Symbol Wythoffa - Wythoff symbol
W geometrii The symbolu Wythoff jest oznaczenie co stanowi konstrukcję Wythoff o wielościanu jednolity lub płaszczyzny płytek obrębie trójkąta Schwarz . Po raz pierwszy użyli go Coxeter , Longuet-Higgins i Miller przy wyliczaniu wielościanów jednorodnych. Później opracowano diagram Coxetera, aby oznaczyć jednorodne politopy i plastry miodu w przestrzeni n-wymiarowej w fundamentalnym simpleksie.
Symbol Wythoff składa się z trzech liczb i pionowej kreski. Reprezentuje jeden jednolity wielościan lub kafelki, chociaż to samo kafelkowanie/wielościan może mieć różne symbole Wythoffa z różnych generatorów symetrii. Na przykład regularny sześcian może być reprezentowany przez 3 | 2 4 o O h symetrii i 2 4 | 2 jako kwadratowy pryzmat z 2 kolorami i symetrią D 4h , a także 2 2 2 | z 3 kolorami i symetrią D 2h .
Przy niewielkim rozszerzeniu symbol Wythoffa można zastosować do wszystkich jednolitych wielościanów. Jednak metody konstrukcyjne nie prowadzą do wszystkich jednorodnych kafelków w przestrzeni euklidesowej lub hiperbolicznej.
Opis
Konstrukcja Wythoffa zaczyna się od wybrania punktu generatora na trójkącie podstawowym. Jeżeli odległość tego punktu od każdego z boków jest niezerowa, punkt należy wybrać tak, aby był równy odległości od każdej krawędzi. Linia prostopadła jest następnie upuszczana między punktem generatora a każdą ścianą, na której nie leży.
Trzy liczby w symbolu Wythoffa, p , q i r , reprezentują narożniki trójkąta Schwarza użytego w konstrukcji, które sąπ/p, π/q, i π/r radiany odpowiednio. Trójkąt jest również reprezentowany przez te same liczby, zapisane ( p q r ). Pionowa kreska w symbolu określa kategoryczne położenie punktu generatora w trójkącie podstawowym zgodnie z poniższym:
- p | q r oznacza, że generator leży w narożniku p ,
- p q | r oznacza, że generator leży na krawędzi między p i q ,
- p q r | wskazuje, że generator znajduje się we wnętrzu trójkąta.
W tym zapisie zwierciadła są oznaczone kolejnością odbicia przeciwległego wierzchołka. Wartości p , q , r są wymienione przed słupkiem, jeśli odpowiednie lustro jest aktywne.
Szczególnym zastosowaniem jest symbol | p q r, który jest przeznaczony dla przypadku, gdy wszystkie zwierciadła są aktywne, ale odbite obrazy o nieparzystych numerach są ignorowane. Wynikowa figura ma tylko symetrię obrotową.
Punkt generatora może być włączony lub wyłączony z każdego lustra, aktywowany lub nie. To rozróżnienie tworzy 8 (2 3 ) możliwych form, pomijając jedną, w której punkt generatora znajduje się na wszystkich lustrach.
Symbol Wythoffa jest funkcjonalnie podobny do bardziej ogólnego diagramu Coxetera-Dynkina , w którym każdy węzeł reprezentuje lustro, a łuki między nimi – oznaczone cyframi – kąty między lustrami. (Łuk reprezentujący kąt prosty jest pomijany). Węzeł jest zakreślany, jeśli punkt generatora nie znajduje się na zwierciadle.
Przykład kafelków sferycznych, euklidesowych i hiperbolicznych na trójkątach prostokątnych
Podstawowe trójkąty są narysowane naprzemiennymi kolorami jako odbicia lustrzane. Sekwencja trójkątów ( p 3 2) zmienia się od kulistej ( p = 3, 4, 5), do euklidesowej ( p = 6), do hiperbolicznej ( p ≥ 7). Kafelki hiperboliczne są pokazane jako projekcja dysku Poincarégo .
Symbol Wythoffa | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schemat Coxetera | ||||||||
Figura wierzchołka | p q | q .2 p .2 p | s . . q . s . . q | p .2 q .2 q | q p | p 0,4. q 0,4 | 4.2 p .2 q | 3.3. p 0,3. q |
Fundusz. trójkąty | 7 form i snub | |||||||
(4 3 2) |
3 | 4 2 4 3 |
2 3 | 4 3.8.8 |
2 | 4 3 3.4.3.4 |
2 4 | 3 4.6.6 |
4 | 3 2 3 4 |
4 3 | 2 3.4.4.4 |
4 3 2 | 4.6.8 |
| 4 3 2 3.3.3.3.4 |
(5 3 2) |
3 | 5 2 5 3 |
2 3 | 5 3.10.10 |
2 | 5 3 3.5.3.5 |
2 5 | 3 5.6.6 |
5 | 3 2 3 5 |
5 3 | 2 3.4.5.4 |
5 3 2 | 4.6.10 |
| 5 3 2 3.3.3.3.5 |
(6 3 2) |
3 | 6 2 6 3 |
2 3 | 6 3.12.12 |
2 | 6 3 3.6.3.6 |
2 6 | 3 6.6.6 |
6 | 3 2 3 6 |
6 3 | 2 3.4.6.4 |
6 3 2 | 4.6.12 |
| 6 3 2 3.3.3.3.6 |
(7 3 2) |
3 | 7 2 7 3 |
2 3 | 7 3.14.14 |
2 | 7 3 3.7.3.7 |
2 7 | 3 7.6.6 |
7 | 3 2 3 7 |
7 3 | 2 3.4.7.4 |
7 3 2 | 4.6.14 |
| 7 3 2 3.3.3.3.7 |
(8 3 2) |
3 | 8 2 8 3 |
2 3 | 8 3.16.16 |
2 | 8 3 3.8.3.8 |
2 8 | 3 8.6.6 |
8 | 3 2 3 8 |
8 3 | 2 3.4.8.4 |
8 3 2 | 4.6.16 |
| 8 3 2 3.3.3.3.8 |
(∞ 3 2) |
3 | ∞ 2 ∞ 3 |
2 3 | ∞ 3.∞.∞ |
2 | ∞ 3 3.∞.3.∞ |
2 | 3 .6.6 |
| 3 2 3 ∞ |
3 | 2 3.4.∞.4 |
3 2 | 4.6.∞ |
| ∞ 3 2 3.3.3.3. ∞ |
Zobacz też
- Zwykły polytope
- Wielościan regularny
- Lista jednolitych płytek
- Jednolite kafelki w płaszczyźnie hiperbolicznej
- Lista jednolitych wielościanów
- Lista wielościanów jednolitych wg trójkąta Schwarza
- Listy jednolitych kafelków na sferze, płaszczyźnie i płaszczyźnie hiperbolicznej
Bibliografia
- Coxeter Regular Polytopes , wydanie trzecie, (1973), wydanie Dover, ISBN 0-486-61480-8 (rozdział V: Kalejdoskop, sekcja: konstrukcja 5,7 Wythoffa)
- Coxeter The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Rozdział 3: Konstrukcja Wythoffa dla jednolitych wielotopów)
- Coxeter , Longuet-Higgins, Miller, Jednolite wielościany , Phil. Przeł. 1954, 246 A, 401-50.
- Wenninger, Magnus (1974). Modele wielościanów . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-09859-9. s. 9–10.
Linki zewnętrzne
- Weisstein, Eric W. „Symbol Wythoffa” . MatematykaŚwiat .
- Symbol Wythoffa
- Symbol Wythoffa
- Aplet Grega Egana do wyświetlania jednolitych wielościanów przy użyciu metody konstrukcji Wythoffa
- Rendering Shadertoy metody konstrukcyjnej Wythoffa
- KaleidoTile 3 Darmowe oprogramowanie edukacyjne dla systemu Windows autorstwa Jeffrey Weeksa, które wygenerowało wiele obrazów na stronie.
- Właz, Don. „Hiperboliczne mozaikowanie planarne” .