcje Wythoffa z naprzemiennościami tworzą figury przechodnie wierzchołków , które mogą być równoboczne, ale niejednorodne, ponieważ naprzemienne przerwy (wokół usuniętych wierzchołków) tworzą komórki, które nie są regularne lub półregularne. Proponowana nazwa takich figur to łuskowate polytopes . Ta kategoria pozwala na podzbiór ciał stałych Johnsona jako komórek, na przykład trójkątną kopułę .

Każda konfiguracja wierzchołka w bryle Johnsona musi istnieć w figurze wierzchołka. Na przykład kwadratowy wózek dziecięcy ma dwie konfiguracje wierzchołków: 3.3.4 wokół podstawy i 3.3.3.3 na wierzchołku.

Siatki i figury wierzchołków dwóch wypukłych przypadków są podane poniżej, wraz z listą komórek wokół każdego wierzchołka.

Dwa wypukłe, wierzchołkowo przechodnie 4-politopy z niejednorodnymi komórkami

Schemat Coxetera	s 3 {2,4,3},	s 3 {3,4,3},
Relacja	24 z 48 wierzchołków pryzmatu rombowo-kuboktaedrycznego	288 z 576 wierzchołków skróconych 24 komórek
Internet	runcic snub sześcienny hosochoron	Runcic snub 24-komorowy
Komórki
Figura wierzchołka	(1) 3.4.3.4: trójkątna kopuła (2) 3.4.6: trójkątna kopuła (1) 3.3.3: czworościan (1) 3.6.6: czworościan ścięty	(1) 3.4.3.4: trójkątna kopuła (2) 3.4.6: trójkątna kopuła (2) 3.4.4: trójkątny graniastosłup (1) 3.6.6: ścięty czworościan (1) 3.3.3.3.3: dwudziestościan

Wyprowadzenia geometryczne dla 46 niepryzmatycznych jednorodnych polichor Wythoffa

46 Wythoffian 4-politopes obejmuje sześć wypukłych regularnych 4-politopów . Pozostałe czterdzieści można wyprowadzić z regularnej polichory za pomocą operacji geometrycznych, które zachowują większość lub wszystkie ich symetrie , a zatem mogą być klasyfikowane według wspólnych grup symetrii .

Zbiorczy wykres operacji obcinania

Przykładowe lokalizacje punktu generatora kalejdoskopowego w dziedzinie podstawowej.

Operacje geometryczne, które wyprowadzają 40 jednolitych 4-politopów z regularnych 4-politopów, są operacjami obcinania . 4-politop może być obcięty na wierzchołkach, krawędziach lub ścianach, co prowadzi do dodania komórek odpowiadających tym elementom, jak pokazano w kolumnach poniższych tabel.

W Coxeter-Dynkin diagram przedstawia cztery zwierciadła Wythoffian kalejdoskopie jako węzły, a krawędzie pomiędzy węzłami są oznaczone liczbą całkowitą pokazujący kąt pomiędzy zwierciadeł ( Õ / n radianach lub 180 / n stopni). Zakreślone węzły pokazują, które zwierciadła są aktywne dla każdej formy; lustro jest aktywne względem wierzchołka, który na nim nie leży.

Operacja	Symbol Schläfli	Symetria	Schemat Coxetera	Opis
Rodzic	t 0 {p,q,r}	[p,q,r]		Oryginalna forma regularna {p,q,r}
Sprostowanie	t 1 {p,q,r}			Operacja przycinania stosowana do momentu, gdy oryginalne krawędzie zostaną zdegenerowane na punkty.
Birektyfikacja (rektyfikowana podwójna)	t 2 {p,q,r}			Twarze są w pełni obcięte do punktów. Taki sam jak rektyfikowany podwójny.
Trirektyfikacja ( podwójna )	t 3 {p,q,r}			Komórki są obcinane do punktów. Regularna podwójna {r,q,p}
Obcięcie	t 0,1 {p,q,r}			Każdy wierzchołek jest odcinany, tak aby pozostał środek każdej oryginalnej krawędzi. Tam, gdzie był wierzchołek, pojawia się nowa komórka, figura wierzchołka rodzica . Każda oryginalna komórka jest podobnie obcinana.
Bitrunkacja	t 1,2 {p,q,r}			Obcięcie między formą sprostowaną a formą podwójnie sprostowaną.
Trójobcięcie	t 2,3 {p,q,r}			Obcięty podwójny {r,q,p}.
Kantelacja	t 0,2 {p,q,r}			Obcięcie zastosowane do krawędzi i wierzchołków i określa przejście między formą regularną a podwójną rektyfikowaną.
Bikantelacja	t 1,3 {p,q,r}			Podwójny kantelowany {r,q,p}.
Runcynacja (lub ekspansja )	t 0,3 {p,q,r}			Obcięcie zastosowane do komórek, ścian i krawędzi; definiuje progresję między formą regularną a podwójną.
Cantitruncation	t 0,1,2 {p,q,r}			Zarówno cantellation i obcięcia operacje stosowane łącznie.
Bicantitruncation	t 1,2,3 {p,q,r}			Obcięty podwójny {r,q,p}.
Runcitruncation	t 0,1,3 {p,q,r}			Obie operacje runcination i obcinania stosowane razem.
Runcicantellation	t 0,1,3 {p,q,r}			Runcitruncated dual {r,q,p}.
Omnitrunkcja (runcicantiruncation)	t 0,1,2,3 {p,q,r}			Zastosowanie wszystkich trzech operatorów.
Połowa	h{2p,3,q}	[1 + ,2p,3,q] =[(3,p,3),q]		Alternation od, taki sam jak
Cantic	h 2 {2p,3,q}			Taki sam jak
Runcic	h 3 {2p,3,q}			Taki sam jak
Runcicantic	h 2,3 {2p,3,q}			Taki sam jak
Jedna czwarta	q{2p,3,2q}	[1 + ,2p,3,2q,1 + ]		Taki sam jak
Odkosz	s{p,2q,r}	[p + ,2q,r]		Naprzemienne skrócenie
Kantyczny afront	s 2 {p,2q,r}			Naprzemienne skrócenie kantelowane
Runcic snub	s 3 {p,2q,r}			Runcinated naprzemienne obcinanie
Runcicantic afront	s 2,3 {p,2q,r}			Naprzemienne obcinanie runcicantelated
Sprostowano odrzucenie	sr{p,q,2r}	[(p,q) + ,2r]		Naprzemienne skrócone prostowanie
	ht 0,3 {2p,q,2r}	[(2p,q,2r,2 + )]		Naprzemienne bieganie
Bisnub	2s{2p,q,2r}	[2p,q + ,2r]		Naprzemienne bitruncation
Omnisnub	ht 0,1,2,3 {p,q,r}	[p,q,r] +		Naprzemienna omnitrunkacja

Zobacz także wypukłe, jednolite plastry miodu , z których niektóre ilustrują te operacje stosowane w przypadku zwykłego sześciennego plastra miodu .

Jeśli dwa polytopes są podwójne (takie jak tesseract i 16-cell lub 120-cell i 600-cell), wówczas bitruncating , runcinating lub omnitruncating daje taką samą liczbę jak ta sama operacja dla drugiej. Zatem tam, gdzie w tabeli pojawia się tylko imiesłów, należy rozumieć, że odnosi się do któregokolwiek z rodziców.

Zestawienie konstrukcji według rozszerzonej symetrii

46 jednorodnych wielochor zbudowanych z symetrii A ₄ , B ₄ , F ₄ , H ₄ jest podanych w tej tabeli przez ich pełną rozszerzoną symetrię i diagramy Coxetera. Alternacje są pogrupowane według ich symetrii chiralnej. Podane są wszystkie warianty, chociaż model 24-ogniwowy z 3 rodziną konstrukcji jest jedynym, który jest jednolity. Liczby w nawiasach są albo powtórzeniami, albo niejednorodnymi. Schematy Coxeter podano z oznacznikiem indeksach od 1 do 46. 3-3 i 4-4 duoprismatic rodzina jest to potrzebne, na jego drugim stosunku do B ₄ rodziny.

Grupa Coxetera	Rozszerzona symetria	Polichora		Chiralna rozszerzona symetria	Naprzemienne plastry miodu
[3,3,3]	[3,3,3] (zamówienie 120)	6	(1) |(2) |(3) (4) |(7) |(8)
	[2 + [3,3,3]] (zamówienie 240)	3	(5) |(6) |(9)	[2 + [3,3,3]] + (zamówienie 120)	(1)	(-)
[3,3 1,1 ]	[3,3 1,1 ] (zamówienie 192)	0	(Żaden)
	[1[3,3 1,1 ]]=[4,3,3] = (zamówienie 384)	(4)	(12) |(17) |(11) |(16)
	[3[3 1,1,1 ]]=[3,4,3] = (zamówienie 1152)	(3)	(22) |(23) |(24)	[3[3,3 1,1 ]] + =[3,4,3] + (porządek 576)	(1)	(31) (=) (-)
[4,3,3]	[3[1 + ,4,3,3]]=[3,4,3] = (zamówienie 1152)	(3)	(22) |(23) |(24)
	[4,3,3] (zamówienie 384)	12	(10) |(11) |(12) |(13) |(14) (15) |(16) |(17) |(18) |(19) (20) |(21)	[1 + ,4,3,3] + (zamówienie 96)	(2)	(12) (=) (31) (-)
				[4,3,3] + (zamówienie 192)	(1)	(-)
[3,4,3]	[3,4,3] (zamówienie 1152)	6	(22) |(23) |(24) (25) |(28) |(29)	[2 + [3 + ,4,3 + ]] (zamówienie 576)	1	(31)
	[2 + [3,4,3]] (zamówienie 2304)	3	(26) |(27) |(30)	[2 + [3,4,3]] + (zamówienie 1152)	(1)	(-)
[5,3,3]	[5,3,3] (zamówienie 14400)	15	(32) |(33) |(34) |(35) |(36) (37) |(38) |(39) |(40) |(41) (42) |(43) |(44) |(45) |(46)	[5,3,3] + (zamówienie 7200)	(1)	(-)
[3,2,3]	[3,2,3] (zamówienie 36)	0	(Żaden)	[3,2,3] + (zamówienie 18)	0	(Żaden)
	[2 + [3,2,3]] (zamówienie 72)	0		[2 + [3,2,3]] + (zamówienie 36)	0	(Żaden)
	[[3],2,3]=[6,2,3] = (zamówienie 72)	1		[1[3,2,3]]=[[3],2,3] + =[6,2,3] + (rząd 36)	(1)
	[(2 + ,4)[3,2,3]]=[2 + [6,2,6]] = (zamówienie 288)	1		[(2 + ,4)[3,2,3]] + =[2 + [6,2,6]] + (rząd 144)	(1)
[4,2,4]	[4,2,4] (zamówienie 64)	0	(Żaden)	[4,2,4] + (zamówienie 32)	0	(Żaden)
	[2 + [4,2,4]] (zamówienie 128)	0	(Żaden)	[2 + [(4,2 + ,4,2 + )]] (rząd 64)	0	(Żaden)
	[(3,3)[4,2*,4]]=[4,3,3] = (zamówienie 384)	(1)	(10)	[(3,3)[4,2*,4]] + =[4,3,3] + (porządek 192)	(1)	(12)
	[[4],2,4]=[8,2,4] = (zamówienie 128)	(1)		[1[4,2,4]]=[[4],2,4] + =[8,2,4] + (rząd 64)	(1)
	[(2 + ,4)[4,2,4]]=[2 + [8,2,8]] = (zamówienie 512)	(1)		[(2 + ,4)[4,2,4]] + =[2 + [8,2,8]] + (rząd 256)	(1)

Zobacz też

• Skończone regularne wielościany skośne o 4 przestrzeniach
• Wypukły, jednolity plaster miodu - powiązane nieskończone 4-politopy w 3-przestrzeni euklidesowej.
• Wypukłe, jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej - powiązane nieskończone 4-politopy w przestrzeni hiperbolicznej.
• Parakompaktowe jednolite plastry miodu

Bibliografia

• A. Boole Stott : Dedukcja geometryczna półregularnych z regularnych polytopes i wypełnień przestrzeni , Verhandelingen akademii Koninklijke van Wetenschappen, jednostka szerokości Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• B. Grünbaum Convex Polytopes , Nowy Jork ; Londyn: Springer, c2003. ISBN  0-387-00424-6 .
  Drugie wydanie przygotowane przez Volkera Kaibela, Victora Klee i Güntera M. Zieglera.
• Elte, EL (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , Groningen: University of Groningen, ISBN 1-4181-7968-X [3] [4]
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins i JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londyn, 1954
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , wydanie trzecie, Dover New York, 1973
• Kalejdoskopy: Wybrane pisma HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6
  • ( Praca 22) HSM Coxeter, Regular i Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • ( Praca 23) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes II , [ Mat . Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • ( Praca 24) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes III , [ Mat . Zeit. 200 (1988) 3-45]
• HSM Coxeter i WOJ Moser. Generatory i relacje dla grup dyskretnych wyd. 4, Springer-Verlag. Nowy Jork. 1980 s. 92, s. 122.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Symetrie rzeczy 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (rozdział 26)
• John H. Conway i MJT Guy : Four-Dimensional Archimedean Polytopes , Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
• NW Johnson : Teoria jednolitych politopów i plastrów miodu , Ph.D. Rozprawa, Uniwersytet w Toronto, 1966
• NW Johnson: Geometries and Transformations , (2015) Rozdział 11: Skończone grupy symetrii
• Richard Klitzing, Snubs, naprzemienne fasetowanie i diagramy Stotta-Coxetera-Dynkina , Symetria: kultura i nauka, tom. 21, nr 4, 329-344, (2010) [5]
• Schoute, Pieter Hendrik (1911), „Analityczne traktowanie politopów regularnie wywodzących się z regularnych politopów ”, Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam , 11 (3): 87 s. Książka Google, 370-381

Linki zewnętrzne

• Wypukłe jednolite 4-politopy
  • Jednolite, wypukłe politopy w czterech wymiarach , Marco Möller (w języku niemieckim)
  • Jednolite politopy w czterech wymiarach , George Olshevsky.
    1. Wypukła jednolita polichora oparta na pentachoronie , George Olshevsky.
    2. Wypukła jednolita polichora oparta na tesseract/16-cell George Olshevsky.
    3. Wypukła jednolita polichora oparta na 24-ogniwowej , George Olshevsky.
    4. Wypukła jednolita polichora oparta na 120-ogniwowej/600-ogniwowej , George Olshevsky.
    5. Anomalny wypukły jednolity polichoron: (wielki antypryzmat) , George Olshevsky.
    6. Wypukła jednolita pryzmatyczna polichora , George Olshevsky.
    7. Jednolita polichora wywodząca się z glomerowego czworościanu B4 , George Olshevsky.
  • Regularne i półregularne politopy wypukłe – krótki przegląd historyczny
  • Aplety Java3D ze źródłami
• Niewypukłe jednolite 4-politopy
  • Jednolita polichora autorstwa Jonathana Bowersa
  • Stella4D Stella (oprogramowanie) tworzy interaktywne widoki znanych jednolitych polichor, w tym 64 form wypukłych i nieskończonych rodzin pryzmatycznych.
• Klitzing, Richard. "Jednolite politopy 4D" .
• 4D-Polytopes i ich podwójne politopy grupy Coxetera W(A4) reprezentowane przez Quaternions International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, tom. 9, nr 4 (2012) Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Mudhahir Al-Ajmi (2012) [6]

v T mi Podstawowe wypukłe politopy regularne i jednolite o wymiarach 2–10
Rodzina	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Wielokąt foremny	Trójkąt	Kwadrat	p-gon	Sześciokąt	Pięciokąt
Jednolity wielościan	Czworościan	Ośmiościan • kostka	Demicube		Dwunastościan • Icosahedron
Jednolita polichoron	Pentachoron	16-ogniwowy • Tesseract	Demitesseract	24-komorowy	120-ogniwowy • 600-ogniwowy
Jednolity 5-politop	5-simplex	5-ortopleks • 5-kostka	5-demicube
Jednolity 6-politop	6-simplex	6-ortopleks • 6-kostka	6-demicube	1 22 • 2 21
Jednolity 7-politop	7-simplex	7-ortopleks • 7-kostka	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
Jednolity 8-politop	8-simplex	8-ortopleks • 8-kostka	8-demicube	1 42 • 2 41 • 4 21
Jednolity 9-politop	9-simplex	9-ortopleks • 9-kostka	9-demicube
Jednolity 10-politop	10-simplex	10-ortopleks • 10-kostka	10-demicube
Jednolity n - polytope	n - simpleks	n - ortoplex • n - sześcian	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - pięciokątny politop
Tematy: Rodziny Polytope • Regularny polytope • Lista regularnych polytopów i związków