Punkt antypodowy - Antipodal point

Aby poznać geograficzny punkt antypodów miejsca na Ziemi, zobacz antypody .
Punkty antypodów na okręgu są oddalone od siebie o 180 stopni.

W matematyce , antypodyczne punkty o kuli są te, diametralnie naprzeciw siebie (z cech szczególnych takiej definicji są takie, że linia przebiegająca od jednej do drugiej przechodzi przez środek kuli tak tworzy prawdziwe średnicy).

Termin ten dotyczy przeciwnych punktów na okręgu lub dowolnej n-sferze .

Punkt antypodowy jest czasami nazywany antypodą , co jest formacją wsteczną od greckiego słowa zapożyczonego antipodes , co oznacza „przeciwstawne (the) stopy”, ponieważ prawdziwe słowo w liczbie pojedynczej to antipus .

Teoria

W matematyce pojęcie punktów antypodalnych uogólnia się na sfery o dowolnym wymiarze: dwa punkty na sferze są antypodami, jeśli są przeciwległe przez środek ; na przykład biorąc środek jako początek , są to punkty z powiązanymi wektorami v i − v . Na okręgu takie punkty nazywane są również diametralnie przeciwstawnymi . Innymi słowy, każda linia przechodząca przez środek przecina kulę w dwóch punktach, po jednym na każdy promień wychodzący ze środka, i te dwa punkty są antypodami.

Twierdzenie Borsuka–Ulam jest wynikiem topologii algebraicznej zajmującej się takimi parami punktów. Mówi, że każda ciągła funkcja od S n do R n odwzorowuje pewną parę antypodów w S n do tego samego punktu w R n . Tutaj S n oznacza n- wymiarową sferę w ( n  + 1)-wymiarowej przestrzeni (więc „zwykła” sfera to S 2 a okrąg to S 1 ).

Antypodyczne mapę  : S n → S n , określone przez A ( x ) = - x wysyła każdy punkt w zakresie jego antypodyczne punkcie. Jest homotopiczne do mapy tożsamości, jeśli n jest nieparzyste, a jej stopień to (−1) n +1 .

Jeśli ktoś chce uznać punkty antypodów za zidentyfikowane, przechodzi do przestrzeni rzutowej (zobacz także rzutową przestrzeń Hilberta , dla idei stosowanej w mechanice kwantowej ).

Antypodalna para punktów na wielokącie wypukłym

Antypodalna para wielokąta wypukłego to para 2 punktów, w których dwie nieskończone równoległe linie są styczne z obydwoma punktami antypodału bez przecinania się z żadną inną linią wielokąta wypukłego.

Bibliografia

  1. ^ Chisholm, Hugh, wyd. (1911). „Antypody”  . Encyklopedia Britannica . 2 (wyd. 11). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. s. 133–34.

Zewnętrzne linki