Odmiana algebraiczna - Algebraic variety

Rozmaitości algebraiczne są głównymi przedmiotami badań geometrii algebraicznej , dziedziny matematyki . Klasycznie algebraicznym odmiana jest określona jako zestaw roztworów o system równań wielomianowych ciągu rzeczywistych lub liczbach zespolonych . Współczesne definicje uogólniają tę koncepcję na kilka różnych sposobów, próbując jednocześnie zachować geometryczną intuicję stojącą za pierwotną definicją.

Konwencje dotyczące definicji rozmaitości algebraicznej nieco się różnią. Na przykład niektóre definicje wymagają, aby różnorodność algebraiczna była nieredukowalna, co oznacza, że ​​nie jest to suma dwóch mniejszych zbiorów, które są zamknięte w topologii Zariski . Zgodnie z tą definicją, nieredukowalne rozmaitości algebraiczne nazywane są zbiorami algebraicznymi . Inne konwencje nie wymagają nieredukowalności.

Podstawowym twierdzenie Algebra ustanawia połączenie pomiędzy Algebra i geometrii , pokazując, że monic wielomian (algebraiczną obiektu) jednej zmiennej przy złożonych współczynników ilość jest określona przez zestaw jego korzeni (geometryczny przedmiotu) na płaszczyźnie zespolonej . Uogólniając ten wynik, Hilbert's Nullstellensatz zapewnia podstawową zgodność między ideałami pierścieni wielomianowych i zbiorów algebraicznych. Korzystając z Nullstellensatz i powiązanych wyników, matematycy ustalili silny związek między pytaniami o zbiory algebraiczne a pytaniami z teorii pierścieni . Ta zgodność jest cechą definiującą geometrię algebraiczną.

Wiele rozmaitości algebraicznych to rozmaitości , ale rozmaitość algebraiczna może mieć punkty osobliwe, podczas gdy rozmaitość nie może. Odmiany algebraiczne można scharakteryzować poprzez ich wymiar . Odmiany algebraiczne wymiaru pierwszego nazywane są krzywymi algebraicznymi, a odmiany algebraiczne wymiaru drugiego nazywane są powierzchniami algebraicznymi .

W kontekście współczesnej teorii schematów , algebraiczna różnorodność na polu jest integralnym (nieredukowalnym i zredukowanym) schematem na tym polu, którego morfizm struktury jest wyodrębniony i ma skończony typ.

Przegląd i definicje

Rozmaitość liniowa nad ciało algebraicznie domknięte jest koncepcyjnie najprostszy typ odmiany do zdefiniowania, które zostaną wykonane w tej sekcji. Następnie w podobny sposób można zdefiniować odmiany rzutowe i quasi-projekcyjne. Najbardziej ogólną definicję odmiany uzyskuje się łącząc ze sobą mniejsze odmiany quasi-rzutowe. Nie jest oczywiste, że można w ten sposób skonstruować autentycznie nowe przykłady odmian, ale Nagata podała przykład takiej nowej odmiany w latach pięćdziesiątych XX wieku.

Odmiany afiniczne

Dla algebraicznie zamkniętym obszarze K i liczby naturalnej n , niech A, ⁿ jest afiniczne n -kosmiczna nad K . Wielomiany f w pierścieniu K [ x ₁ , ..., x _n ], może być postrzegana jako K -valued funkcji w A ⁿ oceniając F w punktach A, ⁿ , to znaczy poprzez wybranie wartości K dla każdego x _i . Dla każdego zbioru S wielomianów w K [ x ₁ , ..., x _n ] , zdefiniuj miejsce zerowe Z ( S ) jako zbiór punktów w A ^n, na których jednocześnie znikają funkcje w S , to znaczy mówić     

${\ Displaystyle Z (S) = \ lewo \ {x \ w \ mathbf {A} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ tekst {dla wszystkich}} f \ w S \ prawej \}.}$

Podzbiór V o A ⁿ jest nazywany afinicznej algebraiczna zestaw jeśli V = Z ( S ) dla niektórych S . Niepusty afiniczny zbiór algebraiczny V nazywany jest nieredukowalnym, jeśli nie można go zapisać jako sumę dwóch właściwych podzbiorów algebraicznych. Nieredukowalny afiniczny zbiór algebraiczny jest również nazywany odmianą afiniczną . (Wielu autorów używa wyrażenia zmienność afiniczna w odniesieniu do dowolnego zbioru algebraicznego afinicznego, nieredukowalnego lub nie)

Odmianom afinicznym można nadać naturalną topologię , deklarując, że zbiory zamknięte są dokładnie zestawami algebraicznymi afinicznymi. Ta topologia nazywana jest topologią Zariski.

Biorąc pod uwagę podzbiór V z A ⁿ , definiujemy I ( V ) jako ideał wszystkich funkcji wielomianowych znikających w V :

${\ Displaystyle I (V) = \ lewo \ {f \ in K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ mid f (x) = 0 {\ tekst {dla wszystkich}} x \ w V \dobrze\}.}$

Dla każdego zestawu algebraiczna afinicznej V The współrzędnych pierścień lub strukturę pierścieniową o V jest ilorazem wielomianu pierścieniu ideału.

Odmiany rzutowe i quasi-projekcyjne

Niech k będzie algebraicznie zamkniętym ciałem i niech P ⁿ będzie rzutową n- przestrzenią nad k . Niech f w k [ x ₀ , ..., x _n ] będzie jednorodnym wielomianem stopnia d . Nie jest dobrze zdefiniowana ocena f w punktach w P ⁿ we współrzędnych jednorodnych . Jednakże, ponieważ F jest jednorodny, to znaczy, że F   ( λx ₀ , ..., λx _n ) = λ ^d f   ( x ₀ , ..., x _n ) , to nie ma sensu pytanie, czy F zanika w punkcie [ x ₀  : ...: x _n ] . Dla każdego zbioru S jednorodnych wielomianów, zdefiniuj zero-locus S jako zbiór punktów w P ^n, na których znikają funkcje w S :           

${\ Displaystyle Z (S) = \ {x \ w \ mathbf {P} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ tekst {dla wszystkich}} f \ w S \}.}$

Podzbiór V z P ⁿ jest nazywany rzutowa algebraiczna zestaw jeśli V = Z ( S ) dla niektórych S . Nieredukowalny algebraiczny zbiór rzutowy nazywany jest różnorodnością rzutową .

Odmiany rzutowe są również wyposażone w topologię Zariskiego, deklarując, że wszystkie zbiory algebraiczne są zamknięte.

Biorąc podzbiór V z P ⁿ , niech I ( V ) są idealne wytworzonej przez wszystkie jednorodne wielomianów zanikających na V . Dla każdego rzutowej algebraicznej zestaw V The pierścień współrzędnych z V jest ilorazem wielomianu pierścieniu ideału.

Odmiany quasi rzutowe jest Zariski otwarty podzbiór rzutowej odmiany. Zauważ, że każda odmiana afiniczna jest quasi-projekcyjna. Zauważ również, że dopełnienie zbioru algebraicznego w odmianie afinicznej jest odmianą quasi-rzutową; W kontekście odmian afinicznych taka odmiana quasi-rzutowa zwykle nie jest nazywana odmianą, ale zbiorem dającym się skonstruować .

Odmiany abstrakcyjne

W klasycznej geometrii algebraicznej wszystkie odmiany były z definicji odmianami quasi-rzutowymi , co oznacza, że ​​były otwartymi podrodzajami zamkniętymi podrodzajami przestrzeni rzutowej . Na przykład w rozdziale 1 Hartshorne'a różnorodność na polu algebraicznie zamkniętym jest zdefiniowana jako odmiana quasi-rzutowa , ale od rozdziału 2 termin odmiana (nazywany również odmianą abstrakcyjną ) odnosi się do obiektu bardziej ogólnego, który lokalnie jest odmianą quasi-projekcyjną, ale postrzegana jako całość niekoniecznie jest quasi-projekcyjna; tj. może nie mieć osadzenia w przestrzeni projekcyjnej . Tak więc klasycznie definicja odmiany algebraicznej wymagała osadzenia w przestrzeni rzutowej, a to osadzenie zostało użyte do zdefiniowania topologii odmiany i regularnych funkcji odmiany. Wadą takiej definicji jest to, że nie wszystkie odmiany mają naturalne osadzenie w przestrzeni rzutowej. Na przykład, zgodnie z tą definicją, produkt P ¹ × P ¹ nie jest odmianą, dopóki nie zostanie osadzony w przestrzeni rzutowej; jest to zwykle wykonywane przez osadzanie Segre . Jednak każda odmiana, która dopuszcza osadzanie w przestrzeni projekcyjnej, dopuszcza wiele innych, komponując osadzanie z osadzaniem Veronese . W związku z tym wiele pojęć, które powinny być nieodłączne, takich jak koncepcja funkcji regularnej, nie jest w oczywisty sposób nimi.

Najwcześniejszą udaną próbę abstrakcyjnego zdefiniowania odmiany algebraicznej, bez osadzania, podjął André Weil . W swoich Podstawach geometrii algebraicznej Weil zdefiniował abstrakcyjną odmianę algebraiczną za pomocą wartościowań . Claude Chevalley sformułował definicję schematu , która służyła podobnemu celowi, ale była bardziej ogólna. Jednak definicja programu podana przez Alexandra Grothendiecka jest jeszcze bardziej ogólna i spotkała się z najbardziej powszechną akceptacją. W języku Grothendiecka abstrakcyjna różnorodność algebraiczna jest zwykle definiowana jako integralny , oddzielny schemat typu skończonego na algebraicznie zamkniętym polu, chociaż niektórzy autorzy odrzucają warunek nieredukowalności lub zredukowania lub oddzielności lub pozwalają, aby pole leżące u jego podstaw nie było algebraicznie zamknięte . Klasyczne rozmaitości algebraiczne są quasiprojektywnymi schematami typu skończonego całki rozdzielonej na algebraicznie zamkniętym polu.

Istnienie nie quasiprojektywnych abstrakcyjnych rozmaitości algebraicznych

Jeden z najwcześniejszych przykładów nie quasiprojektywnej odmiany algebraicznej został podany przez Nagatę. Przykład Nagaty nie był kompletny (analog zwartości), ale wkrótce potem znalazł powierzchnię algebraiczną, która była kompletna i nie rzutująca. Od tego czasu znaleziono inne przykłady.

Przykłady

Pododmiana

Subvariety jest podzbiorem odmiany, która jest sama w sobie wiele (w odniesieniu do konstrukcji indukowane z różnych otoczenia). Na przykład każdy otwarty podzbiór odmiany jest odmianą. Zobacz także zamknięte zanurzenie .

Hilbert's Nullstellensatz mówi, że zamknięte podgatunki odmiany afinicznej lub projekcyjnej są w relacji jeden do jednego z ideałami głównymi lub jednorodnymi ideałami głównymi pierścienia współrzędnych tej odmiany.

Odmiana afiniczna

Przykład 1

Niech k = C , a ² jest dwuwymiarową przestrzeń afiniczna nad C . Wielomiany w pierścieniu z C [ x , y ], mogą być traktowane jako złożone wartościach zespolonych w A ² poprzez ocenę w punktach A ² . Niech podzbiór S z C [ x , y ] zawiera pojedynczy element f   ( x , y ) :  

${\ Displaystyle f (x, y) = x + y-1.}$

Lokus zerowy f   ( x , y ) jest zbiorem punktów w A ^2, w których ta funkcja znika: jest to zbiór wszystkich par liczb zespolonych ( x , y ) takich, że y = 1 - x . Nazywa się to linią na płaszczyźnie afinicznej. (W klasycznej topologii wywodzącej się z topologii o liczbach zespolonych, linia zespolona jest rzeczywistą rozmaitością wymiaru drugiego). Oto zbiór Z (  f  ) :  

${\ Displaystyle Z (f) = \ {(x, 1-x) \ w \ mathbf {C} ^ {2} \}.}$

Zatem podzbiór V = Z (  f  ) z A ² jest algebraiczna zestaw . Zbiór V nie jest pusty. Jest nieredukowalna, ponieważ nie może być zapisana jako suma dwóch właściwych podzbiorów algebraicznych. Jest to więc afiniczna odmiana algebraiczna.

Przykład 2

Niech k = C , a ² jest dwuwymiarową przestrzeń afiniczna nad C . Wielomiany w pierścieniu z C [ x , y ], mogą być traktowane jako złożone wartościach zespolonych w A ² poprzez ocenę w punktach A ² . Niech podzbiór S z C [ x , y ] zawiera pojedynczy element g ( x , y ):

${\ Displaystyle g (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1.}$

Lokus zerowy g ( x , y ) jest zbiorem punktów w A ^2, w których ta funkcja znika, to znaczy zbiorem punktów ( x , y ) takich, że x ² + y ² = 1. Ponieważ g ( x , y ) jest absolutnie nieredukowalnym wielomianem, jest to odmiana algebraiczna. Zbiór jego rzeczywistych punktów (czyli punktów, dla których x i y są liczbami rzeczywistymi) nazywany jest okręgiem jednostkowym ; ta nazwa jest również często nadawana całej różnorodności.

Przykład 3

Poniższy przykład nie jest ani hiperpowierzchnią , ani przestrzenią liniową , ani pojedynczym punktem. Niech ³ być trójwymiarowa przestrzeń afiniczna nad C . Zbiór punktów ( x , x ² , x ³ ) dla X w C jest algebraiczna odmiany, a dokładniej algebraicznym krzywej, która nie jest zawarta w każdej płaszczyźnie. Jest to skręcony sześcienny pokazany na powyższym rysunku. Można to zdefiniować równaniami

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} yx ^ {2} & = 0 \\ zx ^ {3} & = 0 \ koniec {wyrównane}}}$

Nieredukowalność tego zbioru algebraicznego wymaga dowodu. Jednym podejściem w tym przypadku jest sprawdzenie, czy rzut ( x , y , z ) → ( x , y ) jest iniekcyjny na zbiór rozwiązań i że jego obraz jest nieredukowalną krzywą płaską.

W przypadku trudniejszych przykładów zawsze można podać podobny dowód, ale może to oznaczać trudne obliczenia: najpierw obliczenia na podstawie Gröbnera w celu obliczenia wymiaru, a następnie losowa liniowa zmiana zmiennych (nie zawsze wymagana); następnie obliczenia na podstawie Gröbnera dla innego jednomianu, aby obliczyć rzut i udowodnić, że jest on generalnie iniekcyjny i że jego obraz jest hiperpowierzchnią , a na koniec wielomianowy rozkład na czynniki, aby udowodnić nieredukowalność obrazu.

Odmiana projekcyjna

Rzutowe odmiana jest zamknięty subvariety z przestrzeni rzutowej. Oznacza to, że jest to punkt zerowy zbioru jednorodnych wielomianów, które generują pierwszy ideał .

Przykład 1

Płaska krzywa rzutowa jest miejscem zerowym nieredukowalnego jednorodnego wielomianu w trzech nieokreślonych. Linia rzutowa P ¹ jest przykładem krzywej rzutowej; można to postrzegać jako krzywą na płaszczyźnie rzutowej P ² = {[ x , y , z ] } zdefiniowaną przez x = 0 . W innym przykładzie rozważmy najpierw afiniczną krzywą sześcienną

${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x.}$

w dwuwymiarowej przestrzeni afinicznej (nad polem charakterystycznym nie dwójkowym). Ma powiązane równanie sześcienne jednorodne wielomianowe:

${\ Displaystyle y ^ {2} z = x ^ {3} -xz ^ {2},}$

który definiuje krzywą w P ² zwaną krzywą eliptyczną . Krzywa ma rodzaj pierwszy ( wzór rodzaju ); w szczególności nie jest izomorficzna z linią rzutową P ¹ , która ma rodzaj zero. Używanie rodzaju do rozróżniania krzywych jest bardzo proste: w rzeczywistości rodzaj jest pierwszym niezmiennikiem używanym do klasyfikowania krzywych (zobacz także konstrukcję modułów krzywych algebraicznych ).

Przykład 2

Niech V będzie skończoną wymiarową przestrzenią wektorową. Grassmannian odmiany G _n ( V ) stanowi zbiór wszystkich n -wymiarowej podprzestrzeni V . Jest to odmiana rzutowa: jest osadzona w przestrzeni projekcyjnej za pomocą osadzania Plückera :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} G_ {n} (V) \ hookrightarrow \ mathbf {P} \ lewo (\ klin ^ {n} V \ prawo) \\\ langle b_ {1}, \ ldots, b_ { n} \ rangle \ mapsto [b_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge b_ {n}] \ end {przypadki}}}$

gdzie b _i są każdy zestaw liniowo niezależnych wektorów w V , znajduje się na N -tego zewnętrzne zasilanie z V i wspornik [ W ] oznacza linię łączonych przez wektor niezerową wag . ${\ displaystyle \ wedge ^ {n} V}$

Odmiana Grassmannian zawiera naturalny wiązkę wektorów (lub lokalnie wolny snop w innej terminologii) zwany wiązką tautologiczną , co jest ważne w badaniu klas charakterystycznych, takich jak klasy Cherna .

Przykład nie-afiniczny i nie projekcyjny

Odmiana algebraiczna nie może być ani afiniczna, ani rzutowa. Dla przykładu, niech X = P ¹ × A ¹ i p : X → ^jeden występ. Jest to odmiana algebraiczna, ponieważ jest produktem różnorodności. Nie jest afiniczna, ponieważ P ¹ jest zamkniętą podrodzają X (jako zero locus p ), ale odmiana afiniczna nie może zawierać odmiany rzutowej o dodatnim wymiarze jako zamknięta podrodzaj. Nie jest również rzutująca, ponieważ na X występuje niestała funkcja regularna ; mianowicie, s .

Innym przykładem jest brak różnorodności afinicznej nie rzutowej jest X = ² - (0, 0), (por morfizmem odmian § przykładach ).

Podstawowe wyniki

• Afiniczny zbiór algebraiczny V jest różnorodnością wtedy i tylko wtedy , gdy I ( V ) jest pierwszym ideałem ; równoważnie, V jest odmianą wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierścień koordynacyjny jest domeną integralną .
• Każdy niepusty afiniczny zbiór algebraiczny może być zapisany jako skończona suma rozmaitości algebraicznych (gdzie żadna z rozmaitości w rozkładzie nie jest podrodzajem żadnej innej).
• Wymiar odmiany może być zdefiniowana w różnych równoważnych sposobów. Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz Wymiar odmiany algebraicznej .
• Iloczyn skończenie wielu rozmaitości algebraicznych (po algebraicznie zamkniętym polu) jest rozmaitością algebraiczną.

Izomorfizm rozmaitości algebraicznych

Niech V ₁ , V ₂ będą rozmaitościami algebraicznymi. Mówimy, że V ₁ i V ₂ są izomorficzne i napiszemy V ₁ ≅ V ₂ , jeśli istnieją regularne mapy φ  : V ₁ → V ₂ i ψ  : V ₂ → V ₁ takie, że kompozycje ψ ∘ φ i φ ∘ ψ są tożsamość odwzorowuje na V ₁ i V ₂ odpowiednio.

Dyskusja i uogólnienia

Podstawowe definicje i fakty opisane powyżej pozwalają na klasyczną geometrię algebraiczną. Aby móc zrobić więcej - na przykład radzić sobie z odmianami w ciałach, które nie są algebraicznie zamknięte - potrzebne są pewne fundamentalne zmiany. Współczesne pojęcie odmiany jest znacznie bardziej abstrakcyjne niż to powyżej, chociaż równoważne w przypadku odmian nad ciałami zamkniętymi algebraicznie. Streszczenie algebraiczne odmiana jest szczególnym rodzajem programu; uogólnienie schematów po stronie geometrycznej umożliwia rozszerzenie opisanej powyżej korespondencji na szerszą klasę pierścieni. Schemat jest przestrzenią lokalnie pierścieniową , w której każdy punkt ma sąsiedztwo, które jako przestrzeń lokalnie pierścieniowa jest izomorficzne z widmem pierścienia . Zasadniczo, odmiana nad k jest programem, którego struktura snop to snop od k -algebras z własności, że pierścienie R , które występują powyżej są wszystkie dziedzina całkowitości i są skończenie generowanych k -algebras, to znaczy, są ilorazy z wielomianu algebr przez ideał pierwszy .

Ta definicja działa dla każdego pola k . Pozwala na klejenie odmian afinicznych (wzdłuż zwykłych otwartych zestawów) bez obawy, czy wynikowy obiekt można umieścić w jakiejś przestrzeni rzutowej. Prowadzi to również do trudności, ponieważ można wprowadzić obiekty nieco patologiczne, np. Linię afiniczną z podwojoną liczbą zerową. Takie obiekty zwykle nie są uważane za odmiany i są eliminowane poprzez wymóg oddzielenia schematów leżących u podstaw odmiany . (Ściśle mówiąc, istnieje również trzeci warunek, a mianowicie, że w powyższej definicji potrzeba tylko skończenie wielu łat afinicznych).

Niektórzy współcześni badacze usuwają również ograniczenie dla odmiany posiadającej integralne wykresy afiniczne w domenie , a mówiąc o odmianach, wymagają tylko, aby wykresy afiniczne miały trywialne wartości zerowe .

Pełna odmiana jest wiele takich, że każda z otwartym Mapa podzbiór nieosobliwej krzywej do niego może być rozszerzony jednoznacznie całej krzywej. Każda odmiana projekcyjna jest kompletna, ale nie odwrotnie.

Odmiany te nazwano „odmianami w sensie Serre”, ponieważ dla nich napisano podstawowy artykuł Serre FAC o kohomologii snopów . Pozostają typowymi obiektami do rozpoczęcia studiowania geometrii algebraicznej, nawet jeśli bardziej ogólne obiekty są również używane w sposób pomocniczy.

Jednym ze sposobów, który prowadzi do uogólnień, jest dopuszczenie redukowalnych zbiorów algebraicznych (i ciał k , które nie są algebraicznie zamknięte), więc pierścienie R mogą nie być domenami całkowitymi. Bardziej istotne zmiany jest umożliwienie nilpotents w wiązce pierścieni, to znaczy pierścieni, które nie są zmniejszone . Jest to jedno z kilku uogólnień klasycznej geometrii algebraicznej, które są wbudowane w teorię schematów Grothendiecka .

Dopuszczenie elementów zerowych w pierścieniach wiąże się ze śledzeniem „wielokrotności” w geometrii algebraicznej. Na przykład zamknięty podschemat linii afinicznej zdefiniowanej przez x ² = 0 różni się od podschematu zdefiniowanego przez x = 0 (początek). Mówiąc bardziej ogólnie, włókno morfizmu schematów X → Y w punkcie Y może być nieredukowane, nawet jeśli X i Y są zredukowane. Z geometrycznego punktu widzenia oznacza to, że włókna dobrego odwzorowania mogą mieć nietrywialną, „nieskończenie małą” strukturę.

Istnieją dalsze uogólnienia zwane przestrzeniami algebraicznymi i stosami .

Rozmaitości algebraiczne

Rozmaitość algebraiczna jest rozmaitością algebraiczną, która jest również rozmaitością m- wymiarową, a zatem każda wystarczająco mała lokalna łata jest izomorficzna do k ^m . Równocześnie odmiana jest gładka (bez pojedynczych punktów). Kiedy k jest liczbami rzeczywistymi, R , rozmaitości algebraiczne nazywane są rozmaitościami Nasha . Rozmaitości algebraiczne można zdefiniować jako zbiór zerowy skończonego zbioru analitycznych funkcji algebraicznych. Rozmaitości algebraiczne rzutowe są równoważną definicją rozmaitości rzutowych. Sfera Riemanna jest jednym z przykładów.

Zobacz też

• Różnorodność (ujednoznacznienie) - wymienia również kilka znaczeń matematycznych
• Ciało funkcyjne odmiany algebraicznej
• Biracyjna geometria
• Odmiana abelowa
• Motyw (geometria algebraiczna)
• Odmiana analityczna
• Przestrzeń Zariskiego-Riemanna
• Zbiór półalgebraiczny

Przypisy

Bibliografia

Ten artykuł zawiera materiał z Isomorphism of varences na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution / Share-Alike License .