Twierdzenie o korespondencji (teoria grup) - Correspondence theorem (group theory)

W obszarze matematyki zwane teorii grup , na twierdzeniu korespondencyjnego , czasami określane jako czwarty twierdzenia izomorfizmu albo kraty twierdzenie , stwierdza się, że, jeśli jest to normalny podgrupy z grupy , to istnieje bijection ze zbioru wszystkich podgrup o zawierające , na zbiór wszystkich podgrup grupy ilorazowej . Struktura podgrup jest dokładnie taka sama jak struktura podgrup zawierających , ze zwiniętym do elementu tożsamościowego . ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G/N}$${\ Displaystyle G/N}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

W szczególności, jeśli

G to grupa,

N jest normalnie podgrupy z G ,

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$jest zbiorem wszystkich podgrup A od G takich, że , i${\ Displaystyle N \ podzbiór A \ podzbiór G}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}}$jest zbiorem wszystkich podgrup G/N ,

to jest mapa bijektywna taka, że ${\ Displaystyle \ phi : {\ mathcal {G}} \ do {\ mathcal {N}}}$

${\ Displaystyle \ phi (A) = A/N}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {G}}.}$

Dalej mamy, że jeśli A i B są w , a A' = A/N i B' = B/N , to ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• ${\displaystyle A\subseteq B}$wtedy i tylko wtedy , gdy ;${\displaystyle A'\subseteq B'}$
• Jeżeli następnie , tam gdzie jest to wskaźnik z A do B (liczba cosets bA z A w B );${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle |B:A|=|B':A'|}$${\displaystyle |B:A|}$
• ${\ Displaystyle \ langle A, B \ rangle / N = \ langle A ', B' \ rangle ,}$gdzie jest podgrupa generowanych przez ${\ Displaystyle \ langle A, B \ rangle }$${\ Displaystyle G}$ ${\displaystyle A\kubek B;}$
• ${\ Displaystyle (A \ czapka B) / N = A '\ czapka B'}$, oraz
• ${\ Displaystyle A}$jest normalną podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalną podgrupą .${\ Displaystyle G}$${\displaystyle A'}$${\ Displaystyle G/N}$

Ta lista nie jest wyczerpująca. W rzeczywistości większość właściwości podgrup jest zachowana w ich obrazach pod bijekcją na podgrupy grupy ilorazowej.

Bardziej ogólnie, jest połączenie monotoniczne Galois pomiędzy kratą podgrup od (niekoniecznie zawierający ) i kraty podgrup : dolny sprzężony podgrupy z podaje się i górną adjoint podgrupy z jest podane przez . Skojarzony operator zamknięcia na podgrupach is ; powiązany operator jądra na podgrupach jest tożsamością. Dowód twierdzenia o korespondencji można znaleźć tutaj . ${\ Displaystyle (f ^ {*}, f_ {*})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G/N}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle f ^ {*} (H) = HN / N}$${\ Displaystyle K/N}$${\ Displaystyle G/N}$${\ Displaystyle F_ {*} (K/N) = K}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ bar {H}} = HN}$${\ Displaystyle G/N}$

Podobne wyniki dotyczą pierścieni , modułów , przestrzeni wektorowych i algebr .

Zobacz też

• Krata modułowa

Uwagi

Bibliografia