Lepkość roztwór - Viscosity solution

W matematyce The lepkość roztworu koncepcję wprowadzono w 1980 roku przez Pierre-Louis Lwy i Michael G. Crandall jako uogólnienie klasycznego koncepcji, co rozumie się przez „w roztworze”, do częściowego równania różniczkowego (PDE). Stwierdzono, że rozwiązanie lepkości jest naturalnym rozwiązaniem do wykorzystania w wielu zastosowaniach PDE, w tym na przykład równaniach pierwszego rzędu powstających w programowaniu dynamicznym ( równanie Hamiltona-Jacobi-Bellmana ), grach różniczkowych ( Hilton-Jacobi-Isaacs). równanie ) lub problemy ewolucji frontu, a także równania drugiego rzędu, takie jak te powstające w stochastycznej kontroli optymalnej lub stochastycznych grach różniczkowych.

Klasyczna koncepcja polegała na tym, że PDE

${\ Displaystyle F (x, u, Du, D ^ {2} u) = 0}$

nad dziedziną ma rozwiązanie, jeśli możemy znaleźć funkcję u ( x ) ciągłą i różniczkowalną w całej dziedzinie taką, że , , , spełniają powyższe równanie w każdym punkcie. ${\ Displaystyle x \ w \ Omega}$ ${\displaystyle x}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle Du}$${\displaystyle D^{2}u}$

Jeśli równanie skalarne jest zdegenerowanym eliptycznym (zdefiniowanym poniżej), można zdefiniować rodzaj słabego roztworu zwanego roztworem lepkości . Zgodnie z koncepcją roztworu lepkości u nie musi być wszędzie różniczkowalna. Nie może być miejsca w których albo czy nie istnieje, a jeszcze u spełnia równanie w odpowiednim sensie uogólnione. Definicja dopuszcza tylko pewien rodzaj osobliwości, tak więc istnienie, wyjątkowość i stabilność w jednolitych granicach, obowiązują dla dużej klasy równań. ${\ Displaystyle Du}$${\displaystyle D^{2}u}$

Definicja

Istnieje kilka równoważnych sposobów sformułowania definicji roztworów lepkości. Zob. na przykład rozdział II.4 książki Fleminga i Sonera lub definicję używania dysz półodrzutowych w Podręczniku użytkownika.

Zdegenerowany eliptyczny

Równanie w dziedzinie definiuje się jako zdegenerowane eliptyczne, jeśli dla dowolnych dwóch macierzy symetrycznych i takich, które są dodatnio określone , oraz dowolnych wartości , i , mamy nierówność . Na przykład, jest zdegenerowana eliptyczny ponieważ w tym przypadku , a ślad o to suma jej wartości własnych. Każde rzeczywiste równanie pierwszego rzędu jest zdegenerowanym eliptycznym.${\ Displaystyle F (x, u, Du, D ^ {2} u) = 0}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle YX}$${\ Displaystyle x \ w \ Omega}$${\ Displaystyle u \ w \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle p \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)}$${\ Displaystyle -\ Delta u = 0}$${\ Displaystyle F (x, u, p, X) = - {\ tekst {ślad}} (X)}$${\ Displaystyle X}$

Lepkość podrozpuszczalna

Górnej półciągły funkcji w definiuje się subsolution powyższego równania elipsy zdegenerowanej w znaczeniu lepkości , gdy dla każdego punktu i każdej funkcji , tak że i w sąsiedztwie do mamy .${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\displaystyle x_{0}\w \omega}$${\ Displaystyle C ^ {2}}$${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle \ phi (x_ {0}) = u (x_ {0})}$${\ Displaystyle \ phi \ geq u}$${\displaystyle x_{0}}$${\ Displaystyle F (x_ {0}, \ phi (x _ {0}), d \ phi (x _ {0}), d ^ {2} \ phi (x _ {0})} \ leq 0}$

Lepkość superrozpuszczalna

Niższy półciągły funkcji w definiuje się supersolution wyżej zdegenerowanej równania elipsy w znaczeniu lepkości , gdy dla każdego punktu i każdej funkcji , tak że i w sąsiedztwie do mamy .${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\displaystyle x_{0}\w \omega}$${\ Displaystyle C ^ {2}}$${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle \ phi (x_ {0}) = u (x_ {0})}$${\ Displaystyle \ phi \ leq u}$${\displaystyle x_{0}}$${\ Displaystyle F (x_ {0}, \ phi (x _ {0}), d \ phi (x _ {0}), d ^ {2} \ phi (x _ {0})} \ geq 0}$

Lepkość roztwór

Funkcja ciągła u jest roztworem lepkości PDE w przypadku, gdy jest to zarówno superroztwór, jak i podroztwór. Należy zauważyć, że warunek brzegowy w sensie lepkości nie został tutaj omówiony.${\ Displaystyle F (x, u, Du, D ^ {2} u) = 0}$${\ Displaystyle \ Omega}$

Przykład

Rozważmy problem z wartością brzegową lub , z warunkami brzegowymi . Wtedy funkcją jest roztwór lepkości. ${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\ Displaystyle F (u') = | u' |-1 = 0}$${\ Displaystyle (-1,1)}$${\ Displaystyle u (-1) = u (1) = 0}$${\ Displaystyle u (x) = 1 - | x |}$

Rzeczywiście, zauważ, że warunki brzegowe są spełnione klasycznie i są dobrze zdefiniowane we wnętrzu, z wyjątkiem . Pozostaje zatem wykazać, że warunki lepkości subsolucji i lepkości lepkości są utrzymywane przy . Załóżmy, że jest to dowolna funkcja różniczkowalna w with i near . Z tych założeń wynika, że . Dla pozytywu ta nierówność implikuje użycie tego dla . Z drugiej strony dla , mamy to . Ponieważ jest różniczkowalna, lewa i prawa granica zgadzają się i są równe , a zatem wnioskujemy, że , czyli . Tak więc jest substytucją lepkości. Ponadto fakt, że jest supersolution posiada próżniowo, ponieważ nie istnieje funkcja różniczkowalna w z i blisko . Oznacza to, że jest to roztwór lepkości. ${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\ Displaystyle \ phi (x)}$${\displaystyle x=0}$${\ Displaystyle \ phi (0) = u (0) = 1}$${\ Displaystyle \ phi (x) \ geq u (x)}$${\displaystyle x=0}$${\ Displaystyle \ phi (x) - \ phi (0) \ geq - | x |}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do 0 ^ {+}} {\ Frac {\ phi (x) - \ phi (0)} {x}} \ geq -1}$${\ Displaystyle | x | / x = sgn (x) = 1}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x<0}$${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do 0 ^ {-}} {\ Frac {\ phi (x) - \ phi (0)} {x}} \ równoważnik 1}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi '(0)}$${\displaystyle |\phi '(0)|\leq 1}$${\displaystyle F(\phi '(0))\leq 0}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ phi (x)}$${\displaystyle x=0}$${\ Displaystyle \ phi (0) = u (0) = 1}$${\ Displaystyle \ phi (x) \ leq u (x)}$${\displaystyle x=0}$${\ Displaystyle u}$

W rzeczywistości można udowodnić, że jest to unikalne rozwiązanie lepkościowe dla takiego problemu. Część o wyjątkowości wiąże się z bardziej wyrafinowanym argumentem. ${\ Displaystyle u}$

Dyskusja

Poprzedni problem z wartością brzegową to równanie eikonalne w pojedynczym wymiarze przestrzennym z , gdzie rozwiązaniem jest funkcja odległości ze znakiem do granicy dziedziny. Zauważ również w poprzednim przykładzie znaczenie znaku . W szczególności, roztwór lepkości do PDE z tymi samymi warunkami brzegowymi to . Można to wytłumaczyć obserwując, że rozwiązanie jest rozwiązaniem granicznym problemu zanikającej lepkości, gdy dochodzi do zera, podczas gdy jest rozwiązaniem granicznym problemu zanikającej lepkości . Można łatwo potwierdzić, że rozwiązuje PDE dla każdego . Ponadto rodzina rozwiązań zbiega się w kierunku rozwiązania, gdy znika (patrz rysunek). ${\displaystyle f=1}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle -F=0}$${\ Displaystyle u (x) = | x | -1}$${\ Displaystyle u (x) = 1 - | x |}$${\ Displaystyle F (u') = [u'] ^ {2}-1 = \ epsilon u''}$${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle u (x) = | x | -1}$${\displaystyle -F(u')=1-[u']^{2}=\epsilon u''}$${\ Displaystyle u_ {\ epsilon} (x) = \ epsilon [\ ln (\ cosh (1/\ epsilon)) - \ ln (\ cosh (x/\ epsilon))}$${\ Displaystyle F (u') = [u'] ^ {2}-1 = \ epsilon u''}$${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$${\displaystyle u_{\epsilon}}$${\displaystyle u=1-|x|}$${\displaystyle \epsilon}$

Podstawowe właściwości

Trzy podstawowe właściwości roztworów lepkościowych to istnienie , niepowtarzalność i stabilność .

• Unikalność rozwiązań wymaga kilka dodatkowych założeń strukturalnych równania. Jednak można to wykazać dla bardzo dużej klasy zdegenerowanych równań eliptycznych. Jest to bezpośrednia konsekwencja zasady porównania . Kilka prostych przykładów, w których obowiązuje zasada porównania:

1. ${\ Displaystyle u + H (x, \ nabla u) = 0}$z H jednostajnie ciągłym w obu zmiennych.
2. (Przypadek jednolicie eliptyczny) czyli Lipschitz w odniesieniu do wszystkich zmiennych i dla każdego i , dla niektórych .${\ Displaystyle F (D ^ {2} u, du, u) = 0}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle r\leq s}$${\ Displaystyle X \ geq Y}$${\ Displaystyle F (Y, p, s) \ geq F (X, p, r) + \ lambda | | XY | |}$${\ Displaystyle \ lambda > 0}$

• Istnienie rozwiązań posiada we wszystkich przypadkach, w których zasada porównanie posiada i warunki brzegowe mogą być egzekwowane w jakiś sposób (za pomocą funkcji barierowych w przypadku Dirichleta warunkiem brzegowym ). W przypadku równań pierwszego rzędu można go uzyskać metodą zanikającej lepkości lub dla większości równań metodą Perrona. Istnieje uogólnione pojęcie warunku brzegowego, w sensie lepkości . Rozwiązanie problemu brzegowego z uogólnionymi warunkami brzegowymi jest możliwe do rozwiązania zawsze, gdy obowiązuje zasada porównania.
• Stabilność roztworów w posiada co następuje: lokalnie równomierne ograniczenie sekwencji roztworów (lub subsolutions lub supersolutions) znajduje się w roztworze (albo subsolution lub supersolution). Mówiąc bardziej ogólnie, pojęcia lepkości pod- i nadrozpuszczalnej są również zachowane przez granice połowicznie rozluźnione.${\ Displaystyle L ^ {\ Infty}}$

Historia

Termin roztwory lepkości po raz pierwszy pojawia się w pracy Michaela G. Crandalla i Pierre-Louis Lionsa w 1983 roku dotyczącej równania Hamiltona-Jacobiego. Nazwę uzasadnia fakt, że istnienie roztworów uzyskano metodą zanikającej lepkości . Definicja rozwiązania została faktycznie podana wcześniej przez Lawrence'a C. Evansa w 1980 r. Następnie definicja i właściwości roztworów lepkości dla równania Hamiltona-Jacobiego zostały udoskonalone we wspólnej pracy Crandall, Evans i Lions w 1984 r.

Przez kilka lat prace nad roztworami lepkości koncentrowały się na równaniach pierwszego rzędu, ponieważ nie było wiadomo, czy równania eliptyczne drugiego rzędu będą miały unikalne rozwiązanie lepkości, z wyjątkiem bardzo szczególnych przypadków. Przełomowym rezultatem była metoda wprowadzona przez Roberta Jensena w 1988 roku w celu udowodnienia zasady porównania przy użyciu regularyzowanego przybliżenia rozwiązania, które prawie wszędzie ma drugą pochodną (we współczesnych wersjach dowodu osiąga się to za pomocą sup-splotów i twierdzenia Aleksandrowa ). .

W kolejnych latach koncepcja lepkości roztworu stała się coraz bardziej rozpowszechniona w analizie zdegenerowanego eliptycznego PDE. Na podstawie ich właściwości stabilności Barles i Souganidis uzyskali bardzo prosty i ogólny dowód zbieżności schematów różnic skończonych. Uzyskano dalsze właściwości regularności roztworów lepkościowych, zwłaszcza w przypadku jednostajnie eliptycznym z pracami Luisa Caffarelli . Rozwiązania lepkościowe stały się centralną koncepcją w badaniach eliptycznych PDE. W szczególności roztwory lepkościowe są niezbędne w badaniu nieskończoności Laplace'a.

W nowoczesnym podejściu istnienie rozwiązań uzyskuje się najczęściej metodą Perrona. Metoda znikającej lepkości nie jest ogólnie praktyczna dla równań drugiego rzędu, ponieważ dodanie sztucznej lepkości nie gwarantuje istnienia klasycznego rozwiązania. Co więcej, definicja roztworów lepkości na ogół nie obejmuje lepkości fizycznej. Niemniej jednak, podczas gdy teoria roztworów lepkościowych jest czasami uważana za niezwiązaną z lepkimi płynami , płyny niewirujące rzeczywiście można opisać równaniem Hamiltona-Jacobiego. W tym przypadku lepkość odpowiada lepkości objętościowej niewirującego, nieściśliwego płynu. Inne, które zaproponowano, to rozwiązania Crandall-Lions na cześć ich pionierów, rozwiązania słabe , odnoszące się do ich właściwości stabilności, lub rozwiązania porównawcze , odnoszące się do ich najbardziej charakterystycznych właściwości. ${\ Displaystyle L ^ {\ Infty}}$

Bibliografia