Dyfeologia - Diffeology

W matematyce , o diffeology na zestawie deklaruje co gładkie Parametryzacja w zestawie są. W pewnym sensie diffeologia uogólnia pojęcie gładkich wykresów w rozmaitości różniczkowej .

Koncepcja została po raz pierwszy wprowadzona przez Jean-Marie Souriau w latach 80. XX wieku i opracowana najpierw przez jego uczniów Paula Donato (jednorodne przestrzenie i pokrycia) i Patricka Iglesiasa (wiązki włókien diffeologicznych, wyższa homotopia itp.), A później przez innych ludzi. Podobny pomysł został wprowadzony przez Kuo-Tsaï Chen (陳 國 才, Chen Guocai ) w latach 70. XX wieku, wykorzystując zbiory wypukłe zamiast zbiorów otwartych dla dziedzin wykresów.

Definicja

Jeżeli X jest ustawiony, diffeology na X jest zestaw map, zwane działki z podzbiorów otwartych z R n ( n ≥ 0) do X takich, że następujący zawieszone:

  • Każda stała mapa to fabuła.
  • Dla danej mapy, jeśli każdy punkt w domenie ma takie sąsiedztwo , że ograniczenie mapy do tego sąsiedztwa jest wykresem, to sama mapa jest wykresem.
  • Jeśli p jest wykresem, if jest funkcją gładką z otwartego podzbioru pewnej rzeczywistej przestrzeni wektorowej do dziedziny p , to kompozycja p ∘ f jest wykresem.

Zauważ, że domeny różnych wykresów mogą być podzbiorami R n dla różnych wartości n .

Zbiór wraz z diffeologią nazywany jest przestrzenią diffeologiczną .

Mapa między przestrzeniami diffeologicznymi nazywana jest różniczkowalną wtedy i tylko wtedy, gdy komponowanie jej z każdym wykresem pierwszej przestrzeni jest wykresem drugiej przestrzeni. Jest to dyfeomorfizm, jeśli jest różniczkowalny, bijektywny , a jego odwrotność jest również różniczkowalna.

Przestrzenie diffeologiczne wraz z mapami różniczkowalnymi jako morfizmami tworzą kategorię . Izomorfizmy w tej kategorii to zdefiniowane powyżej dyfeomorfizmy. Kategoria od diffeological przestrzeni jest zamknięty pod wieloma kategorycznych operacji.

Przestrzeń dyfeologiczna ma topologię D : najlepszą topologię , w której wszystkie wykresy są ciągłe .

Jeśli Y jest podzbiorem z diffeological przestrzeni X , to Y jest sama diffeological przestrzeń w naturalny sposób: działki Y są te działki X , których obrazy są podzbiory Y .

Jeśli X jest przestrzenią dyfeologiczną, a ~ jest jakąś relacją równoważności na X , to zbiór ilorazu X / ~ ma dyfeologię generowaną przez wszystkie kompozycje wykresów X z rzutem od X do X / ~. Nazywa się to diffeologią ilorazową . Iloraz D topologii jest D-Topologia diffeology iloraz i tej topologii może być trywialne bez diffeology są trywialne.

Rachunek Cartana De Rhama można opracować w ramach dyfeologii, a także wiązek włókien, homotopii itp.

Gładkie kolektory

Rozmaitości różniczkowalne również uogólniają gładkość. Zazwyczaj definiuje się je jako rozmaitości topologiczne z atlasem, którego mapy przejść są gładkie, co służy do cofania struktury różniczkowej.

Każda zdefiniowana w ten sposób gładka rozmaitość ma naturalną diffeologię, dla której wykresy odpowiadają gładkim mapom z otwartych podzbiorów R n do rozmaitości. W tej dyfeologii mapa między dwiema gładkimi rozmaitościami jest gładka wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalna w sensie diffeologicznym. Stąd gładkie rozmaitości z gładkimi mapami tworzą pełną podkategorię przestrzeni dyfeologicznych.

Pozwala to podać alternatywną definicję rozmaitości gładkiej, która nie odwołuje się do map przejść ani do określonego atlasu: rozmaitość gładka to przestrzeń dyfeologiczna lokalnie różniąca się od R n .

Relacja między rozmaitościami gładkimi a przestrzeniami diffeologicznymi jest analogiczna do relacji między rozmaitościami topologicznymi a przestrzeniami topologicznymi.

Tę metodę modelowania przestrzeni dyfeologicznych można rozszerzyć na inne modele lokalne, na przykład: orbifoldy, modelowane na przestrzeniach ilorazowych R n / Γ, gdzie Γ jest skończoną podgrupą liniową, lub rozmaitościami z granicami i narożnikami, wzorowanymi na ortantach itp.

Przykłady

  • Każdy otwarty podzbiór skończonej wymiarów rzeczywistej, a zatem złożonej przestrzeni wektorowej jest przestrzenią diffeologiczną.
  • Każda gładka rozmaitość jest przestrzenią dyfeologiczną.
  • Dowolny iloraz przestrzeni diffeologicznej jest przestrzenią diffeologiczną. Jest to łatwy sposób na skonstruowanie nieróżnorodnych różnic. Na przykład zbiór liczb rzeczywistych R jest gładką rozmaitością. Iloraz R / ( Z + α Z ), dla pewnego nieracjonalnego α, jest irracjonalnym torusem , przestrzenią dyfeologiczną różniącą się od ilorazu regularnego 2-torusa R 2 / Z 2 przez linię nachylenia α. Ma nietrywialną diffeologię, ale jej topologia D jest trywialną topologią .

Linki zewnętrzne