Symbol Wythoffa - Wythoff symbol

Przykładowe trójkąty konstrukcyjne Wythoffa z 7 punktami generatora. Linie do aktywnych zwierciadeł są pokolorowane na czerwono, żółto i niebiesko z 3 węzłami naprzeciw nich, zgodnie z symbolem Wythoffa.
Osiem form konstrukcji Wythoffa z ogólnego trójkąta ( pqr ).

W geometrii The symbolu Wythoff jest oznaczenie co stanowi konstrukcję Wythoff o wielościanu jednolity lub płaszczyzny płytek obrębie trójkąta Schwarz . Po raz pierwszy użyli go Coxeter , Longuet-Higgins i Miller przy wyliczaniu wielościanów jednorodnych. Później opracowano diagram Coxetera, aby oznaczyć jednorodne politopy i plastry miodu w przestrzeni n-wymiarowej w fundamentalnym simpleksie.

Symbol Wythoff składa się z trzech liczb i pionowej kreski. Reprezentuje jeden jednolity wielościan lub kafelki, chociaż to samo kafelkowanie/wielościan może mieć różne symbole Wythoffa z różnych generatorów symetrii. Na przykład regularny sześcian może być reprezentowany przez 3 | 2 4 o O h symetrii i 2 4 | 2 jako kwadratowy pryzmat z 2 kolorami i symetrią D 4h , a także 2 2 2 | z 3 kolorami i symetrią D 2h .

Przy niewielkim rozszerzeniu symbol Wythoffa można zastosować do wszystkich jednolitych wielościanów. Jednak metody konstrukcyjne nie prowadzą do wszystkich jednorodnych kafelków w przestrzeni euklidesowej lub hiperbolicznej.

Opis

Konstrukcja Wythoffa zaczyna się od wybrania punktu generatora na trójkącie podstawowym. Jeżeli odległość tego punktu od każdego z boków jest niezerowa, punkt należy wybrać tak, aby był równy odległości od każdej krawędzi. Linia prostopadła jest następnie upuszczana między punktem generatora a każdą ścianą, na której nie leży.

Trzy liczby w symbolu Wythoffa, p , q i r , reprezentują narożniki trójkąta Schwarza użytego w konstrukcji, które sąπ/p, π/q, i π/r radiany odpowiednio. Trójkąt jest również reprezentowany przez te same liczby, zapisane ( p q r ). Pionowa kreska w symbolu określa kategoryczne położenie punktu generatora w trójkącie podstawowym zgodnie z poniższym:

  • p | q r oznacza, że ​​generator leży w narożniku p ,
  • p q | r oznacza, że ​​generator leży na krawędzi między p i q ,
  • p q r | wskazuje, że generator znajduje się we wnętrzu trójkąta.

W tym zapisie zwierciadła są oznaczone kolejnością odbicia przeciwległego wierzchołka. Wartości p , q , r są wymienione przed słupkiem, jeśli odpowiednie lustro jest aktywne.

Szczególnym zastosowaniem jest symbol | p q r, który jest przeznaczony dla przypadku, gdy wszystkie zwierciadła są aktywne, ale odbite obrazy o nieparzystych numerach są ignorowane. Wynikowa figura ma tylko symetrię obrotową.

Punkt generatora może być włączony lub wyłączony z każdego lustra, aktywowany lub nie. To rozróżnienie tworzy 8 (2 3 ) możliwych form, pomijając jedną, w której punkt generatora znajduje się na wszystkich lustrach.

Symbol Wythoffa jest funkcjonalnie podobny do bardziej ogólnego diagramu Coxetera-Dynkina , w którym każdy węzeł reprezentuje lustro, a łuki między nimi – oznaczone cyframi – kąty między lustrami. (Łuk reprezentujący kąt prosty jest pomijany). Węzeł jest zakreślany, jeśli punkt generatora nie znajduje się na zwierciadle.

Przykład kafelków sferycznych, euklidesowych i hiperbolicznych na trójkątach prostokątnych

Podstawowe trójkąty są narysowane naprzemiennymi kolorami jako odbicia lustrzane. Sekwencja trójkątów ( p 3 2) zmienia się od kulistej ( p = 3, 4, 5), do euklidesowej ( p = 6), do hiperbolicznej ( p ≥ 7). Kafelki hiperboliczne są pokazane jako projekcja dysku Poincarégo .

Symbol Wythoffa q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Schemat Coxetera Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel h.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel q.pngWęzeł CDel h.png
Figura wierzchołka p q q .2 p .2 p s . . q . s . . q p .2 q .2 q q p p 0,4. q 0,4 4.2 p .2 q 3.3. p 0,3. q
Fundusz. trójkąty 7 form i snub
(4 3 2)
Domeny odbicia ośmiościennego.png
3 | 4 2 4 3
Jednolite płytki 432-t0.png
2 3 | 4 3.8.8
Jednolite płytki 432-t01.png
2 | 4 3 3.4.3.4
Jednolite płytki 432-t1.png
2 4 | 3 4.6.6
Jednolite płytki 432-t12.png
4 | 3 2 3 4
Jednolite płytki 432-t2.png
4 3 | 2 3.4.4.4
Jednolite płytki 432-t02.png
4 3 2 | 4.6.8
Jednolite płytki 432-t012.png
| 4 3 2 3.3.3.3.4
Kulisty sześcian snub.png
(5 3 2)
Icosahedral refleksji domains.png
3 | 5 2 5 3
Jednolite płytki 532-t0.png
2 3 | 5 3.10.10
Jednolite płytki 532-t01.png
2 | 5 3 3.5.3.5
Jednolite płytki 532-t1.png
2 5 | 3 5.6.6
Jednolite płytki 532-t12.png
5 | 3 2 3 5
Jednolite płytki 532-t2.png
5 3 | 2 3.4.5.4
Jednolite płytki 532-t02.png
5 3 2 | 4.6.10
Jednolite płytki 532-t012.png
| 5 3 2 3.3.3.3.5
Sferyczny dwunastościan.png snu
(6 3 2)
Płytka V46b.svg
3 | 6 2 6 3
Jednolite płytki 63-t0.png
2 3 | 6 3.12.12
Jednolite płytki 63-t01.png
2 | 6 3 3.6.3.6
Jednolite płytki 63-t1.png
2 6 | 3 6.6.6
Jednolite płytki 63-t12.png
6 | 3 2 3 6
Jednolite trójkątne płytki 111111.png
6 3 | 2 3.4.6.4
Jednolite płytki 63-t02.png
6 3 2 | 4.6.12
Jednolite płytki 63-t012.svg
| 6 3 2 3.3.3.3.6
Jednolite kafelki 63-snub.png
(7 3 2)
H2checkers 237.png
3 | 7 2 7 3
Siedmioboczna kafelki.svg
2 3 | 7 3.14.14
Obcięty heptagonalny tiling.svg
2 | 7 3 3.7.3.7
Triheptagonal tileing.svg
2 7 | 3 7.6.6
Obcięty porządek-7 trójkątne kafelki.svg
7 | 3 2 3 7
Zamówienie-7 trójkątne kafelki.svg
7 3 | 2 3.4.7.4
Rombitriheptagonal tileing.svg
7 3 2 | 4.6.14
Obcięty trójkątny tiling.svg
| 7 3 2 3.3.3.3.7
Snub triheptagonal tiling.svg
(8 3 2)
H2checkers 238.png
3 | 8 2 8 3
H2-8-3-dual.svg
2 3 | 8 3.16.16
H2-8-3-trunc-dual.svg
2 | 8 3 3.8.3.8
H2-8-3-rektyfikowany.svg
2 8 | 3 8.6.6
H2-8-3-trunc-primal.svg
8 | 3 2 3 8
H2-8-3-primal.svg
8 3 | 2 3.4.8.4
H2-8-3-cantelated.svg
8 3 2 | 4.6.16
H2-8-3-omnitruncated.svg
| 8 3 2 3.3.3.3.8
H2-8-3-snub.svg
(∞ 3 2)
H2checkers 23i.png
3 | ∞ 2 3
H2-I-3-podwójny.svg
2 3 | ∞ 3.∞.∞
H2 płytki 23i-3.png
2 | ∞ 3 3.∞.3.∞
Płytki H2 23i-2.png
2 | 3 .6.6
Płytki H2 23i-6.png
| 3 2 3
H2 płytki 23i-4.png
3 | 2 3.4.∞.4
Płytki H2 23i-5.png
3 2 | 4.6.∞
Płytki H2 23i-7.png
| ∞ 3 2 3.3.3.3.
Jednolite kafelki i32-snub.png

Zobacz też

Bibliografia

  • Coxeter Regular Polytopes , wydanie trzecie, (1973), wydanie Dover, ISBN  0-486-61480-8 (rozdział V: Kalejdoskop, sekcja: konstrukcja 5,7 Wythoffa)
  • Coxeter The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999, ISBN  0-486-40919-8 (Rozdział 3: Konstrukcja Wythoffa dla jednolitych wielotopów)
  • Coxeter , Longuet-Higgins, Miller, Jednolite wielościany , Phil. Przeł. 1954, 246 A, 401-50.
  • Wenninger, Magnus (1974). Modele wielościanów . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-09859-9. s. 9–10.

Linki zewnętrzne