Plac sprzeciwu - Square of opposition

* Plac sprzeciwu. * Małe litery (a, e, i, o) są używane zamiast wielkich (A, E, I, O) w celu wizualnego odróżnienia od otaczających je wielkich liter S (Termin tematu) i P (Termin predykatu). * Na diagramach Venna czarne obszary są puste, a czerwone nie są puste . Białe obszary mogą być puste lub nie. * Wyblakłe strzałki i wyblakłe czerwone obszary mają zastosowanie w tradycyjnej logice, zakładając istnienie rzeczy określonych jako S (lub rzeczy spełniających stwierdzenie S we współczesnej logice). We współczesnej logice nie zakłada się tego, więc te wyblakłe nie utrzymują się. (We współczesnej logice nie może być żadnego elementu w wyblakłych czerwonych obszarach).

Wizerunek z XV wieku

W logice terminowej (gałąź logiki filozoficznej ) kwadrat opozycji jest diagramem przedstawiającym relacje między czterema podstawowymi zdaniami kategorycznymi . Pochodzenie kwadratu można prześledzić od Arystotelesa, który rozróżniał dwie opozycje: sprzeczność i przeciwieństwo . Jednak Arystoteles nie narysował żadnego diagramu. Dokonali tego kilka wieków później Apulejusz i Boecjusz .

Streszczenie

W logice tradycyjnej zdanie (łac. propositio ) jest twierdzeniem mówionym ( oratio enunciativa ), a nie znaczeniem twierdzenia, jak we współczesnej filozofii języka i logiki. Kategoryczne propozycja jest prosta propozycja zawierający dwa terminy, z zastrzeżeniem (S) i orzeczenie (P), w którym jest albo orzeczenie wniesionych lub odmówiono przedmiotu.

Każdy kategoryczne propozycja może być zmniejszona do jednej z czterech form logiczne , o nazwie , E , I i O na podstawie łacińskiego FF i RMO (Afirmuję), do pozytywnych tez A i I , a n e g o (I zaprzeczyć), dla zdań negatywnych E i O . To są:

• Zdanie „A”, uniwersalne twierdzenie ( universalis affirmativa ), którego forma po łacinie to „omne S est P”, zwykle tłumaczone jako „każde S jest P”.
• Propozycja 'E', uniwersalny przeczenie ( universalis negativa ), łacińska forma 'nullum S est P', zwykle tłumaczona jako 'nie S to P'.
• Propozycja „ja”, szczególna afirmatywna ( specificis affirmativa ), po łacinie „quoddam S est P”, zwykle tłumaczona jako „niektóre S to P”.
• Zdanie 'O', szczególny przeczenie ( specificis negativa ), łacińskie 'quoddam S nōn est P', zwykle tłumaczone jako 'niektóre S nie są P'.

W formie tabelarycznej:

Cztery twierdzenia arystotelesowskie

Nazwa	Symbol	łacina	Język angielski*	Mnemoniczny	Nowoczesna forma
Uniwersalna twierdząca	A	Omne S est P.	Każde S to P. (S to zawsze P.)	ffirmo (Afirmuję)	${\ Displaystyle \ forall x (Sx \ rightarrow Px)}$
Uniwersalny negatyw	mi	Nullum S est P.	Brak S to P. (S nigdy nie jest P.)	n e przejść (i odmowa)	${\ Displaystyle \ forall x (Sx \ rightarrow \ neg Px)}$
Szczególnie twierdząco	i	Quoddam S est P.	Niektóre S to P. (S to czasami P.)	aff i rmo (potwierdzam)	${\ Displaystyle \ istnieje x (Sx \ land Px)}$
Szczególnie negatywny	O	Quoddam S nōn est P.	Niektóre S to nie P. (S nie zawsze jest P.)	uj O (I odmowa)	${\ Displaystyle \ istnieje x (Sx \ ziemia \ neg Px)}$

* Propozycja „A” może być sformułowana jako „Wszystkie S to P”. Jednak zdanie 'E', gdy jest odpowiednio określone jako "Wszystkie S to nie P". jest niejednoznaczny, ponieważ może być zdaniem E lub O, a zatem wymaga kontekstu do określenia formy; standardowy formularz „No S to P” jest jednoznaczny, dlatego jest preferowany. Zdanie 'O' przybiera również formę "Czasami S to nie P". oraz „Pewne S to nie P”. (dosłownie łacińskie „Quoddam S nōn est P.”)

** w nowoczesnych formach oznacza, że na przedmiocie obowiązuje oświadczenie . W wielu przypadkach można go po prostu zinterpretować jako „ jest ”. można również zapisać jako . ${\ Displaystyle Sx}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle Sx}$${\ Displaystyle S (x)}$

Arystoteles stwierdza (w rozdziałach szóstym i siódmym Peri hermēneias (Περὶ Ἑρμηνείας, łac. De Interpretatione , angielskie „O interpretacji”)), że istnieją pewne logiczne związki między tymi czterema rodzajami twierdzeń. Mówi, że każdej afirmacji odpowiada dokładnie jedna negacja i że każda afirmacja i jej negacja są „sprzeciwiane” tak, że zawsze jedno z nich musi być prawdziwe, a drugie fałszywe. Para twierdzącej rachunku i jego negacja jest on nazywa, a „ sprzeczność ” (w średniowiecznej łacinie contradictio ). Przykładami sprzeczności są „każdy mężczyzna jest biały” i „nie każdy mężczyzna jest biały” (czytaj też „niektórzy mężczyźni nie są biali”), „żaden mężczyzna nie jest biały” i „niektóry mężczyzna jest biały”.

Poniższe relacje, przeciwnie, przeciwnie, podprzemienność i superprzemienność, opierają się na założeniu tradycyjnej logiki, że istnieją rzeczy określone jako S (lub rzeczy spełniające zdanie S we współczesnej logice). Jeśli usunie się to założenie, to relacje te nie zostaną utrzymane.

Twierdzenia „ przeciwne ” (średniowieczne: contrariae ) są takie, że oba stwierdzenia nie mogą być jednocześnie prawdziwe. Ich przykładem jest uniwersalna twierdząca „każdy człowiek jest biały” i uniwersalny przeczenie „żaden człowiek nie jest biały”. To nie może być jednocześnie prawdą. Nie są to jednak sprzeczności, ponieważ oba mogą być fałszywe. Na przykład nieprawdą jest, że każdy mężczyzna jest biały, ponieważ niektórzy mężczyźni nie są biali. Jednak fałszem jest również to, że żaden człowiek nie jest biały, ponieważ są jacyś biali mężczyźni.

Ponieważ każda wypowiedź ma sprzeczne przeciwnego (jego negację), a ponieważ sprzeczne jest prawdziwe, gdy jego przeciwieństwem jest fałszywa, to wynika, że przeciwieństwa się przeciwieństw (których średniowieczni zwani subcontraries , subcontrariae ) może być zarówno prawdziwe, ale nie mogą one być zarówno fałszywe. Ponieważ podprzeczenia są negacją zdań uniwersalnych, średniowieczni logicy nazwali je zdaniami „szczególnymi”.

Inną logiczną relacją, jaką z tego wynika, choć nie wymieniona wprost przez Arystotelesa, jest „przemiana” ( alternatio ), składająca się z „ subalternacji ” i „ superalternacji ”. Subalternacja jest relacją między konkretnym stwierdzeniem a uniwersalnym stwierdzeniem tej samej jakości (afirmatywnym lub przeczącym), tak że konkret jest implikowany przez to, co ogólne, podczas gdy superalternacja jest relacją między nimi taką, że fałsz tego, co uniwersalne (odpowiednik negacji uniwersalne) wynika z fałszu konkretu (odpowiednik negacji konkretu). (Nadprzemienność jest przeciwieństwem subalternacji). Na przykład, jeśli prawdą jest „każdy człowiek jest biały”, to przeciwieństwo „żaden człowiek nie jest biały” jest fałszywe. Dlatego sprzeczne „jakiś człowiek jest biały” jest prawdą. Podobnie uniwersalne „żaden człowiek nie jest biały” implikuje szczególne „nie każdy człowiek jest biały”.

W podsumowaniu:

• Uniwersalne twierdzenia są przeciwne: „każdy człowiek jest sprawiedliwy” i „żaden człowiek nie jest sprawiedliwy” nie mogą być razem prawdziwe, chociaż jedno może być prawdziwe, a drugie fałszywe, a także oba mogą być fałszywe (jeśli przynajmniej jeden człowiek jest sprawiedliwy, a przy przynajmniej jeden człowiek nie jest sprawiedliwy).
• Poszczególne oświadczenia są podwykonawcami. „Pewien człowiek jest sprawiedliwy” i „jakiś człowiek nie jest sprawiedliwy” razem nie mogą być fałszywe.
• Szczególne zdanie o jednej jakości jest subalternem uniwersalnego zdania o tej samej jakości, które jest nadrzędną wartością zdania szczególnego, ponieważ w semantyce arystotelesowskiej „każde A jest B” implikuje „niektóre A jest B”, a „nie A jest B” implikuje „niektóre A nie jest B”. Zauważ, że współczesne formalne interpretacje angielskich zdań interpretują „każde A to B” jako „dla każdego x, stwierdzenie, że x to A implikuje stwierdzenie, że x to B”, co nie implikuje „jakieś x to A”. Jest to jednak kwestia interpretacji semantycznej i nie oznacza, jak się czasem twierdzi, że logika Arystotelesa jest „błędna”.
• Uniwersalna twierdząca ( A ) i partykularna przeczenie ( O ) są sprzeczne. Jeśli jakieś A nie jest B, to nie każde A jest B. I odwrotnie, chociaż we współczesnej semantyce tak nie jest, uważano, że jeśli każde A nie jest B, to niektóre A nie jest B. Ta interpretacja spowodowała trudności (zob. poniżej). Chociaż greka Arystotelesa nie przedstawia konkretnego przeczenia jako „niektóre A nie jest B”, ale jako „nie każdy A jest B”, ktoś w jego komentarzu do Peri hermaneias przedstawia ten konkretny przeczenie jako „quoddam A nōn est B”, dosłownie „pewne A nie jest B” i we wszystkich średniowiecznych pismach o logice zwyczajowo przedstawia się w ten sposób konkretne zdanie.

Relacje te stały się podstawą diagramu pochodzącego od Boecjusza i używanego przez średniowiecznych logików do klasyfikacji relacji logicznych. Zdania umieszczone są w czterech rogach kwadratu, a relacje reprezentowane są liniami między nimi, stąd nazwa „Plac Sprzeciwu”. W związku z tym można wykonać następujące przypadki:

1. Jeśli A jest prawdziwe, to E jest fałszywe, I jest prawdziwe, O jest fałszywe;
2. Jeśli E jest prawdziwe, to A jest fałszywe, Ja jest fałszywe, O jest prawdziwe;
3. Jeśli I jest prawdziwe, to E jest fałszywe, A i O są nieokreślone;
4. Jeśli O jest prawdziwe, to A jest fałszywe, E i ja są nieokreślone;
5. Jeśli A jest fałszywe, to O jest prawdziwe, E i ja są nieokreślone;
6. Jeśli E jest fałszywe, to I jest prawdziwe, A i O są nieokreślone;
7. Jeśli ja jest fałszywy, to A jest fałszywe, E jest prawdziwe, O jest prawdziwe;
8. Jeśli O jest fałszywe, to A jest prawdziwe, E jest fałszywe, ja jest prawdziwe.

Aby je zapamiętać, średniowieczni wymyślili następujący łaciński wierszyk:

Adfirmat, negat E, sed universaliter ambae;

I firmat, negat O, sed specificiter ambae.

Potwierdza, że A i E nie są ani prawdziwe, ani oba fałszywe w każdym z powyższych przypadków. To samo dotyczy I i O . Podczas gdy pierwsze dwa są stwierdzeniami uniwersalnymi, para I / O odnosi się do konkretnych.

Kwadrat Sprzeciwów posłużył do wnioskowania kategorycznego opisanego przez greckiego filozofa Arystotelesa: nawrócenie , obwersja i kontrapozycja . Każdy z tych trzech typów wnioskowania kategorycznego został zastosowany do czterech boeckich form logicznych: A , E , I i O .

Problem egzystencjalnego importu

Podprzeciwieństwa (I i O), które średniowieczni logicy przedstawiali w postaci „quoddam A est B” (jakiś konkret A jest B) i „quoddam A non est B” (jakiś konkret A nie jest B) nie mogą być oba fałszywe, ponieważ ich uniwersalne sprzeczne stwierdzenia (żadne A to B / każde A to B) nie mogą być oba prawdziwe. Prowadzi to do trudności zidentyfikowanej po raz pierwszy przez Petera Abelarda (1079 – 21 kwietnia 1142). „Niektóre A to B” wydaje się sugerować „coś jest A”, innymi słowy, istnieje coś, co jest A. Na przykład „Niektórzy mężczyzna jest biały” wydaje się sugerować, że przynajmniej jedna rzecz, która istnieje, to mężczyzna, a mianowicie człowiek, który musi być biały, jeśli „jakiś człowiek jest biały” jest prawdą. Ale „jakiś człowiek nie jest biały” implikuje również, że istnieje coś jako człowiek, a mianowicie człowiek, który nie jest biały, jeśli stwierdzenie „jakiś człowiek nie jest biały” jest prawdziwe. Ale logika Arystotelesa wymaga, aby jedno z tych stwierdzeń (ogólniej „jakiś konkret A jest B” i „jakiś konkret A nie jest B”) jest koniecznie prawdziwe, tj. oba nie mogą być fałszywe. Dlatego, ponieważ oba stwierdzenia implikują obecność przynajmniej jednej rzeczy, która jest człowiekiem, to obecność człowieka lub mężczyzn jest śledzona. Ale, jak wskazuje Abelard w Dialectyce, z pewnością mężczyźni mogą nie istnieć?

Gdy bowiem nie ma absolutnie żadnego człowieka, ani twierdzenie „każdy człowiek jest mężczyzną” nie jest prawdziwe, ani „jakiś człowiek nie jest człowiekiem”.

Abelard wskazuje również, że podprzeczenia zawierające terminy podmiotowe niczego nie oznaczające, takie jak „człowiek, który jest kamieniem”, są fałszywe.

Jeśli prawdą jest, że „każdy kamień-człowiek jest kamieniem”, to prawdą jest również jego przekształcenie na wypadek („niektóre kamienie są kamieniami”). Ale żaden kamień nie jest kamieniem-człowiekiem, bo ani ten człowiek, ani tamten itd. nie są kamieniem. Ale również to, że „pewny człowiek-kamień nie jest kamieniem” jest z konieczności fałszywe, ponieważ nie można przypuszczać, że jest prawdą.

Terence Parsons (ur. 1939) twierdzi, że starożytni filozofowie nie doświadczali problemu egzystencjalnego znaczenia, ponieważ tylko formy A (powszechna twierdząca) i I (szczególnie twierdząca) miały znaczenie egzystencjalne. (Jeśli zdanie zawiera termin taki, że zdanie jest fałszywe, jeśli termin nie ma instancji, tj. nie istnieje żadna rzecz związana z terminem, wówczas mówi się, że zdanie ma znaczenie egzystencjalne w odniesieniu do tego terminu).

Afirmaty mają znaczenie egzystencjalne, a negatywy nie. Starożytni nie widzieli zatem niespójności kwadratu sformułowanej przez Arystotelesa, ponieważ nie było żadnej niespójności do zobaczenia.

Dalej cytuje średniowiecznego filozofa Wilhelma z Moerbeke (1215–35 – ok. 1286),

W twierdzeniach afirmatywnych zawsze twierdzi się, że termin zakłada coś. Tak więc, jeśli nic nie zakłada, to zdanie jest fałszywe. Jednak w twierdzeniach negatywnych twierdzeniem jest albo to, że termin nie zakłada czegoś, albo że zakłada coś, czego orzecznik jest rzeczywiście zaprzeczony. Tak więc twierdzenie negatywne ma dwie przyczyny prawdy.

I wskazuje, że przekład dzieła Arystotelesa dokonany przez Boecjusza dał początek błędnemu przekonaniu, że forma O ma znaczenie egzystencjalne.

Ale kiedy Boecjusz (477 – 524 n.e.) komentuje ten tekst, ilustruje doktrynę Arystotelesa słynnym już diagramem i używa sformułowania „Niektórzy ludzie nie są sprawiedliwi”. Musiało mu się więc to wydawać naturalnym odpowiednikiem po łacinie. Po angielsku wygląda to dziwnie, ale mu to nie przeszkadzało.

Nowoczesne place opozycji

Plac Fregego opozycji conträr poniżej jest errata: Warto przeczytać subconträr

W XIX wieku George Boole (listopad 1815 – 8 grudnia 1864) opowiadał się za wymaganiem egzystencjalnego importu w obu terminach w poszczególnych twierdzeniach (I i O), ale dopuszczał, aby wszystkie terminy uniwersalnych twierdzeń (A i E) nie miały znaczenia egzystencjalnego. Ta decyzja sprawiła, że diagramy Venna były szczególnie łatwe w użyciu w logice terminów. Kwadrat opozycji, zgodnie z tym boolowskim zestawem założeń, jest często nazywany współczesnym placem opozycji . Na współczesnym placu opozycji twierdzenia A i O są sprzeczne, podobnie jak E i I, ale wszystkie inne formy opozycji przestają obowiązywać; nie ma przeciwieństw, podprzeciwieństw, podprzemian i superprzemian. Tak więc, z nowoczesnego punktu widzenia, często sensowne jest mówienie o „opozycji” do twierdzenia, zamiast nalegać, jak robili to starsi logicy, że twierdzenie ma kilka różnych przeciwieństw, które są w różnych rodzajach opozycji do twierdzenia. prawo.

Gottlob Frege (08 listopada 1848 - 26 lipca 1925) 's Begriffsschrift prezentuje również kwadrat logiczny, zorganizowany w niemal identyczny sposób do klasycznego kwadratu, pokazujący contradictories, subalternates i przeciwieństwa między czterech formuł zbudowanych z kwantyfikator ogólny, negacji i implikacji .

Kwadrat semiotyczny Algirdasa Juliena Greimasa (9 marca 1917 – 27 lutego 1992) wywodzi się z pracy Arystotelesa.

Tradycyjny kwadrat opozycji jest obecnie często porównywany z kwadratami opartymi na wewnętrznej i zewnętrznej negacji.

Sześciokąty logiczne i inne bi-simpleksy

Kwadrat opozycji został rozszerzony do logicznego sześciokąta, który zawiera relacje sześciu zdań. Odkryli go niezależnie zarówno Augustin Sesmat (7 kwietnia 1885 – 12 grudnia 1957), jak i Robert Blanché (1898-1975). Udowodniono, że zarówno kwadrat, jak i sześciokąt, po których następuje „ logiczny sześcian ”, należą do regularnego szeregu n-wymiarowych obiektów zwanych „logicznymi bi-simpleksami wymiaru n”. Wzór również wykracza poza to.

Kwadrat opozycji (lub kwadrat logiczny) i logika modalna

Kwadrat logiczny, zwany także kwadratem sprzeciwu lub kwadratem Apulejusza, ma swój początek w czterech zaznaczonych zdaniach stosowanych w rozumowaniu sylogistycznym: Każdy człowiek jest zły, uniwersalna twierdząca / i jej negacja Nie każdy człowiek jest zły (lub Niektórzy ludzie są zli). nie zły), z jednej strony szczególny negatyw / Niektórzy ludzie są źli, szczególni twierdzący / i jego negacja Żaden człowiek nie jest zły, z drugiej strony uniwersalny negatyw. Robert Blanché opublikował wraz z Vrinem swoje Struktury intellectuelles w 1966 roku i od tego czasu wielu uczonych uważa, że ​​logiczny kwadrat lub kwadrat opozycji reprezentujący cztery wartości należy zastąpić logicznym sześciokątem, który reprezentując sześć wartości jest silniejszą figurą, ponieważ ma moc wyjaśnij więcej o logice i języku naturalnym.

Interpretacja mnogościowa zdań kategorycznych

We współczesnej logice matematycznej zdania zawierające słowa „wszystkie”, „niektóre” i „nie” mogą być sformułowane w terminach teorii mnogości . Jeśli zbiór wszystkich A jest oznaczony jako, a zbiór wszystkich B jako , wtedy: ${\displaystyle s(A)}$${\ Displaystyle s (B)}$

• „Wszystkie A B” (AaB) jest równoważne „ jest podgrupa o ” lub .${\displaystyle s(A)}$${\ Displaystyle s (B)}$${\ Displaystyle s (A) \ podseteq s (B)}$
• „Nr A B” (Aeb) jest równoważne z „ przecięcia z i jest pusta ” lub .${\displaystyle s(A)}$${\ Displaystyle s (B)}$${\ Displaystyle s (A) \ czapka s (B) = \ pusty zestaw}$
• „Niektóre A to B” (AiB) jest odpowiednikiem „Przecięcie i nie jest puste” lub .${\displaystyle s(A)}$${\ Displaystyle s (B)}$${\ Displaystyle s (A) \ czapka s (B) \ neq \ pusty zestaw}$
• „Niektóre A to nie B” (AoB) jest równoważne „ nie jest podzbiorem ” lub .${\displaystyle s(A)}$${\ Displaystyle s (B)}$${\displaystyle s(A)\nsubseteq s(B)}$

Z definicji zbiór pusty jest podzbiorem wszystkich zbiorów. Z tego faktu wynika, że ​​zgodnie z tą matematyczną konwencją, jeśli nie ma A, to zdania „Wszystkie A to B” i „Żadne A to B” są zawsze prawdziwe, natomiast zdania „Niektóre A to B” i „Niektóre A to nie B” są zawsze fałszywe. Oznacza to również, że AaB nie pociąga za sobą AiB, a niektóre z sylogizmów wymienionych powyżej nie są ważne, gdy nie ma A ( ). ${\displaystyle \pusty zestaw}$${\displaystyle s(A)=\pustyzestaw}$

Zobacz też

• sylogistyka Boole'a
• Darmowa logika

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Pastor, Terence. „Tradycyjny Plac Opozycji” . W Zalcie Edward N. (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Międzynarodowy Kongres na Placu Opozycji
• Wydanie specjalne Logica Universalis tom. 2 N. 1 (2008) na Placu Opozycji
• Catlogic: Skrypt komputerowy o otwartym kodzie źródłowym napisany w języku Ruby do konstruowania, badania i obliczania twierdzeń kategorycznych i sylogizmów