Cyfrowa geometria - Digital geometry
Geometria cyfrowa zajmuje się zestawami dyskretnymi (zwykle dyskretnymi zbiorami punktów ) uważanymi za zdigitalizowane modele lub obrazy obiektów z przestrzeni euklidesowej 2D lub 3D .
Mówiąc najprościej, digitalizacja polega na zastąpieniu obiektu dyskretnym zbiorem jego punktów. Obrazy, które widzimy na ekranie telewizora, ekranie rastrowym komputera lub w gazetach są w rzeczywistości obrazami cyfrowymi .
Jego główne obszary zastosowań to grafika komputerowa i analiza obrazu .
Główne aspekty studiów to:
- Konstruowanie zdigitalizowanych reprezentacji obiektów, z naciskiem na precyzję i wydajność (albo za pomocą syntezy, patrz np. Algorytm liniowy Bresenham lub dyski cyfrowe, albo za pomocą digitalizacji i późniejszego przetwarzania obrazów cyfrowych).
- Badanie właściwości zbiorów cyfrowych; zobacz na przykład twierdzenie Picka , cyfrową wypukłość, cyfrową prostoliniowość lub cyfrową płaskość.
- Przekształcanie zdigitalizowanych reprezentacji obiektów, na przykład (A) w uproszczone kształty, takie jak (i) szkielety, poprzez wielokrotne usuwanie prostych punktów, tak aby topologia cyfrowa obrazu się nie zmieniała, lub (ii) oś środkowa, obliczając lokalne maksima w postaci transformacji na odległość danej zdigitalizowanej reprezentacji obiektu lub (B) w zmodyfikowane kształty przy użyciu morfologii matematycznej .
- Rekonstrukcja „rzeczywistych” obiektów lub ich właściwości (pole powierzchni, długość, krzywizna, objętość, pole powierzchni itd.) Z obrazów cyfrowych.
- Badanie krzywych cyfrowych, powierzchni cyfrowych i rozmaitości cyfrowych .
- Projektowanie algorytmów śledzenia obiektów cyfrowych.
- Funkcje w przestrzeni cyfrowej.
- Szkicowanie krzywych, metoda rysowania krzywej piksel po pikselu.
Geometria cyfrowa w dużym stopniu pokrywa się z geometrią dyskretną i może być uważana za jej część.
Przestrzeń cyfrowa
Przestrzeń cyfrowa 2D zwykle oznacza przestrzeń siatki 2D, która zawiera tylko punkty całkowite w przestrzeni euklidesowej 2D. Obraz 2D to funkcja w cyfrowej przestrzeni 2D (patrz przetwarzanie obrazu ).
W książce Rosenfelda i Kaka łączność cyfrowa definiowana jest jako relacja między elementami w przestrzeni cyfrowej. Na przykład 4-łączność i 8-łączność w 2D. Zobacz także łączność pikseli . Przestrzeń cyfrowa i jej ( cyfrowa ) łączność określają cyfrową topologię .
W przestrzeni cyfrowej niezależnie zaproponowano cyfrowo ciągłą funkcję (A. Rosenfeld, 1986) i stopniowo zmieniającą się funkcję (L. Chen, 1989).
Funkcja cyfrowo ciągła oznacza funkcję, w której wartość (liczba całkowita) w punkcie cyfrowym jest taka sama lub oddalona co najwyżej o 1 od jej sąsiadów. Innymi słowy, jeśli x i y są dwoma sąsiednimi punktami w przestrzeni cyfrowej, | f ( x ) - f ( y ) | ≤ 1.
Stopniowo zmieniająca się funkcja jest funkcją od przestrzeni cyfrowej do miejsca i są liczbami rzeczywistymi. Funkcja ta posiada następujące właściwości: jeśli x i y są dwa sąsiednie punkty załóżmy , a następnie , albo . Widzimy więc, że zmienna stopniowo funkcja jest bardziej ogólna niż funkcja cyfrowo ciągła.
Twierdzenie o rozszerzeniu dotyczące powyższych funkcji zostało wspomniane przez A. Rosenfelda (1986), a uzupełnione przez L. Chen (1989). To twierdzenie stwierdza: Niech i . Koniecznym i wystarczającym warunkiem istnienia stopniowo zmieniała przedłużenia o to: dla każdej pary punktów i w załóżmy, i mamy , gdzie jest (cyfrowy) odległość pomiędzy i .
Zobacz też
Bibliografia
- A. Rosenfeld, Funkcje ciągłe na obrazach cyfrowych, Listy rozpoznające wzorce, t. 4 nr 3, str. 177-184, 1986.
- L. Chen, Warunek konieczny i dostateczny oraz wydajne algorytmy dla stopniowo zmieniającego się wypełnienia, Chinese Sci. Byk. 35 (10), str. 870-873, 1990.
Dalsza lektura
- Rosenfeld, Azriel (1969). Przetwarzanie obrazu przez komputer . Academic Press. ISBN ???.
- Rosenfeld, Azriel (1976). Cyfrowa analiza obrazu . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07579-8 .
- Rosenfeld, Azriel ; Kak, Avinash C. (1982). Cyfrowe przetwarzanie obrazu . Boston: Academic Press. ISBN 0-12-597301-2 .
- Rosenfeld, Azriel (1979). Języki obrazkowe . Academic Press. ISBN 0-12-597340-3 .
- Chassery, J .; A. Montanvert. (1991). Geometrie discrete i analysis d'images . Hermes. ISBN 2-86601-271-2 .
- Kong, TY i A. Rosenfeld (redaktorzy) (1996). Algorytmy topologiczne dla cyfrowego przetwarzania obrazu . Elsevier. ISBN 0-444-89754-2 . CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link ) CS1 maint: dodatkowy tekst: lista autorów ( link )
- Voss, K. (1993). Dyskretne obrazy, obiekty i funkcje w Zn . Skoczek. ISBN 0-387-55943-4 .
- Herman, GT (1998). Geometria przestrzeni cyfrowych . Birkhauser. ISBN 0-8176-3897-0 .
- Marchand-Maillet, S .; YM Sharaiha (2000). Binarne cyfrowe przetwarzanie obrazu . Academic Press. ISBN 0-12-470505-7 .
- Soille, P. (2003). Analiza morfologiczna obrazu: zasady i zastosowania . Skoczek. ISBN 3-540-42988-3 .
- Chen, L. (2004). Dyskretne powierzchnie i rozgałęźniki: teoria cyfrowej geometrii dyskretnej i topologii . SP Computing. ISBN 0-9755122-1-8 .
- Rosenfeld, Azriel ; Klette, Reinhard (2004). Digital Geometry: Geometric Methods for Digital Image Analysis (The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics) . San Diego: Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-861-3 .
- Chen, L. (2014). Geometria cyfrowa i dyskretna: teoria i algorytmy . Skoczek. ISBN 978-3-319-12099-7 .