Stała Cheegera (teoria grafów) - Cheeger constant (graph theory)

W matematyce The stałe Cheeger (również Cheeger ilość lub ilość isoperimetric ) o wykresie jest liczbowa miara czy wykres ma „wąskiego gardła”. Stała Cheegera jako miara „wąskiego gardła” cieszy się dużym zainteresowaniem w wielu obszarach: na przykład przy budowie dobrze połączonych sieci komputerowych , tasowaniu kart . Wykres teoretyczny pojęcie pochodzi od Cheeger isoperimetric stałej o zwartej Riemanna kolektora .

Stała Cheegera została nazwana na cześć matematyka Jeffa Cheegera .

Definicja

Niech G będzie nieukierunkowanym grafem skończonym o zbiorze wierzchołków V ( G ) i zbiorze krawędzi E ( G ) . Dla odbioru wierzchołków ⊆ V ( G ) , pozwala ∂ oznaczają zbiór wszystkich krawędziach, począwszy od wierzchołka w A na zewnątrz wierzchołkowego A (czasami nazywany ograniczenie krawędzi z A )

${\ Displaystyle \ częściowe A: = \ {\ {x, y \} \ w E (G) \: \ x \ w A, Y \ w V (G) \ setminus A \}.}$

Zwróć uwagę, że krawędzie są nieuporządkowane, tj . Cheeger stałe z G , oznaczoną H ( G ) jest określona przez ${\ displaystyle \ {x, y \} = \ {y, x \}}$

${\ Displaystyle h (G): = \ min \ lewo \ {{\ Frac {| \ częściowe A |} {| A |}} \: \ A \ subseteq V (G), 0 <| A | \ równoważnik { \ tfrac {1} {2}} | V (G) | \ right \}.}$

Stała Cheegera jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy G jest połączonym wykresem . Intuicyjnie, jeśli stała Cheegera jest mała, ale dodatnia, wówczas istnieje „wąskie gardło” w tym sensie, że istnieją dwa „duże” zbiory wierzchołków z „kilkoma” połączeniami (krawędziami) między nimi. Stała Cheegera jest „duża”, jeśli jakikolwiek możliwy podział wierzchołków zestawu na dwa podzbiory ma „wiele” połączeń między tymi dwoma podzbiorami.

Przykład: sieć komputerowa

Układ sieci pierścieniowej

W zastosowaniach do informatyki teoretycznej chciałoby się opracować konfiguracje sieci, dla których stała Cheegera jest wysoka (przynajmniej od zera), nawet jeśli | V ( G ) | (liczba komputerów w sieci) jest duża.

Na przykład, należy rozważyć sieć o topologii pierścienia z N ≥ 3 komputerów, że jako wykres G _N . Ponumeruj komputery 1, 2, ..., N zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół pierścienia. Matematycznie zbiór wierzchołków i zbiór krawędzi są określone wzorem:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} V (G_ {N}) & = \ {1,2, \ cdots, N-1, N \} \\ E (G_ {N}) & = {\ duży \ { } \ {1,2 \}, \ {2,3 \}, \ cdots, \ {N-1, N \}, \ {N, 1 \} {\ big \}} \ end {aligned}}}$

Przyjmij A jako zbiór tych komputerów w połączonym łańcuchu: ${\ Displaystyle \ lewo \ lfloor {\ tfrac {N} {2}} \ prawo \ rfloor}$

${\ Displaystyle A = \ lewo \ {1,2, \ cdots, \ lewo \ lfloor {\ tfrac {N} {2}} \ prawo \ rfloor \ prawo \}.}$

Więc,

${\ Displaystyle \ częściowe A = \ lewo \ {\ lewo \ {\ lewo \ lfloor {\ tfrac {N} {2}} \ prawo \ rfloor, \ lewo \ lfloor {\ tfrac {N} {2}} \ prawo \ rfloor +1 \ right \}, \ {N, 1 \} \ right \},}$

i

${\ Displaystyle {\ Frac {| \ częściowe A |} {| A |}} = {\ Frac {2} {\ lewo \ lfloor {\ tfrac {N} {2}} \ prawo \ rfloor}} \ do 0 {\ mbox {as}} N \ do \ infty.}$

Ten przykład podaje górną granicę dla stałej Cheegera h ( G _N ) , która również dąży do zera jako N → ∞ . W konsekwencji uważalibyśmy sieć pierścieniową za wysoce „wąskie gardło” dla dużego N , co jest wysoce niepożądane w praktyce. Potrzebowalibyśmy tylko jednego z komputerów w pierścieniu, aby zawieść, a wydajność sieci zostałaby znacznie zmniejszona. Jeśli dwa nieprzylegające komputery ulegną awarii, sieć podzieli się na dwa odłączone komponenty.

Nierówności Cheegera

Stała Cheegera jest szczególnie ważna w kontekście wykresów ekspandera, ponieważ jest sposobem pomiaru rozszerzania krawędzi wykresu. Tak zwane nierówności Cheegera wiążą lukę wartości własnej wykresu z jego stałą Cheegera. Bardziej wyraźnie

${\ Displaystyle 2h (G) \ geq \ lambda \ geq {\ Frac {h ^ {2} (G)} {2 \ Delta (G)}}}$

w którym to stopień maksimum dla węzłów i jest widmową szczelina o Laplace'a matrycy wykresu. ${\ Displaystyle \ Delta (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ lambda}$

Zobacz też

• Łączność algebraiczna
• Związany z Cheegerem
• Przewodność (wykres)
• Łączność (teoria grafów)
• Wykres ekspandera

Bibliografia

• Donetti, L .; Neri, F. & Muñoz, M. (2006). „Optymalne topologie sieci: ekspandery, klatki, grafy Ramanujana, sieci splątane i tak dalej”. J. Stat. Mech . 2006 (08): P08007. arXiv : cond-mat / 0605565 . Bibcode : 2006JSMTE..08..007D . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2006/08 / P08007 .
• Lackenby, M. (2006). „Rozszczepienia Heegaarda, hipoteza praktycznie Hakena i własność (τ)”. Wymyślać. Matematyka . 164 (2): 317–359. arXiv : matematyka / 0205327 . Bibcode : 2006InMat.164..317L . doi : 10.1007 / s00222-005-0480-x .