Wahadło balistyczne - Ballistic pendulum

Balistyczne wahadło jest urządzeniem do pomiaru kulę „s pęd , z którego możliwe jest obliczenie prędkości i energii kinetycznej . Wahadła balistyczne zostały w dużej mierze przestarzałe dzięki nowoczesnym chronografom , które umożliwiają bezpośredni pomiar prędkości pocisku.

Chociaż wahadło balistyczne jest uważane za przestarzałe, pozostawało w użyciu przez długi czas i doprowadziło do wielkiego postępu w nauce balistycznej . Wahadło balistyczne jest nadal obecne w salach fizyki ze względu na swoją prostotę i użyteczność w demonstrowaniu właściwości pędu i energii. W przeciwieństwie do innych metod pomiaru prędkości pocisku, podstawowe obliczenia wahadła balistycznego nie wymagają żadnego pomiaru czasu, a opierają się tylko na miarach masy i odległości.

Oprócz podstawowych zastosowań pomiaru prędkości pocisku lub odrzutu działa, wahadło balistyczne może być używane do pomiaru dowolnego transferu pędu. Na przykład wahadło balistyczne był używany przez fizyk CV chłopców do pomiaru elastyczności z piłek golfowych , a fizyk Peter Guthrie Tait zmierzyć efekt wirowania że miał od odległości przebytej piłki golfowej.

Historia

Wahadło balistyczne zostało wynalezione w 1742 roku przez angielskiego matematyka Benjamina Robinsa (1707–1751) i opublikowane w jego książce New Principles of Gunnery , która zrewolucjonizowała naukę balistyki, ponieważ zapewniła pierwszy sposób dokładnego pomiaru prędkości pocisku.

Robins wykorzystał wahadło balistyczne do pomiaru prędkości pocisku na dwa sposoby. Pierwszym z nich było przymocowanie pistoletu do wahadła i zmierzenie odrzutu . Ponieważ pęd działa jest równy pędowi wyrzuconego materiału, a pocisk stanowił (w tych eksperymentach) znaczną większość masy wyrzutu, prędkość pocisku można było określić w przybliżeniu. Druga, bardziej dokładna metoda, polegała na bezpośrednim zmierzeniu pędu pocisku poprzez wystrzelenie go w wahadło. Rudziki eksperymentowały z kulami muszkietu o masie około jednej uncji (28 g), podczas gdy inni współcześni stosowali jego metody z wystrzałem armatnim o wadze od jednego do trzech funtów (0,5 do 1,4 kg).

Oryginalne dzieło Robinsa wykorzystywało ciężkie żelazne wahadło, licowane drewnem, aby złapać kulę. Nowoczesne reprodukcje, używane jako demonstracje na lekcjach fizyki, zazwyczaj wykorzystują ciężki ciężar zawieszony na bardzo cienkim, lekkim ramieniu i ignorują masę ramienia wahadła. Ciężkie żelazne wahadło Robinsa na to nie pozwalało, a matematyczne podejście Robinsa było nieco bardziej złożone. Użył okres od drgań i masy wahadła (mierzone z pocisku w zestawie) do obliczania bezwładności obrotowej wahadła, który następnie stosuje się do obliczeń. Robins użył również kawałka wstążki , luźno uchwyconej w zacisku, aby zmierzyć ruch wahadła. Wahadło wyciągałoby długość wstążki równą cięciwie ruchu wahadła.

Pierwszy system zastępujący wahadła balistyczne bezpośrednimi pomiarami prędkości pocisku został wynaleziony w 1808 roku, podczas wojen napoleońskich i wykorzystywał szybko obracający się wał o znanej prędkości z dwoma papierowymi tarczami; pocisk został wystrzelony przez dyski, równolegle do wału, a różnica kątów w punktach uderzenia zapewniała upływ czasu na odległości między dyskami. Bezpośredni mechanizm zegarowy elektromechaniczny pojawił się w 1848 roku, z zegarem sprężynowym uruchamianym i zatrzymywanym przez elektromagnesy, których prąd został przerwany przez pocisk przechodzący przez dwie siatki cienkich drutów, ponownie dając czas na pokonanie danej odległości.

Wyprowadzenia matematyczne

Większość podręczników fizyki zapewnia uproszczoną metodę obliczania prędkości pocisku, która wykorzystuje masę pocisku i wahadła oraz wysokość ruchu wahadła do obliczenia ilości energii i pędu w układzie wahadła i pocisku. Obliczenia Robinsa były znacznie bardziej skomplikowane i wykorzystywały miarę okresu oscylacji do określenia bezwładności obrotowej układu.

Proste wyprowadzenie

Zaczynamy od ruchu układu wahadło-pocisk od momentu uderzenia wahadła przez kulę.

Biorąc pod uwagę przyspieszenie ziemskie oraz końcową wysokość wahadła, można obliczyć prędkość początkową układu pocisk-wahadło, wykorzystując zasadę zachowania energii mechanicznej (energia kinetyczna + energia potencjalna). Niech ta prędkość początkowa będzie oznaczona przez . Załóżmy, że masy pocisku i wahadła wynoszą odpowiednio i . ${\displaystyle g}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle m_{b}}$${\displaystyle m_{p}}$

Początkowa energia kinetyczna układu ${\ Displaystyle K_ {początkowy} = {\ zacząć {macierz} {\ Frac {1} {2}} \ koniec {macierz}} (m_ {b} + m_ {p}) \ cdot v_ {1} ^ {2} }}$

Biorąc początkową wysokość wahadła jako odniesienie do energii potencjalnej , końcową energię potencjalną, gdy system wahadła pocisku zatrzymuje się, jest dana wzorem${\ Displaystyle (U_ {początkowy} = 0)}$${\ Displaystyle (K_ {końcowy} = 0)}$${\ Displaystyle U_ {końcowy} = (m_ {b} + m_ {p}) \ cdot g \ cdot h}$

Tak więc dzięki zachowaniu energii mechanicznej mamy:

${\ Displaystyle K_ {początkowy} = U_ {końcowy} \}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} {\ Frac {1} {2}} \ koniec {macierz}} (m_ {b} + m_ {p}) \ cdot v_ {1} ^ {2} = (m_ { b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Znajdź prędkość, aby otrzymać: ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Możemy teraz użyć zachowania pędu w systemie wahadło-pocisk, aby uzyskać prędkość pocisku , zanim uderzył w wahadło. Porównując pęd pocisku przed wystrzeleniem z pędem systemu pocisk-wahadło, gdy tylko pocisk uderza w wahadło (i używając od góry), otrzymujemy: ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

${\ Displaystyle m_ {\ textrm {b}} \ cdot v_ {0}= (m_ {\ textrm {b}} + m_ {\ textrm {p}}) \ cdot {\ sqrt {2 \ cdot g \ cdot h }}}$

Rozwiązywanie dla : ${\displaystyle v_{0}}$

${\ Displaystyle V_ {0}= {\ Frac {(m_ {\ textrm {b}} + m_ {\ textrm {p}}) \ cdot {\ sqrt {2 \ cdot g \ cdot h}}} {m_ { \textrm {b}}}}=\left(1+{\frac {m_{\textrm {p}}}{m_{\textrm {b}}}}\right)\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

• Walizka testowa z pistoletem pneumatycznym i wiatrówką
• Odtwórz multimedia

  Crosman 1377, kal. .177, waga śrutu 0,5 grama, waga bloku 45 gramów

• 

  Crosman 1377, energia 10,6 dżuli (10 w specyfikacji), prędkość wylotowa 206 metrów na sekundę

• Odtwórz multimedia

  Ekol Ostateczny, kal. 0,25, waga śrutu 1,15 grama, waga bloku 80 gramów

• 

  Ekol Ultimate: energia 26,6 dżuli (30 określonych), prędkość wylotowa 215 metrów na sekundę

Formuła rudzików

Oryginalna książka Robinsa zawierała pewne pominięte założenia w formule; na przykład nie zawierał korekty uwzględniającej uderzenie pocisku, które nie pasowało do środka masy wahadła. Zaktualizowana formuła, z poprawionym tym pominięciem, została opublikowana w Philosophical Transactions of the Royal Society w następnym roku. Szwajcarski matematyk Leonhard Euler , nieświadomy tej poprawki, niezależnie poprawił to pominięcie w swoim opatrzonym adnotacjami niemieckim tłumaczeniu książki. Poprawiona formuła, pojawiająca się w wydaniu książki z 1786 roku, brzmiała:

${\ Displaystyle v = 614.58gc \ cdot {\ Frac {p + b} {brin}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle v}$ to prędkość piłki w jednostkach na sekundę
• ${\displaystyle b}$ to masa piłki
• ${\displaystyle p}$ jest masa wahadła
• ${\displaystyle g}$ to odległość od osi do środka ciężkości
• ${\displaystyle i}$ to odległość od osi do miejsca uderzenia piłki
• ${\displaystyle c}$ to akord mierzony wstążką opisaną w aparacie Robinsa
• ${\ Displaystyle r}$ jest promień lub odległość od osi mocowania wstążki
• ${\ Displaystyle n}$ to liczba oscylacji wykonanych przez wahadło w ciągu jednej minuty

Rudziki używały stóp jako długości i uncji jako masy, chociaż inne jednostki, takie jak cale lub funty, można zastąpić, o ile zachowana jest konsystencja.

Wzór Poissona

Wzór oparty na bezwładności obrotowej podobny do Robinsa został opracowany przez francuskiego matematyka Siméona Denisa Poissona i opublikowany w The Mécanique Physique , do pomiaru prędkości pocisku za pomocą odrzutu pistoletu:

${\displaystyle mvcf=mbk'{\sqrt {gh}}}$

gdzie:

• ${\ Displaystyle m}$ jest masa pocisku
• ${\displaystyle v}$ jest prędkość pocisku
• ${\displaystyle c}$ to odległość od osi do wstążki
• ${\displaystyle f}$ to odległość od osi otworu do punktu obrotu pivot
• ${\ Displaystyle M}$ to łączna masa działa i wahadła
• ${\displaystyle b}$ czy akord jest mierzony przez wstążkę?
• ${\displaystyle k'}$ to promień od osi do środka masy działa i wahadła (mierzony przez oscylację, według Robinsa)
• ${\displaystyle g}$ jest przyspieszenie grawitacyjne
• ${\ Displaystyle h}$ to odległość od środka masy wahadła do czopa

${\displaystyle k'}$ można obliczyć za pomocą równania:

${\ Displaystyle T = \ pi {\ sqrt {\ Frac {k'^ {2}} {gh}}}}$

Gdzie jest połowa okresu oscylacji. ${\ Displaystyle T}$

Wahadło balistyczne Ackleya

PO Ackley opisał, jak skonstruować i wykorzystać wahadło balistyczne w 1962 roku. Wahadło Ackleya wykorzystywało połączenie równoległoboczne o znormalizowanym rozmiarze, który pozwalał na uproszczone sposoby obliczania prędkości.

Wahadło Ackleya wykorzystywało ramiona wahadła o długości dokładnie 66,25 cala (168,3 cm), od powierzchni nośnej do powierzchni nośnej, a także zastosowano śruby rzymskie znajdujące się pośrodku ramion, aby zapewnić precyzyjne ustawienie długości ramienia. Ackley zaleca również masy do korpusu wahadła dla różnych kalibrów; 50 funtów (22,7 kg) dla bocznego zapłonu do 0,22 Horneta , 90 funtów (40,9 kg) dla 0,222 Remington do 0,35 Whelen i 150 funtów (68,2 kg) dla kalibrów magnum. Wahadło jest wykonane z ciężkiej metalowej rury, zespawanej na jednym końcu i wypełnionej papierem i piaskiem, aby zatrzymać pocisk. Otwarty koniec wahadła został pokryty warstwą gumy, aby umożliwić pociskowi wejście i zapobiec wyciekaniu materiału.

Aby użyć wahadła, jest on wyposażony w urządzenie do pomiaru odległości w poziomie wahadła, takie jak lekki pręt, który byłby popychany do tyłu przez tył wahadła podczas ruchu. Strzelec siedzi co najmniej 15 stóp (5 m) od wahadła (co zmniejsza wpływ podmuchu wylotowego na wahadło), a kula jest wystrzeliwana do wahadła. Aby obliczyć prędkość pocisku przy odchyleniu poziomym, stosuje się następujący wzór:

${\ Displaystyle V = {\ Frac {MP} {MB}} 0.2018D}$

gdzie:

• ${\ Displaystyle V}$ to prędkość pocisku w stopach na sekundę
• ${\ Displaystyle MP}$ masa wahadła w ziarnach
• ${\displaystyle Mb}$ to masa pocisku w ziarnach
• ${\ Displaystyle D}$ pozioma droga wahadła, w calach

W celu dokładniejszych obliczeń wprowadza się szereg zmian, zarówno w konstrukcji, jak i zastosowaniu wahadła. Zmiany konstrukcyjne polegają na dodaniu małego pudełka na szczycie wahadła. Przed zważeniem wahadła, pudełko jest napełniane pewną liczbą pocisków mierzonego typu. Po każdym oddanym strzale kula może zostać wyjęta z pudełka, dzięki czemu masa wahadła jest stała. Zmiana pomiaru polega na pomiarze okresu wahadła. Wahadło porusza się, a liczba pełnych oscylacji jest mierzona przez długi czas, od pięciu do dziesięciu minut. Czas jest podzielony przez liczbę oscylacji w celu uzyskania okresu. Po wykonaniu tej czynności formuła generuje dokładniejszą stałą, która zastępuje wartość 0.2018 w powyższym równaniu. Podobnie jak powyżej, prędkość pocisku obliczana jest ze wzoru: ${\ Displaystyle C = {\ Frac {pi} {T12}}}$

${\ Displaystyle V = {\ Frac {MP} {MB}} CD}$

Bibliografia

Bibliografia

• Benjamin Robins, James Wilson, Charles Hutton (1805). Nowe zasady artylerii . F. Wingrave'a.
• „Wahadło balistyczne” . Encyklopedia Britannica

Linki zewnętrzne

• Kalkulator wahadła balistycznego
• Wahadło balistyczne zademonstrowane przez Waltera Lewina