Twierdzenie Chevalleya – Shepharda – Todda - Chevalley–Shephard–Todd theorem

W matematyce , twierdzenie Chevalley-Shephard-Todd w niezmiennego teorii z grup skończonych stanów, że pierścień niezmienników skończonej grupy działającej w skomplikowanej przestrzeni wektorowej jest pierścień wielomianów wtedy i tylko wtedy, gdy grupa jest generowany przez pseudoreflections . W przypadku podgrup złożonej ogólnej grupy liniowej twierdzenie to zostało po raz pierwszy udowodnione przez GC Shepharda i JA Todda  ( 1954 ), którzy przedstawili dowód osobno. Claude Chevalley  ( 1955 ) wkrótce potem dał jednolity dowód. Jean-Pierre Serre rozszerzył ją na skończone grupy liniowe na dowolnym polu w przypadku niemodułowym .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech V będzie skończoną przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech G będzie skończoną podgrupą ogólnej liniowej grupy GL ( V ). Element s od GL ( V ) nazywamy pseudoreflection jeśli naprawia codimension 1 podprzestrzeni V i nie jest transformacja tożsamości I , lub równoważnie, jeśli jądro Ker ( s - ja ) ma codimension jeden w V . Załóżmy, że kolejność G jest względnie pierwsze dla tej charakterystyka z K (tak zwane niemodularnego przypadku). Wtedy następujące właściwości są równoważne:

W przypadku, gdy pole K jest pole C o liczbach zespolonych , pierwszy stan jest zwykle określana jako „ G jest złożona grupa odbicia ”. Shephard i Todd opracowali pełną klasyfikację takich grup.

Przykłady

  • Niech V będzie jednowymiarowe. Wtedy każda skończona grupa wiernie działająca na V jest podgrupą multiplikatywnej grupy pola K , a więc grupą cykliczną . Wynika z tego, że G składa się z pierwiastków jedności rzędu dzielącego n , gdzie n jest jego rzędem, więc G jest generowane przez pseudoodbicia. W tym przypadku K [ V ] = K [ x ] jest pierścieniem wielomianu w jednej zmiennej, a algebra niezmienników G jest podalgebrą wygenerowaną przez x n , stąd jest to algebra wielomianowa.
  • Niech V = K n będzie standardową n- wymiarową przestrzenią wektorową, a G będzie symetryczną grupą S n działającą przez permutacje elementów standardowej bazy. Grupa symetryczny generowany przez transpozycji ( ij ), które działają na zasadzie odbicia w V . Z drugiej strony, zgodnie z głównym twierdzeniem funkcji symetrycznych , algebrą niezmienników jest algebra wielomianowa generowana przez elementarne funkcje symetryczne e 1 , ... e n .
  • Niech V = K 2 , a G jest grupa cykliczna o uporządkowaniu 2, działającego w zakresie ± I . W tym przypadku, G nie jest generowany przez pseudoreflections, ponieważ element nonidentity s o G działa bez stałych punktach, tak że słabe Ker ( y - I ) = 0. Na drugiej strony Algebra invarianty jest podalgebrą K [ V ] = K [ x , y ] generowane przez jednorodne elementy x 2 , xy i y 2 stopnia 2. Ta podalgebra nie jest algebrą wielomianową ze względu na relację x 2 y 2 = ( xy ) 2 .

Uogólnienia

Broer (2007) rozszerzył twierdzenie Chevalleya – Shepharda – Todda na charakterystykę pozytywną.

Wiele prac poświęcono kwestii, kiedy redukcyjna grupa algebraiczna działająca na przestrzeni wektorowej ma wielomianowy pierścień niezmienników. W przypadku, gdy grupa algebraiczna jest prosta, wszystkie przypadki, w których niezmienny pierścień jest wielomianem, zostały sklasyfikowane przez Schwarza (1978)

Ogólnie rzecz biorąc, pierścień niezmienników skończonej grupy działającej liniowo na złożonej przestrzeni wektorowej to Cohen-Macaulay , a więc jest to moduł o skończonym rzędzie nad podrzędem wielomianowym.

Uwagi

  1. ^ Patrz np .: Bourbaki, Lie , rozdz. V, §5, nº5, twierdzenie 4 o równoważności (A), (B) i (C); strona 26 z [1] dla równoważności (A) i (B ′); strony 6–18 z [2] Zarchiwizowane 2014-07-29 w Wayback Machine dla równoważności (C) i (C ′) [3] dla dowodu (B ′) ⇒ (A).

Bibliografia

  • Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématiques: Groupes et algèbres de Lie (Tłumaczenie angielskie: Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: Lie Groups and Lie Algebras )
  • Broer, Abraham (2007), O twierdzeniu Chevalleya-Shepharda-Todda w charakterystyce pozytywnej , [], arXiv : 0709.0715 , Bibcode : 2007arXiv0709.0715B
  • Chevalley, Claude (1955), „Niezmienniki grup skończonych generowanych przez refleksje”, Amer. J. Math. , 77 (4): 778–782, doi : 10.2307 / 2372597 , JSTOR   2372597 , S2CID   14952813 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link )
  • Neusel, Mara D .; Smith, Larry (2002), Niezmienna teoria grup skończonych , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN   978-0-8218-2916-5
  • Shephard, GC; Todd, JA (1954), „Skończone unitarne grupy refleksyjne”, Can. J. Math. , 6 : 274–304, doi : 10.4153 / CJM-1954-028-3
  • Schwarz, G. (1978), "Reprezentacje prostych grup Liego z regularnymi pierścieniami niezmienników", Invent. Matematyka. , 49 (2): 167–191, Bibcode : 1978InMat..49..167S , doi : 10.1007 / BF01403085
  • Smith, Larry (1997), "Wielomianowe niezmienniki grup skończonych. Przegląd ostatnich wydarzeń" , Bull. Amer. Matematyka. Soc. , 34 (3): 211–250, doi : 10.1090 / S0273-0979-97-00724-6 , MR   1433171
  • Springer, TA (1977), Invariant Theory , Springer, ISBN   978-0-387-08242-4