Charakterystyczna podgrupa - Characteristic subgroup
W matematyce , szczególnie w obszarze algebry abstrakcyjnej znanej jako teoria grup , charakterystyczna podgrupa to podgrupa, która jest odwzorowana na siebie przez każdy automorfizm grupy macierzystej . Ponieważ każda mapa koniugacji jest wewnętrznym automorfizmem , każda charakterystyczna podgrupa jest normalna ; chociaż odwrotność nie jest gwarantowana. Przykładami charakterystycznych podgrup są podgrupa komutatora i środek grupy .
Definicja
Podgrupa H grupy G nazywane jest charakterystyczny podgrupy , jeśli dla każdego automorfizm cp z G , trzeba φ ( H ) ≤ H ; następnie napisz H char G .
To jest równoważne wymaga silniejszego stan cp ( H ) = H dla każdego automorfizm cp z G , ponieważ φ -1 ( H ) ≤ H oznacza odwrotne umieszczenie H ≤ φ ( H ) .
Podstawowe właściwości
Biorąc pod uwagę H char G , każdy automorfizm G indukuje automorfizm grupy ilorazowej G/H , która daje homomorfizm Aut( G ) → Aut( G / H ) .
Jeśli G ma unikalną podgrupę H o danym indeksie, to H jest charakterystyczne w G .
Pojęcia pokrewne
Podgrupa normalna
Podgrupa H, która jest niezmienna pod wszystkimi wewnętrznymi automorfizmami, nazywana jest normalną ; także niezmienna podgrupa.
- ∀φ ∈ Inn( G ): φ[ H ] ≤ H
Ponieważ Inn( G ) ⊆ Aut( G ) i charakterystyczna podgrupa są niezmienne pod wszystkimi automorfizmami, każda charakterystyczna podgrupa jest normalna. Jednak nie każda normalna podgrupa jest charakterystyczna. Oto kilka przykładów:
- Niech H będzie grupą nietrywialną i niech G będzie iloczynem bezpośrednim , H × H . Wtedy podgrupy {1} × H i H × {1} , obie są normalne, ale żadna nie jest charakterystyczna. W szczególności żadna z tych podgrup nie jest niezmienna przy automorfizmie ( x , y ) → ( y , x ) , który przełącza oba czynniki.
- Dla konkretnego przykładu, niech V będzie czterogrupą Kleina (która jest izomorficzna z iloczynem bezpośrednim, ℤ 2 × ℤ 2 ). Ponieważ ta grupa jest abelowa , każda podgrupa jest normalna; ale każda permutacja 3 elementów nie-tożsamości jest automorfizmem V , więc 3 podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne. Tutaj V = { e , a , b , ab } . Rozważ H = { e , a } i rozważ automorfizm, T( e ) = e , T( a ) = b , T( b ) = a , T( ab ) = ab ; wtedy T( H ) nie jest zawarte w H .
- W grupie kwaternionów rzędu 8 każda z cyklicznych podgrup rzędu 4 jest normalna, ale żadna z nich nie jest charakterystyczna. Jednak podgrupa {1, -1} jest charakterystyczna, ponieważ jest to jedyna podgrupa rzędu 2.
- Jeśli n jest parzyste, dwuścienna grupa rzędu 2 n ma 3 podgrupy o indeksie 2, z których wszystkie są normalne. Jednym z nich jest podgrupa cykliczna, która jest charakterystyczna. Pozostałe dwie podgrupy są dwuścienne; są one permutowane przez zewnętrzny automorfizm grupy macierzystej, a zatem nie są charakterystyczne.
Podgrupa ściśle charakterystyczna
ZA ściśle charakterystyczna podgrupa lub awyróżniona podgrupa , która jest niezmienna w przypadkuendomorfizmówsuriektywnych . W przypadkugrup skończonychsuriektywizm endomorfizmu implikuje wstrzykiwanie, więc surjektywny endomorfizm jest automorfizmem; zatem bycieściśle charakterystycznymjest równoznaczne zcharakterystyką. Nie dotyczy to już nieskończonych grup.
W pełni charakterystyczna podgrupa
Dla jeszcze silniejszego ograniczenia, w pełni charakterystyczna podgrupa (także podgrupa w pełni niezmienna ; por. podgrupa niezmienna), H , z grupy G , jest grupą pozostającą niezmienną pod każdym endomorfizmem G ; to jest,
- ∀φ ∈ Koniec ( G ): φ [ H ] ≤ H .
Każda grupa ma siebie (podgrupę niewłaściwą) i podgrupę trywialną jako dwie w pełni charakterystyczne podgrupy. Podgrupa komutator grupy zawsze jest całkowicie charakterystyczny podgrupy.
Każdy endomorfizm G indukuje endomorfizm G/H , co daje mapę End( G ) → End( G / H ) .
Podgrupa werbalna
Jeszcze silniejszym ograniczeniem jest podgrupa werbalna , która jest obrazem w pełni niezmiennej podgrupy wolnej grupy pod homomorfizmem. Ogólnie rzecz biorąc, każda podgrupa werbalna jest zawsze w pełni charakterystyczna. Dla każdej zredukowanej wolnej grupy , aw szczególności dla dowolnej wolnej grupy , zachodzi również odwrotność: każda w pełni charakterystyczna podgrupa jest werbalna.
Przechodniość
Własność bycia charakterystycznym lub w pełni charakterystycznym jest przechodnia ; jeśli H jest (w pełni) charakterystyczną podgrupą K , a K jest (w pełni) charakterystyczną podgrupą G , to H jest (w pełni) charakterystyczną podgrupą G .
- H char K char G ⇒ H char G .
Co więcej, chociaż normalność nie jest przechodnia, prawdą jest, że każda charakterystyczna podgrupa normalnej podgrupy jest normalna.
- H znak K ⊲ G ⇒ H ⊲ G
Podobnie, chociaż bycie ściśle charakterystycznym (wyróżnionym) nie jest przechodnie, prawdą jest, że każda w pełni charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna.
Jednak w przeciwieństwie do normalności, jeśli H char G i K jest podgrupą G zawierającą H , to ogólnie H niekoniecznie jest charakterystyczny w K .
- H znak G , H < K < G ⇏ H znak K
Zabezpieczenia
Każda podgrupa, która jest w pełni charakterystyczna, jest z pewnością ściśle charakterystyczna i charakterystyczna; ale charakterystyczna lub nawet ściśle charakterystyczna podgrupa nie musi być w pełni charakterystyczna.
Centrum grupy zawsze ściśle charakterystyczne podgrupy, ale nie zawsze jest w pełni charakterystyczne. Na przykład skończona grupa rzędu 12, Sym(3) × ℤ/2ℤ , ma homomorfizm przyjmujący ( π , y ) do ((1, 2) y , 0) , który przyjmuje centrum, 1 × ℤ/2ℤ , w podgrupę Sym(3) × 1 , która spotyka centrum tylko w tożsamości.
Związek między tymi właściwościami podgrup można wyrazić jako:
- Podgrupa ⇐ Podgrupa normalna ⇐ Podgrupa charakterystyczna ⇐ Podgrupa ściśle charakterystyczna ⇐ Podgrupa w pełni charakterystyczna ⇐ Podgrupa werbalna
Przykłady
Skończony przykład
Rozważmy grupę G = S 3 × ℤ 2 (grupa rzędu 12, która jest bezpośrednim produktem symetrycznej grupy rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum G jest izomorficzne z jego drugim czynnikiem ℤ 2 . Zauważ, że pierwszy czynnik, S 3 , zawiera podgrupy izomorficzne z ℤ 2 , na przykład {e, (12)} ; niech f : ℤ 2 → S 3 będzie odwzorowaniem morfizmu ℤ 2 na wskazaną podgrupę. Następnie złożenie rzutu G na jego drugi czynnik ℤ 2 , po którym następuje f , po którym następuje włączenie S 3 do G jako pierwszego czynnika, daje endomorfizm G, w ramach którego obraz centrum, ℤ 2 , jest nie zawiera się w centrum, więc tutaj centrum nie jest w pełni charakterystyczną podgrupą G .
Grupy cykliczne
Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.
Funktory podgrup
Podgrupa pochodzi (lub przełącznik podgrupy) w grupie, jest podgrupą werbalne. Podgrupa skręcenie o Abelowych grupy jest całkowicie niezmienna podgrupy.
Grupy topologiczne
Składnik identyczność z grupy topologicznej zawsze jest charakterystyczny podgrupy.