Domena integralna — Integral domain

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścionki • Podringi • Idealny • Pierścień ilorazu • Ułamkowy ideał • Całkowity pierścień ilorazowy • Pierścień produktu • Dowolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieni • Jądro • Wewnętrzny automorfizm • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścień stopniowany • Pierścień indukcyjny • Kategoria pierścieni • Pierwotny dzwonek ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień nieskojarzony • Pierścień do kłamstw • Pierścień Jordana • Semiring • Półpola
Algebra przemienności Pierścienie przemienne • Domena integralna • Integralnie zamknięta domena • Domena GCD • Unikalna domena faktoryzacji • Główna idealna domena • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Teoria liczb algebraicznych • Pole liczb algebraicznych • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p – teoria liczb adic i ułamki dziesiętne • Granica bezpośrednia / Granica odwrotna • Pierścień zerowy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - p koło pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Podstawa - p liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adyczne wymierniki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Podstawa - p liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p- adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • elektromagnes p- adyczny ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Nieprzemienne pierścienie • Pierścień podziałowy • Półprymitywny pierścień • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Dowolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v T mi

W matematyce , a konkretnie algebrze abstrakcyjnej , domena całkowa jest niezerowym pierścieniem przemiennym, w którym iloczyn dowolnych dwóch niezerowych elementów jest niezerowy. Domeny całkowe są uogólnieniami pierścienia liczb całkowitych i stanowią naturalne miejsce do badania podzielności . W domenie integralnej każdy niezerowy element a ma właściwość anulowania , to znaczy, jeśli a ≠ 0 , równość ab = ac implikuje b = c .

„Domena integralna” jest zdefiniowana niemal powszechnie jak powyżej, ale istnieje pewna zmienność. Ten artykuł jest zgodny z konwencją, że pierścienie mają tożsamość multiplikatywną , ogólnie oznaczaną jako 1, ale niektórzy autorzy tego nie przestrzegają, nie wymagając, aby domeny integralne miały tożsamość multiplikatywną. Czasami dopuszcza się nieprzemienne domeny całkowe. Ten artykuł jest jednak zgodny ze znacznie bardziej powszechną konwencją zastrzegania terminu „dziedzina całkowa” dla przypadku przemiennego i używania „ domeny ” dla przypadku ogólnego obejmującego pierścienie nieprzemienne.

Niektóre źródła, w szczególności Lang , używają terminu cały pierścień dla domeny integralnej.

Niektóre specyficzne rodzaje domen integralnych są podane z następującym łańcuchem wtrąceń klas :

rngs ⊃ pierścienie ⊃ pierścienie przemienne ⊃ integralne domeny ⊃ integralnie zamknięte domen ⊃ domen GCD ⊃ unikalnych domen faktoryzacji ⊃ podstawowych obszarów idealne ⊃ euklidesowa Domains ⊃ pola ⊃ algebraicznie zamknięte pola

Struktury algebraiczne
Grupa -like Grupa Półgrupa  / Monoid Stojak i kwantowa Quasigrupa i pętla Grupa abelowa Magma Grupa kłamstw Teoria grup
pierścień -like Dzwonić Rng Semiring Blisko pierścienia Pierścień przemienny Domena integralna Pole Pierścień dywizji Teoria pierścieni
Krata -like Krata Semisiatka Uzupełniona krata Całkowite zamówienie Algebra Heyting Algebra Boole'a Mapa krat Teoria sieci
Moduł podobny Moduł Grupuj z operatorami Przestrzeń wektorowa Algebra liniowa
Algebra -like Algebra Asocjacyjny Nieskojarzone Algebra kompozycji Algebra kłamstwa Ocenione Bialgebra
v T mi

Definicja

Integralną domeny jest niezerowe przemienne pierścień , w którym produkt z dwoma niezerowych elementów jest różna od zera. Równoważnie:

• Domena integralna to niezerowy pierścień przemienny bez niezerowych dzielników zera .
• Domena integralna to pierścień przemienny, w którym ideał zerowy {0} jest ideałem pierwszym .
• Domena integralna jest niezerowym pierścieniem przemiennym, dla którego każdy niezerowy element jest usuwalny podczas mnożenia.
• Domena integralna to pierścień, dla którego zbiór niezerowych elementów jest przemiennym monoidem przy mnożeniu (ponieważ podczas mnożenia monoid musi być zamknięty ).
• Domena całkowa to niezerowy pierścień przemienny, w którym dla każdego niezerowego elementu r funkcja odwzorowująca każdy element x pierścienia na iloczyn xr jest iniektywna . Elementy r z tą właściwością są nazywane regular , więc równoważne jest wymaganie, aby każdy niezerowy element pierścienia był regularny.
• Integralną domeny to pierścień, który jest izomorficzny do podpierścień z pola . (Mając domenę integralną, można ją osadzić w jej polu ułamków .)

Przykłady

• Archetypowym przykładem jest pierścień wszystkich liczb całkowitych .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Każde pole jest integralną domeną. Na przykład pole wszystkich liczb rzeczywistych jest dziedziną integralną. I odwrotnie, każda integralna domena artyńska jest polem. W szczególności, wszystkie skończone dziedziny całkowe są ciałami skończonymi (ogólniej, według małego twierdzenia Wedderburna , dziedziny skończone są ciałami skończonymi ). Pierścień liczb całkowitych stanowi przykład nie-artyńskiej nieskończonej domeny integralnej, która nie jest polem, posiadającej nieskończone malejące sekwencje ideałów, takie jak:${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ przesunięty 2 \ mathbb {Z} \ przesunięty \ cdots \ przesunięty 2 ^ {n} \ mathbb {Z} \ przesunięty 2 ^ {n + 1} \ mathbb {Z} \ niespokojny \ cdots }$

• Pierścienie wielomianów są domenami całkowitymi, jeśli współczynniki pochodzą z dziedziny integralnej. Na przykład pierścień wszystkich wielomianów w jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych jest domeną całkową; taki jest pierścień wszystkich wielomianów w n -zmiennych o zespolonych współczynnikach.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

• Poprzedni przykład można dalej wykorzystać, biorąc iloraz z ideałów pierwszych. Na przykład pierścień odpowiadający płaskiej krzywej eliptycznej jest domeną integralną. Integralność można sprawdzić, pokazując to wielomian nierozkładalny .${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (y ^ {2}-x (x-1) (x-2))}$${\ Displaystyle y ^ {2}-x (x-1) (x-2)}$

• Pierścień jest integralną domeną dla dowolnej niekwadratowej liczby całkowitej . Jeśli , to ten pierścień jest zawsze podpierścieniem , w przeciwnym razie jest podpierścieniem${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n) \ cong \ mathbb {Z} [{\ sqrt {n}}]}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle n>0}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

• Pierścień p-adycznych liczb całkowitych jest domeną integralną.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

• Jeśli jest połączony otwarty podzbiór w złożonej płaszczyźnie , a pierścień obejmujący wszystkie funkcje holomorficznymi jest integralną domeny. To samo dotyczy pierścieni funkcji analitycznych na połączonych otwartych podzbiorach rozmaitości analitycznych .${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}} (U)}$

• Regularny pierścień lokalny jest integralną domeny. W rzeczywistości zwykły pierścień lokalny to UFD .

Nieprzykłady

Następujące pierścienie nie są domenami integralnymi.

• Zera pierścień (w którym pierścień ).${\displaystyle 0=1}$

• Pierścień iloraz gdy m jest liczbą złożoną . Rzeczywiście, wybierz odpowiednią faktoryzację (co oznacza, że i nie są równe lub ). Wtedy i , ale .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}$${\displaystyle m=xy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle x \ nie \ równoważne 0 {\ bmod {m}}}$${\ Displaystyle y \ nie \ równoważne 0 {\ bmod {m}}}$${\ Displaystyle xy \ równoważnik 0 {\ bmod {m}}}$

• Produkt dwóch niezerowych pierścień przemienny. W takim produkcie trzeba .${\ Displaystyle R \ razy S}$${\ Displaystyle (1,0) \ cdot (0,1) = (0,0)}$

• Pierścień iloraz dla każdego . Obrazy i są niezerowe, podczas gdy ich iloczyn wynosi 0 w tym pierścieniu.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x] / (x ^ {2}-n ^ {2})}$${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {Z}}$${\displaystyle x+n}$${\displaystyle xn}$

• Pierścień z n x n macierzy w dowolnym pierścieniu niezerową gdy n ≥ 2. Jeżeli i są matryce, tak że obraz jest zawarty w jądro , a następnie . Na przykład dzieje się tak w przypadku .${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle MN = 0}$${\ Displaystyle M = N = ({\ zacznij {mała matryca} 0 i 1 \ \ 0 i 0 \ koniec {mała matryca}})}$

• Pierścień ilorazowy dla dowolnego pola i dowolnych wielomianów niestałych . Obrazy f i g w tym pierścieniu ilorazu są niezerowymi elementami, których iloczyn wynosi 0. Ten argument pokazuje, równoważnie, że nie jest to ideał pierwszy . Geometryczna interpretacja wyników jest to, że zer z fg tworzą afinicznej algebraiczną zestawu , który nie jest nierozkładalny (to znaczy, nie jest algebraiczna odmiany ) w ogóle. Jedynym przypadkiem, w którym ten zbiór algebraiczny może być nierozkładalny, jest sytuacja, w której fg jest potęgą wielomianu nierozkładalnego , który definiuje ten sam zbiór algebraiczny.${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / (fg)}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle f, g \ w k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle (fg)}$

• Pierścień funkcji ciągłych na interwale jednostkowym . Rozważ funkcje

${\ Displaystyle f (x) = {\ zacząć {przypadki} 1-2 x i x \ w \ lewo [0, {\ tfrac {1} {2}} \ po prawej] \ \ 0 i x \ w \ lewo [ {\ tfrac {1 }{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right] \\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Ani ani nie jest wszędzie zero, ale jest.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$

• Produkt tensor . Pierścień ten ma dwa nieoczywiste idempotents , i . Są ortogonalne, co oznacza, że , a zatem nie są domeną. W rzeczywistości istnieje izomorfizm określony przez . Jego odwrotność jest określona przez . Ten przykład pokazuje, że produkt błonnikowy o nieredukowalnych schematach afinicznych nie musi być nieredukowalny.${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle e_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} (1 \ czasami 1) - {\ tfrac {1} {2}} (i \ czasami i)}$${\ Displaystyle e_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} (1 \ czasami 1) + {\ tfrac {1} {2}} (i \ czasami i)}$${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ razy \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle (z, w) \ mapsto z \ cdot e_ {1} + w \ cdot e_ {2}}$${\ Displaystyle z \ otimes w \ mapsto (zw, z {\ overline {w}})}$

Podzielność, pierwiastki pierwsze i pierwiastki nieredukowalne

W tej sekcji R jest domeną integralną.

Biorąc pod uwagę elementy do i B z R , mówi się, że dzieli b , albo że jest dzielnikiem z B , albo że b jest wielokrotnością od jeśli istnieje element X w R w taki sposób, ax = b .

Do urządzenia z R są elementy, które dzielą 1; są to dokładnie elementy odwracalne w R . Jednostki dzielą wszystkie inne elementy.

Jeśli dla dzieli B and B dzieli się a , następnie i b są odpowiednimi elementami i współpracowników . Równoważnie i b są współpracownicy, jeśli A = ub jakiegoś urządzenia u .

Element nieredukowalny to niezerowa niejednostka, której nie można zapisać jako iloczyn dwóch niejednostek.

Niezerowa niejednostka p jest elementem pierwszym, jeśli za każdym razem, gdy p dzieli iloczyn ab , wtedy p dzieli a lub p dzieli b . Równoważnie element p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy ideał główny ( p ) jest niezerowym ideałem pierwszym.

Oba pojęcia pierwiastków nieredukowalnych i pierwiastków pierwszych uogólniają zwykłą definicję liczb pierwszych w pierścieniu, jeśli za pierwsze uważa się ujemne liczby pierwsze. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ,}$

Każdy pierwiastek pierwotny jest nieredukowalny. Odwrotność nie jest generalnie prawdą: na przykład w kwadratowym pierścieniu liczb całkowitych element 3 jest nieredukowalny (jeśli jest rozkładany na czynniki nietrywialnie, każdy z czynników musiałby mieć normę 3, ale nie ma elementów normy 3, ponieważ nie ma rozwiązań liczb całkowitych) , ale nie pierwsza (ponieważ 3 dzieli bez dzielenia żadnego czynnika). W unikalnej domenie faktoryzacji (lub bardziej ogólnie, domenie GCD ), element nieredukowalny jest elementem pierwszym. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ lewo [{\ sqrt {-5}} \ prawo]}$${\ Displaystyle a ^ {2} + 5b ^ {2} = 3}$${\ Displaystyle \ lewo (2 + {\ sqrt {-5}} \ po prawej) \ po lewej (2 {\ sqrt {-5}} \ po prawej)}$

Podczas gdy unikalna faktoryzacja nie obowiązuje , istnieje unikalna faktoryzacja ideałów . Zobacz twierdzenie Laskera-Noetha . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ lewo [{\ sqrt {-5}} \ prawo]}$

Nieruchomości

• Pierścień przemienny R jest dziedziną integralną wtedy i tylko wtedy, gdy ideał (0) z R jest ideałem pierwszym.
• Jeśli R jest pierścieniem przemiennym, a P jest ideałem w R , to pierścień ilorazowy R/P jest dziedziną integralną wtedy i tylko wtedy, gdy P jest ideałem pierwszym .
• Niech R będzie domeną całkową. Wtedy pierścienie wielomianowe nad R (w dowolnej liczbie nieokreślonych) są domenami całkowitymi. Dotyczy to w szczególności przypadku, gdy R jest polem .
• Własność anulowania obowiązuje w dowolnej domenie integralnej: dla dowolnego a , b i c w domenie integralnej, jeśli a ≠ 0 i ab = ac to b = c . Innym sposobem na stwierdzenie tego jest to, że funkcja x ↦ ax jest iniektywna dla dowolnej niezerowej a w domenie.
• Właściwości usuwania posiada na idei w integralnej domenie: jeśli xI = Xj , wówczas x wynosi zero lub I = J .
• Domena integralna jest równa przecięciu jej lokalizacji w maksymalnych ideałach.
• Indukcyjny granica integralnych domen jest integralną domeny.
• Jeśli są domenami całkowymi nad ciałem algebraicznie domkniętym k , to jest dziedziną całkową. Jest to konsekwencja nullstellensatz Hilberta , aw geometrii algebraicznej implikuje stwierdzenie, że pierścień współrzędnych produktu dwóch afinicznych rozmaitości algebraicznych nad ciałem algebraicznie domkniętym jest znowu dziedziną integralną.${\ Displaystyle A, B}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {k} B}$

Pole ułamków

Pole frakcji K integralnego domeny R jest zestawem frakcji do / b z i B w R i B ≠ 0 modulo odpowiedni stosunek równoważności, wyposażonym w zwykły dodawania i mnożenia operacji. Jest to „najmniejsze pole zawierające R  ” w tym sensie, że istnieje iniekcyjny homomorfizm pierścienia R → K taki, że każdy iniekcyjny homomorfizm pierścienia od R do pola rozkłada się przez K . Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych jest ciałem liczb wymiernych Ciało ułamków ciała jest izomorficzne z samym ciałem. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$

Geometria algebraiczna

Domeny całkowe charakteryzują się tym, że są zredukowane (tzn. x ² = 0 implikuje x = 0) i nieredukowalne (tzn. istnieje tylko jeden minimalny ideał pierwszy ). Pierwszy warunek zapewnia, że zerorodnik pierścienia wynosi zero, tak że przecięcie wszystkich minimalnych liczb pierwszych pierścienia wynosi zero. Drugim warunkiem jest to, że pierścień ma tylko jedną minimalną liczbę pierwszą. Wynika z tego, że unikalny minimalny ideał pierwszy zredukowanego i nieredukowalnego pierścienia jest ideałem zerowym, więc takie pierścienie są domenami integralnymi. Odwrotność jest jasna: domena integralna nie ma niezerowych elementów nilpotentnych, a ideał zerowy jest unikalnym minimalnym ideałem pierwszym.

Przekłada się to na geometrii algebraicznej , na tym, że pierścień współrzędnych o afinicznej algebraicznej zestawu integralną domeny, wtedy i tylko wtedy, gdy zestaw algebraiczna jest algebraiczna odmiany .

Mówiąc bardziej ogólnie, pierścień przemienny jest domeną integralną wtedy i tylko wtedy, gdy jego widmo jest integralnym schematem afinicznym .

Charakterystyka i homomorfizmy

Charakterystyczny integralnego domena jest albo 0 albo liczbą pierwszą .

Jeśli R stanowi integralną domena doskonałej charakterystyki P , wówczas endomorfizm frobeniusa f ( x ) = x ^P to za pomocą wstrzyknięć .

Zobacz też

• Norma Dedekinda-Hasse – dodatkowa struktura potrzebna, aby integralna domena była zasadnicza
• Właściwość zerowego produktu

Uwagi

Bibliografia

• Adamson, Iain T. (1972). Pierścienie i moduły elementarne . Uniwersyteckie teksty matematyczne. Olivera i Boyda. Numer ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Mikołaj (1998). Algebra, rozdziały 1-3 . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-64243-5.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra . Nowy Jork: Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. MR  0214415 .
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstrakcyjna Algebra (3rd ed.). Nowy Jork: Wiley . Numer ISBN 978-0-471-43334-7.
• Hungerford, Thomas W. (2013). Abstrakcyjna Algebra: Wprowadzenie (3rd ed.). Nauka Cengage. Numer ISBN 978-1-111-56962-4.
• Lang, Serge (2002). Algebra . Teksty magisterskie z matematyki. 211 . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-95385-4. MR  1878556 .
• Sharpe, David (1987). Pierścienie i faktoryzacja . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 0-521-33718-6.
• Rowen, Louis Halle (1994). Algebra: grupy, pierścienie i pola . AK Petersa . Numer ISBN 1-56881-028-8.
• Lanski, Karol (2005). Pojęcia w algebrze abstrakcyjnej . Księgarnia AMS. Numer ISBN 0-534-42323-X.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Wprowadzenie do kręgów grupowych . Skoczek. Numer ISBN 1-4020-0238-6.
• BL van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.

Zewnętrzne linki

• „skąd pochodzi termin „domena integralna”?” .